ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 360
Скачиваний: 21
22
1в) Следствие. Линейная комбинация
n
k
i
i
x
f
c
1
)
(
интегрируемых на
]
,
[
b
a
функций является интегрируемой функцией.
2. Интегрируемость произведения.
Пусть функции
g(x)
и
)
(
x
f
интегри-
руемы на сегменте
]
,
[
b
a
, тогда произведение
g(x)
)
(
x
f
тоже является на
]
,
[
b
a
интегрируемой функцией.
Доказательство.
Запишем тождество
2
2
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
4
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
.
По следствию из теоремы об интегрируемости сложной функции квадрат
интегрируемой функции является интегрируемой функцией. Но функции
g(x)
)
(
x
f
интегрируемы по свойству линейности.
3. Интегрируемость на подмножествах.
Пусть функция
)
(
x
f
интегри-
руема на сегменте
]
,
[
b
a
. Тогда она интегрируема на любом сегменте
]
,
[
d
c
, со-
держащемся в сегменте
]
,
[
b
a
.
Доказательство.
Выберем произвольно
0
и такое разбиение
n
k
k
x
0
, что
s
S
. Добавим к точкам разбиения еще и точки
c
и
d.
В
силу свойства монотонности сумм Дарбу имеем
S
S
s
s
,
где
- разбиение, полученное из разбиения
добавлением точек
c
и
d..
По-
этому будет выполняться неравенство
s
S
.
Пусть
означает разбиение отрезка
]
,
[
d
c
, полученное точками разбиения
отрезка
]
,
[
b
a
. Тогда
s
S
s
S
,
так как каждое неотрицательное слагаемое
k
k
k
x
m
M
)
(
в выражении
s
S
будет входить и в сумму
s
S
. Поэтому функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
d
c
.
Определение.
0
)
(
def
a
a
dx
x
f
.
При
a<b
b
a
def
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
.
23
4. Аддитивность интеграла.
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на сег-
ментах
]
,
[
c
a
и
]
,
[
b
c
, то функция интегрируема и на сегменте
]
,
[
b
a
, причем
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
Доказательство.
При
a=b
это свойство справедливо в силу определения.
Предположим сначала, что
a<c<b.
Выберем произвольное число
0
.
Пусть
n
k
k
x
0
,
n
k
k
x
0
- такие разбиения сегментов
]
,
[
c
a
и
]
,
[
b
c
, что
на каждом из этих сегментов
2
s
S
. Пусть разбиение
n
k
k
x
0
)
(
n
n
n
- разбиение сегмента
]
,
[
b
a
, состоящее из точек разбиений
и
.
Тогда
s
S
s
S
s
S
.
Поэтому функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
b
a
. Пусть теперь
n
k
k
x
0
-
любое разбиение сегмента
]
,
[
b
a
, содержащее точку
c
. Тогда
]
,
[
]
,
[
1
)
(
)
(
)
(
b
c
k
k
k
c
a
k
n
k
k
k
x
f
x
f
x
f
.
При стремлении мелкости разбиения к нулю в пределе
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
Если
]
,
[
b
a
c
, то либо
]
,
[
]
,
[
b
c
b
a
, либо
]
,
[
]
,
[
c
a
b
a
. Пусть, например
c<a<b.
В силу свойства интегрируемости по подмножествам функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
b
a
как на подмножестве. В силу уже доказанного, посколь-
ку
c<a<b,
b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
.
По принятому соглашению
c
a
c
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
.
Свойство полностью доказано. Отметим, что формулу для этого свойства
можно записать в виде
0
)
(
)
(
)
(
c
a
b
c
a
b
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
.
24
Оценки интегралов.
Теорема.
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
b
a
и для всех
]
,
[
b
a
x
0
)
(
x
f
, то
b
a
dx
x
f
0
)
(
.
Доказательство.
Для любого разбиения
n
k
k
x
0
и любого выбора про-
межуточных точек
k
k
k
x
x
,
1
по условию имеем
0
)
(
1
k
m
k
k
x
f
.
Пусть
d
- мелкость разбиения
. Предположим противное, то есть, что
0
lim
0
d
A
Пусть
A
. Выберем разбиение
n
k
k
x
0
таким образом, чтобы
A
A
. Но
0
A
,
0
,
поэтому
A
A
A
A
A
)
(
. Это
неравенство возможно только при
0
.
