ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 358
Скачиваний: 21
12
Зафиксируем произвольное число
0
. По определению числа
*
Ι
и точной
нижней грани существует такое разбиение
n
k
k
x
0
*
, что верхняя сумма
*
S
этого разбиения будет удовлетворять условию
2
*
*
Ι
S
.
Обозначим через
l
число точек разбиения, не совпадающих с концами сег-
мента [
a,b
].
Пусть теперь
– произвольное разбиение сегмента [
a,b
], диаметр которого
удовлетворяет неравенству
)
(
2
m
M
l
d
. Пусть
S
- верхняя сумма этого
разбиения.
Произведем измельчение разбиения
, добавив к нему
l
точек разбиения
*
. Полученное разбиение обозначим
. По предыдущей лемме имеем
2
)
(
0
ld
m
M
S
S
.
Однако разбиение
можно рассматривать и как измельчение разбиения
*
, к которому добавляются точки разбиения
, не совпадающие с концами от-
резка [
a,b].
Из свойства монотонности сумм Дарбу имеем
*
*
S
S
Ι
,
откуда
2
0
*
*
*
*
*
Ι
S
Ι
S
Ι
S
.
Таким образом, мы имеем два неравенства:
2
S
S
,
2
*
Ι
S
,
откуда при
d
получаем
2
2
*
*
Ι
S
S
S
Ι
S
.
Лемма доказана.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости
ограниченной функции по Риману.
Теорема 1 (вспомогательная).
Для того, чтобы ограниченная на отрезке
[
a,b
] функция
x
f
была интегрируема на этом отрезке необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
*
*
Ι
Ι
, то есть чтобы верхний и нижний
интегралы Дарбу совпадали.
13
Доказательство.
Необходимость.
Пусть функция
x
f
интегрируема по Риману на отрезке
[
a,b
] . Тогда существует предел
Ι
ее интегральных сумм Римана
при
стремлении диаметра разбиений
d
к нулю. Это значит, что для любого
0
найдется такое
, что для любого разбиения
k
x
с диаметром
d
и для
любого выбора промежуточных точек
k
выполняется неравенство
4
(
4
,
0
0
Ι
d
:
x
0
k
n
k
k
).
Для данного
можно так выбрать промежуточные точки
k
и
k
в каж-
дом отрезке разбиения
, что будут справедливы неравенства
4
)
,
(
,
4
)
,
(
s
f
f
S
k
k
.
Кроме того, для данного разбиения
одновременно выполнены неравенства
4
)
,
(
k
f
Ι
,
,
4
)
,
(
k
f
Ι
поскольку
d
. Тогда получим
s
f
f
Ι
Ι
f
f
S
s
S
k
k
k
k
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
s
f
f
Ι
Ι
f
f
S
k
k
k
k
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
4
4
4
4
Таким образом, если
d
, то
s
S
.
С другой стороны
S
Ι
Ι
s
*
*
, поэтому
*
*
Ι
Ι
. В силу произволь-
ности
*
*
Ι
Ι
. Необходимость доказана.
Достаточность
. Пусть
A
Ι
Ι
*
*
. Согласно лемме Дарбу
S
Ι
d
0
*
lim
,
s
Ι
d
0
*
lim
. Поэтому для любого
0
можно указать такое
0
, что для лю-
бого разбиения
при
d
будут выполняться неравенства
A
S
Ι
S
s
A
s
Ι
*
*
,
.
Для любого разбиения
интегральная сумма Римана
)
,
(
k
f
удовлетво-
ряет неравенствам
S
f
s
k
)
,
(
,
14
а значит
A
S
f
s
A
k
)
,
(
,
то есть
)
,
(
k
f
A
при
d
, а значит
A
f
k
d
)
,
(
lim
0
.
Теорема доказана.
Теорема 2 (основная теорема).
Для того, чтобы ограниченная функция
x
f
на отрезке [
a,b
] была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы
для любого
0
нашлось такое разбиение
n
k
k
x
0
(одно!), для которого
s
S
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть функция
x
f
интегрируема на отрезке [
a,b
]. Тогда
A
Ι
Ι
*
*
,
S
Ι
d
0
*
lim
,
s
Ι
d
0
*
lim
.
Зафиксируем
0
. Тогда найдется такое
0
, что при всех разбиениях
,
таких, что
d
2
-
A
,
2
s
A
S
.
Отсюда
2
2
s
A
A
S
s
S
Достаточность.
Дано:
n
k
k
x
0
0
, что
s
S
.
Но
S
Ι
Ι
s
*
*
, откуда
*
*
Ι
Ι
.
В силу произвольности
получаем, что
*
*
Ι
Ι
.
По предыдущей теореме это означает, что функция
x
f
интегрируема на
отрезке [
a,b
]. Теорема доказана.
Классы интегрируемых функций.
Один класс интегрируемых на отрезке функций мы уже установили. Это
постоянные функции. Далее мы установим еще некоторые классы интегрируе-
мых функций.
