ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 361
Скачиваний: 21
17
Следствие 1.
Ограниченная на сегменте
]
,
[
b
a
функция
)
(
x
f
, имеющая
лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте.
Доказательство.
Если
p
– количество точек разрыва, то достаточно каж-
дую точку разрыва покрыть интервалом длины, равной
p
2
. Тогда все точки
разрыва будут покрыты конечным числом интервалов с суммой длин
2
.
Следствие 2.
Пусть функция
)
(
x
f
интегрируема на сегменте
]
,
[
b
a
, а
функция
)
(
x
g
совпадает с функцией
)
(
x
f
во всех точках сегмента
]
,
[
b
a
, кроме,
может быть, конечного числа точек. Тогда функция
)
(
x
g
тоже интегрируема на
отрезке
]
,
[
b
a
и
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
.
Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечное число точек
разрыва.
Пусть на сегменте
]
1
,
0
[
задана функция
0
,
0
]
1
,
0
(
,
1
sin
sgn
)
(
x
x
x
x
f
Эта функция имеет разрывы 1-го рода во всех точках
...
3
,
2
,
1
,
1
k
k
x
k
и разрыв 2-го рода в точке
x=0.
x
y
1
1
3
1
2
1
1
18
Зафиксируем произвольное число
0
. Покроем точку
x=0
интервалом
)
4
,
4
(
. Вне этого интервала находится лишь конечное число
p
точек разрыва
функции. Число
p
зависит от
. Покроем каждую их этих точек интервалом
длины меньшей
p
2
. Тогда все точки разрыва функции покрыты конечным
числом интервалов, сумма длин которых меньше, чем
p
p
2
2
. Значит, эта
функция интегрируема на сегменте
]
1
,
0
[
.
Теорема.
Монотонная на сегменте
]
,
[
b
a
функция
)
(
x
f
интегрируема по
Риману на этом сегменте.
Доказательство.
Случай, когда функция
)
(
x
f
постоянна, можно исклю-
чить. Пусть функция
)
(
x
f
является неубывающей на отрезке
]
,
[
b
a
. Зафиксиру-
ем
0
произвольным образом. Выберем разбиение
n
k
k
x
1
сегмента
]
,
[
b
a
с диаметром
)
(
)
(
a
f
b
f
d
. Так как
const
x
f
)
(
, то
)
(
)
(
a
f
b
f
. Оценим
разность
s
S
. Пусть
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
1
1
x
f
m
x
f
M
k
k
k
k
x
x
k
x
x
k
.
Тогда
n
k
k
k
n
k
k
k
k
m
M
a
f
b
f
x
m
M
s
S
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Для неубывающей функции
)
(
),
(
,
1
,...,
2
,
1
,
)
(
1
1
a
f
m
b
f
M
n
k
m
x
f
M
n
k
k
k
.
Поэтому
))
(
)
(
(
)
(
)
(
))
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
1
1
2
1
a
f
b
f
a
f
b
f
x
f
b
f
x
f
x
f
a
f
x
f
a
f
b
f
s
S
n
Таким образом, мы по заданному
0
построили разбиение
, для которо-
го
s
S
, так что по основной теореме функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
b
a
. Теорема доказана.
19
Интегрируемость сложной функции.
Теорема.
Пусть функция
)
(
x
f
интегрируема по Риману на сегменте
]
,
[
b
a
.
Пусть
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
x
f
m
x
f
M
b
a
b
a
. Пусть функция
)
(
x
непрерывна на сегмен-
те
]
,
[
M
m
.
Тогда сложная функция
))
(
(
x
f
h
интегрируема по Риману на сегменте
]
,
[
b
a
.
Доказательство.
Пусть
0
,
)
(
max
t
C
M
t
m
- произвольное число. Поло-
жим
C
a
b
2
1
.
По теореме Кантора функция
)
(
t
равномерно непрерывна на
]
,
[
M
m
. По-
этому существует такое
0
, что для всех пар точек
]
,
[
,
2
1
M
m
t
t
, удовлетво-
ряющих условию
2
1
t
t
, выполняется неравенство
1
2
1
)
(
)
(
t
t
.
В силу интегрируемости функции
)
(
x
f
на
]
,
[
b
a
существует такое разбие-
ние
n
k
k
x
1
отрезка
]
,
[
b
a
, для которого
2
s
S
. Выберем
еще и с ус-
ловием
1
. Положим
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
]
,
[
1
1
x
f
m
x
f
M
k
k
k
k
x
x
k
x
x
k
,
)
(
inf
),
(
sup
]
,
[
*
]
,
[
*
1
1
x
h
m
x
h
M
k
k
k
k
x
x
k
x
x
k
.
Разобьем целые числа 1
, …, n
на два множества
A
и
B
следующим образом:
1)
A
k
, если
k
k
m
M
.