Противоречие. Теорема доказана.
Следствие (интегрирование неравенства).
Если функции
)
(
x
f
и
)
(
x
g
интегрируемы на
]
,
[
b
a
и для всех
]
,
[
b
a
x
)
(
)
(
x
g
x
f
, то
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
.
Доказательство.
Функция
)
(
)
(
x
f
x
g
интегрируема и неотрицательна на
]
,
[
b
a
, причем
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
g
dx
x
f
x
g
)
(
)
(
))
(
)
(
(
0
.
Следствие доказано.
Теорема.
Пусть функция
)
(
x
f
непрерывна и неотрицательна на сегменте
]
,
[
b
a
. Пусть существует хотя бы одна точка
]
,
[
0
b
a
x
, в которой
0
)
(
0
x
f
.
Тогда найдется такое число
0
, для которого
b
a
dx
x
f
0
)
(
Доказательство.
Пусть
0
)
(
0
x
f
. Тогда в силу непрерывности функ-
ции
)
(
x
f
в точке
0
x
найдется такая окрестность точки
0
x
, что для любого от-
25
резка
]
,
[
d
c
, лежащего в этой окрестности, будет выполнено неравенство
2
)
(
x
f
.
Зафиксируем
0
. В силу непрерывности в точке
0
x
найдется
0
такое,
что при
0
x
x
выполняется неравенство
)
0
(
)
(
x
f
x
f
, то есть
)
(
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
x
f
.
Выбрав
0
2
)
(
0
x
f
, получим
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
.
При
0
)
(
0
x
f
получим при
0
x
x
неравенство
2
)
(
x
f
. Отсюда имеем
b
a
d
c
d
c
c
d
dx
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
2
)
(
)
(
.
Теорема.
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на отрезке
]
,
[
b
a
, то функция
)
(
x
f
тоже интегрируема на отрезке
]
,
[
b
a
и справедливо неравенство
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a
)
(
)
(
.
Доказательство.
Интегрируемость функции
)
(
x
f
вытекает из следствия
из теоремы об интегрируемости сложной функции. Выберем число
1
так,
чтобы
b
a
dx
x
f
0
)
(
.
Справедливы следующие неравенства
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
f
для всех
]
,
[
b
a
x
.
Поэтому в силу свойства интегрирования неравенств получаем
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a
b
a
b
a
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Следствие.
Если
)
(
sup
]
,
[
x
f
M
b
a
, где
)
(
x
f
- интегрируемая на
]
,
[
b
a
функ-
ция, то
)
(
)
(
)
(
a
b
M
dx
x
f
dx
x
f
b
a
b
a
.
26
Формула среднего значения.
Теорема.
Пусть каждая из функций
g(x)
и
)
(
x
f
интегрируема на сегменте
[
a,b
] и, кроме того,
b
a
x
0),
(g(x)
x
g
,
0
)
(
.
Пусть
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
x
f
m
x
f
M
b
a
b
a
(напомним, что интегрируемая функция
ограничена). Тогда найдется такое число
, удовлетворяющее неравенствам
M
m
, для которого выполняется равенство
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
.
При дополнительном предположении о непрерывности функции
)
(
x
f
на
сегменте [
a,b
] найдется такая точка
]
,
[
b
a
, что
b
a
b
a
dx
x
g
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
В частности, при g(x)=1,
b
a
a
b
f
dx
x
f
)
)(
(
)
(
Доказательство.
По определению точных граней
M
x
f
m
)
(
.
Пусть
0
)
(
x
g
. Тогда
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Mg
x
g
x
f
x
mg
.
Причем все функции в этом неравенстве интегрируемы на [
a,b
]
.
Интегрируя
это неравенство, получаем
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
M
dx
x
g
x
f
dx
x
g
m
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Если
b
a
dx
x
g
0
)
(
, то
b
a
dx
x
g
x
f
0
)
(
)
(
, то есть утверждение теоремы верно
при любом
. Пусть теперь
b
a
dx
x
g
0
)
(
. Тогда при делении неравенства на
этот интеграл, получим
M
dx
x
g
dx
x
g
x
f
m
b
a
b
a
)
(
)
(
)
(
.
Обозначим символом
число