Теорема (об интегрируемости непрерывных на отрезке функций).
Если
функция непрерывна на сегменте, то она интегрируема на этом сегменте.
Доказательство.
Пусть функция
)
(
x
f
непрерывна на сегменте
]
,
[
b
a
. Вы-
берем произвольное число
0
. По теореме Кантора функция
)
(
x
f
равномер-
но непрерывна на сегменте
]
,
[
b
a
. Поэтому для заданного
0
существует та-
15
кое число
0
, что для любой пары точек
]
,
[
,
b
a
, удовлетворяющих не-
равенству
, выполняется неравенство
a
b
f
f
)
(
)
(
.
a
b
f
f
-
b]
[a,
,
0
)
(
)
(
0
С другой стороны, по теореме Вейерштрасса, на любом сегменте, вложен-
ном в отрезок
]
,
[
b
a
, функция
)
(
x
f
достигает точной верхней и точной нижней
граней, так что, если
]
,
[
]
,
[
b
a
d
c
,
c
d
, то
a
b
x
f
x
f
d
c
d
c
)
(
min
)
(
max
]
,
[
]
,
[
.
Выберем теперь разбиение
n
k
k
x
0
сегмента
]
,
[
b
a
с диаметром
d
. Пусть
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
1
1
x
f
m
x
f
M
k
k
k
k
x
x
k
x
x
k
. По определению сумм Дарбу имеем
n
k
k
k
k
x
m
M
s
S
1
)
(
.
Используя неравенство
a
b
m
M
k
k
, справедливое для данного разбие-
ния, получаем
n
k
k
x
a
b
s
S
1
,
то есть для произвольного
0
можно указать такое разбиение
, для которо-
го
0
s
S
. По основной теореме получаем, что функция
)
(
x
f
, интегрируе-
ма на
]
,
[
b
a
. Теорема доказана.
Следующая теорема дает достаточное условие интегрируемости для неко-
торого класса разрывных функций.
Определение.
Будем говорить, что точка
x
покрыта интервалом
, если она
содержится в этом интервале.
Теорема (достаточное условие интегрируемости разрывной функции).
Пусть функция
)
(
x
f
определена и ограничена на сегменте
]
,
[
b
a
. Пусть для
любого числа
0
можно указать
конечное
число интервалов, покрывающих
все точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин, меньшую
.
Тогда функция
)
(
x
f
интегрируема по Риману на отрезке
]
,
[
b
a
.
Доказательство.
Пусть
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
x
f
m
x
f
M
b
a
k
b
a
k
.
Если
M=m
, то функция постоянна. Интегрируемость постоянных функций
уже установлена. Поэтому будем считать, что
M>m.
Выберем
0
произволь-
16
ным образом. Покроем точки разрыва функции
)
(
x
f
на отрезке
]
,
[
b
a
конечным
числом интервалов, сумма длин которых меньше числа
)
(
2
1
m
M
. Точки
сегмента
]
,
[
b
a
, не принадлежащие указанным интервалам, образуют множест-
во, состоящее из
конечного
числа непересекающихся
сегментов.
Назовем эти
сегменты
дополнительными
. На каждом из таких сегментов функция непре-
рывна, а следовательно, по теореме Кантора равномерно непрерывна. Потому
для заданного
0
для каждого
i-
го дополнительного сегмента найдется такое
число
0
i
, что, если
, то
)
(
2
)
(
)
(
a
b
f
f
для всех пар то-
чек
,
из
i-
го дополнительного сегмента.
Пусть
i
i
min
. Выберем на каждом
i-м
дополнительном сегменте разбие-
ние
i
n
k
k
i
x
1
таким образом, чтобы диаметр
i
d
каждого из этих разбиений
был меньше
. Объединим частичные сегменты этих разбиений с выбранными
ранее интервалами, покрывающими точки разрыва. Тем самым мы получим не-
которое разбиение
n
k
k
x
1
всего сегмента
]
,
[
b
a
. Для этого разбиения имеем
k
k
k
k
k
k
n
k
k
k
k
x
m
M
x
m
M
x
m
M
s
S
)
(
)
(
)
(
''
'
1
,
где в сумму
' вошли слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образо-
ванным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму
''
все осталь-
ные. Рассмотрим отдельно каждую из этих сумм.
'
:
Поскольку
m
M
m
M
k
k
, для любого
k,
то
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
'
'
m
M
m
M
x
m
M
x
m
M
k
k
k
k
.
''
:
На дополнительных сегментах по построению имеем
)
(
2
a
b
m
M
k
k
.
Отсюда
2
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
''
''
a
b
a
b
x
a
b
x
m
M
k
k
k
k
.
Поэтому
s
S
. По основной теореме получаем, что функция
)
(
x
f
ин-
тегрируема на отрезке
]
,
[
b
a
. Теорема доказана.