ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 359
Скачиваний: 21
27
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
.
Тем самым первая часть теоремы доказана. Если же функция
f(x)
непрерыв-
на на [
a,b
], то по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется
такая точка
]
,
[
b
a
, для которой
)
(
f
. Теорема доказана.
Приведем без доказательства еще одну теорему о среднем значении.
Теорема (вторая формула среднего значения)
.
Пусть функция
f(x)
интегрируема, а функция
)
(
x
g
монотонна на отрезке
[
a,b
]. Тогда на этом отрезке найдется такое число
, что
b
a
a
b
dx
x
f
b
g
dx
x
f
a
g
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Первообразная функции.
Определение.
Пусть функция
)
(
x
f
интегрируема на сегменте
]
,
[
b
a
или на
каждом конечном сегменте интервала
)
,
(
b
a
. Пусть p - фиксированная точка
сегмента или интервала.
Тогда для любого
b))
a,
(x
b
a
x
(
]
,
[
функция интегрируема на сегменте
]
,
[
x
p
. Поэтому определена функция
x
p
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
, которая называется
инте-
гралом с переменным верхним пределом.
Теорема.
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на сегменте
]
,
[
b
a
(или на каж-
дом конечном сегменте интервала
)
,
(
b
a
), а точка
b))
a,
(p
b
a
p
(
]
,
[
то произ-
водная функции
x
p
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
существует в каждой точке
0
x
непрерывности
функции
)
(
x
f
, причем
)
(
)
(
0
x
f
x
F
. Если
0
x
совпадает с концом сегмента, то
это утверждение остается справедливым для односторонней производной.
Доказательство.
В силу непрерывности функции
)
(
x
f
в точке
0
x
для лю-
бого
0
найдется такое
0
, что
)
(
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
f
при
0
x
x
.
28
Для
всех
]
,
[
]
,
[
0
0
0
x
x
x
x
x
t
выполняется
неравенство
x
x
x
x
t
0
0
. Поэтому для всех таких t имеем
)
(
)
(
)
(
0
0
x
f
t
f
x
f
.
При интегрировании по отрезку
]
,
[
0
x
x
или
]
,
[
0
x
x
и делении на
0
x
x
(то
есть
x
) знаки этих неравенств не меняются. Отсюда
x
x
x
x
f
dt
t
f
x
x
f
0
0
)
(
)
(
1
)
(
0
0
при
x
.
x
x
p
x
p
x
x
x
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
x
F
x
x
F
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
.
Поэтому полученное нами неравенство означает, что при
x
x
x
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
x
f
x
x
F
x
x
F
x
f
,
что и означает существование
)
(
0
x
F
и равенство
)
(
)
(
0
0
x
f
x
F
. Теорема дока-
зана.
Следствие.
Любая непрерывная на сегменте
]
,
[
b
a
(интервале
)
,
(
b
a
) функ-
ция
)
(
x
f
имеет на этом сегменте (интервале) первообразную. Одной из этих
первообразных является функция
x
p
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
, где p - фиксированная точка
отрезка
]
,
[
b
a
(интервала
)
,
(
b
a
).
Замечание.
Можно рассматривать и функцию переменного нижнего преде-
ла интеграла от функции
)
(
x
f
, то есть функцию
g
x
dt
t
f
x
)
(
)
(
. Для такой
функции
)
(
)
(
)
(
x
F
x
f
x
.
Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом).
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интер-
вале
)
,
(
b
a
то функция
b)
(a,
p
dt
t
f
x
F
x
p
,
)
(
)
(
является непрерывной на
)
,
(
b
a
.
Доказательство.
x
x
x
x
dt
t
f
x
F
x
x
F
F
)
(
)
(
)
(
,
где
)
(
sup
)
(
inf
]
,
[
]
,
[
t
f
t
f
x
x
x
x
x
x
, по формуле среднего значения.
29
В силу ограниченности интегрируемой функции
)
(
x
f
для достаточно малых
x
величина
тоже ограничена, то есть для любого фиксированного сегмента
d
c,
x
x
,
d
c,
x
b
a
d
c
),
,
(
]
,
[
f
f
d
c
x
d
c
x
]
,
[
]
,
[
sup
inf
.
Поэтому
.
0
lim
0
F
x
Теорема доказана.
Основная формула интегрального исчисления.
Методы вычисления определенных интегралов.
Теорема.
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл по отрезку
b
a
,
от непрерывной функции
x
f
, следует вычислить значение ее произ-
вольной первообразной в точке
b
и вычесть из него значение этой первообраз-
ной в точке
a
, то есть, если
x
- первообразная функции
x
f
на отрезке
b
a
,
, то
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
x
dx
x
f
b
a
b
a
.
Доказательство.
Как было установлено ранее, функция
x
a
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
яв-
ляется первообразной функции
x
f
на отрезке
b
a
,
. Пусть
x
- любая дру-
гая первообразная. Тогда
const
C
x
F
x
)
(
, то есть
C
dt
t
f
x
x
a
)
(
)
(
.
Поэтому
C
a
)
(
,
b
a
b
a
a
dx
x
f
C
dx
x
f
b
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Установленная формула называется
формулой Ньютона-Лейбница.
Теорема (формула замены переменной под знаком определенного инте-
грала).
Пусть функция
t
g
x
имеет непрерывную производную на сегменте
M
m
,
и
a
t
g
M
m
t
,
)
(
min
,
b
t
g
M
m
t
,
)
(
max
, причем
b
M
g
a
m
g
)
(
,
. Пусть функ-
ция
)
(
x
f
непрерывна на отрезке
b
a
,
. Тогда
M
m
b
a
dt
t
g
t
g
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(
.
30
Доказательство.
Пусть
x
- некоторая первообразная функции
x
f
.
Функции
x
и
t
g
x
дифференцируемы на сегментах
b
a
,
и
M
m
,
соот-
ветственно. По правилу вычисления производной сложной функции имеем для
всех
M
m
t
,
:
)
(
))
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
)
(
)
(
t
g
t
g
f
t
g
x
f
t
g
x
t
g
t
g
t
g
dt
d
t
g
x
t
g
x
.
Это означает, что функция
))
(
(
t
g
является первообразной функцией для
функции
)
(
))
(
(
t
g
t
g
f
. Поэтому
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
)
(
))
(
(
a
b
m
g
M
g
dt
t
g
t
g
f
M
m
.
С другой стороны
)
(
)
(
)
(
a
b
dx
x
f
b
a
.
Отсюда следует утверждение теоремы
Теорема (правило интегрирования по частям для определенного инте-
грала).
Пусть функции
x
f
и
)
(
x
g
имеют непрерывные производные на сег-
менте
b
a
,
. Тогда
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
x
g
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
или
b
a
b
a
b
a
vdu
uv
udv
.
Доказательство.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
d
.
Поэтому функция
)
(
)
(
x
g
x
f
является первообразной функции
g
f
g
f
. По-
этому
b
a
b
a
fg
dx
g
f
g
f
.
Теорема доказана.
31
Литература.
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. – М.,
2001.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния. В 3-х т., - М., 1997.