2)
B
k
, если
k
k
m
M
.
Если
A
k
, то
k
k
m
M
и в силу равномерной непрерывности функции
)
(
t
на сегменте
]
,
[
M
m
получим, что
1
*
*
k
k
m
M
, поскольку в этом случае
)
(
inf
)
(
sup
]
,
[
]
,
[
1
1
x
f
x
f
m
M
k
k
k
k
x
x
x
x
k
k
,
то есть при
]
,
[
,
1
k
k
x
x
y
x
разность
2
1
)
(
)
(
t
t
y
f
x
f
по абсолютной вели-
чине меньше
:
2
1
t
t
, где
)
(
),
(
2
1
y
f
t
x
f
t
. Поэтому, в силу непрерыв-
ности (а следовательно, равномерной непрерывности) функции
)
(
t
на сегмен-
те
]
,
[
M
m
мы получим
1
2
1
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
t
t
y
f
x
f
.
Это неравенство справедливо для всех пар точек
x
и
y
, принадлежащих сег-
менту
]
,
[
1
k
k
x
x
. Поэтому
1
]
,
[
]
,
[
))
(
(
inf
))
(
(
sup
1
1
x
f
x
f
k
k
k
k
x
x
x
x
.
20
Если
B
k
, то
C
y
f
x
f
y
f
x
f
x
f
x
f
m
M
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
2
)
)
(
)
(
(
sup
)
(
)
(
sup
))
(
(
inf
))
(
(
sup
]
,
[
]
,
[
]
,
[
]
,
[
*
*
1
1
1
1
Пусть
*
*
,
s
S
– верхняя и нижняя соответственно суммы Дарбу данного
разбиения
функции
)
(
x
h
.
Тогда
k
B
k
k
k
B
k
k
k
k
A
k
k
k
k
n
k
k
x
C
a
b
x
m
M
x
m
M
x
m
M
s
S
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
*
*
*
*
*
1
*
*
*
Оценим сумму
B
k
k
x
. Имеем
2
1
)
(
)
(
s
S
x
m
M
x
m
M
x
k
k
n
k
k
k
k
B
k
k
k
B
k
.
Отсюда
1
B
k
k
x
.
Окончательно получаем
1
1
1
*
*
2
)
(
2
)
(
C
a
b
x
C
a
b
s
S
k
B
k
.
По основной теореме получаем, что функция
)
(
x
h
интегрируема на
]
,
[
b
a
.
Теорема доказана.
Следствие.
Если функция
)
(
x
f
интегрируема на сегменте
]
,
[
b
a
, то для
любого
положительного
числа
0
функция
)
(
x
f
интегрируема на этом же
сегменте.
Доказательство.
Поскольку функция
t
t
)
(
непрерывна, то достаточно
применить теорему. Следствие доказано.
Отметим, что из интегрируемости функции
)
(
x
f
не следует интегрируе-
мость функции
)
(
x
f
. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим пример.
Пусть на отрезке
]
1
,
0
[
задана функция
число
ьное
иррационал
-
x
если
число
ое
рациональн
-
x
если
x
D
,
1
,
1
)
(
1
21
Поскольку
1
)
(
1
x
D
, то функция
)
(
1
x
D
интегрируема на отрезке
]
1
,
0
[
.
Вместе с тем функция
)
(
1
x
D
не является интегрируемой на
]
1
,
0
[
, так как
1
)
1
(
,
1
1
1
1
1
1
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
x
x
m
s
x
x
M
S
для любого разбиения
n
k
k
x
1
, то есть
s
S
d
d
0
0
lim
lim
.
Простейшие свойства определенного интеграла Римана.
1. Линейность.
1а) Если функции
g(x)
и
)
(
x
f
интегрируемы на
]
,
[
b
a
, то функции
g(x)
)
(
x
f
также интегрируемы на
]
,
[
b
a
, причем
b
a
a
b
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
.
Доказательство.
При любом разбиении сегмента
]
,
[
b
a
и любом промежу-
точном выборе точек
k
имеем
n
k
k
k
k
n
k
k
n
k
k
k
k
x
g
x
f
x
g
f
1
1
1
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
Поэтому из существования предела правой части при стремлении диаметра
разбиения к нулю вытекает существование предела левой части и равенство
пределов.
1б) Если функция
)
(
x
f
интегрируема на
]
,
[
b
a
, то функция
)
(
x
cf
, где
c –
const
, также интегрируема на
]
,
[
b
a
, причем
b
a
a
dx
x
f
c
dx
x
cf
)
(
)
(
.
Доказательство.
Это утверждение сразу вытекает из равенства
k
n
k
k
n
k
k
k
x
f
c
x
cf
1
1
)
(
)
(
,
справедливого для любого разбиения и любого выбора промежуточных точек
k
.