ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 573
Скачиваний: 1
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ
И
НАУКИ
РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«
ВОРОНЕЖСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
»
ОСНОВНЫЕ
МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Учебно
-
методическое
пособие
для
вузов
Составители
:
П
.
С
.
Украинский
,
Э
.
Л
.
Шишкина
,
Г
.
А
.
Виноградова
Издательско
-
полиграфический
центр
Воронежского
государственного
университета
2013
Утверждено
научно
-
методическим
советом
факультета
прикладной
математики
,
информатики
и
механики
25
октября
2013
г
.,
протокол
№
2
Рецензент
канд
.
физ
.-
мат
.
наук
,
доц
.
С
.
П
.
Зубова
Учебно
-
методическое
пособие
по
дисциплине
«
Математический
анализ
»
подготовлено
на
кафедре
математического
и
прикладного
анализа
факультета
прикладной
математики
,
информатики
и
механики
Воронежского
государственного
университета
.
Рекомендуется
для
студентов
первого
курса
очной
и
очно
-
заочной
форм
обучения
факультета
прикладной
математики
,
информатики
и
механики
.
Для
направлений
: 010500 –
Математическое
обеспечение
и
администрирование
информационных
систем
, 010300 –
Фундаментальные
информатика
и
информационные
технологии
, 010400 –
Прикладная
математика
и
информатика
, 010800 –
Механика
и
математическое
моделирование
, 230700 –
Прикладная
информатика
, 010900 –
Механика
,
080500 –
Бизнес
-
информатика
Введение
В настоящем пособии приведены основные методы интегрирования.
Каждый метод проиллюстрирован решением соответствующего примера.
В пособии изложено решение 34 примеров. В §3 приведены задания для
самостоятельной работы, которые сгруппированы по темам.
§1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
Определение 1
Функция
F
(
x
)
в данном промежутке называется
перво-
образной функцией
для функции
f
(
x
)
, если во всем этом промежутке
F
′
(
x
) =
f
(
x
)
.
Теорема 1
Если в некотором промежутке функция
F
(
x
)
есть первообраз-
ная для
f
(
x
)
, то и функция
F
(
x
) +
C
, где
C
произвольная постоянная,
также будет первообразной функцией для
f
(
x
)
.
Обратно, каждая функ-
ция, первообразная для
f
(
x
)
представима в виде
F
(
x
) +
C.
Определение 2
Символ
∫
f
(
x
)
dx
обозначает совокупность всех первооб-
разных для функции
f
(
x
)
и называется
неопределенным интегралом
для
функции
f
(
x
)
.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают
следующие свойства:
1.
d
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx,
2.
∫
F
′
(
x
)
dx
=
F
(
x
) +
C
,
3.
∫
dF
(
x
) =
F
(
x
) +
C.
Таблица основных неопределенных интегралов
1.
∫
0
dx
=
C,
2.
∫
dx
=
x
+
C,
3.
∫
x
α
dx
=
x
α
+1
α
+1
+
C,
α
̸
=
−
1
,
4.
∫
dx
x
= ln
|
x
|
+
C,
на промежутке, не содержащем нуль,
5.
∫
a
x
dx
=
a
x
ln
a
+
C
,
3
5a.
∫
e
x
dx
=
e
x
+
C
,
6.
∫
sin
x dx
=
−
cos
x
+
C,
7.
∫
cos
x dx
= sin
x
+
C
,
8.
∫
dx
1+
x
2
= arctg
x
+
C
,
9.
∫
dx
√
1
−
x
2
= arcsin
x
+
C,
10.
∫
dx
sin
2
x
=
−
ctg
x
+
C,
11.
∫
dx
cos
2
x
= tg
x
+
C,
12.
∫
sh
x dx
= ch
x
+
C,
13.
∫
ch
x dx
= sh
x
+
C,
14.
∫
dx
sh
2
x
=
−
cth
x
+
C,
15.
∫
dx
ch
2
x
= th
x
+
C.
Простейшие правила интегрирования
1. Если
a
– постоянная,
a
̸
= 0
, то
∫
a f
(
x
)
dx
=
a
∫
f
(
x
)
dx.
2.
∫
(
f
(
x
)
±
g
(
x
))
dx
=
∫
f
(
x
)
dx
±
∫
g
(
x
)
dx.
Тема 1. Применение простейших правил интегрирования
Пример 1
.
∫
x
3
(1
−
x
)
2
dx
=
∫
x
3
(
1
−
2
x
+
x
2
)
dx
=
=
∫ (
x
3
−
2
x
4
+
x
5
)
dx
=
∫
x
3
dx
−
2
∫
x
4
dx
+
∫
x
5
dx
=
x
4
4
−
2
x
5
5
+
x
6
6
+
C.
Пример 2.
∫ (
a
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
)
dx
=
a
∫
dx
x
+
a
2
∫
x
−
2
dx
+
a
3
∫
x
−
3
dx
=
=
a
ln
|
x
|
+
a
2
x
−
1
−
1
+
a
3
x
−
2
−
2
+
C
=
a
ln
|
x
| −
a
2
x
−
a
3
2
x
2
+
C.
Пример 3.
∫ (
√
x
+
1
√
x
) √
x
√
x dx
=
∫
(
x
1
2
+
x
−
1
2
)
x
3
4
dx
=
∫ (
x
5
4
+
x
1
4
)
dx
=
4
=
4
x
9
4
9
+
4
x
5
4
5
+
C.
Пример 4.
∫
(2
x
+
e
x
)
dx
=
∫
2
x
dx
+
∫
e
x
dx
=
2
x
ln 2
+
e
x
+
C.
Пример 5.
∫ (
2 cos
x
+ tg
2
x
)
dx
= 2
∫
cos
x dx
+
∫
tg
2
xdx
= 2 sin
x
+
+
∫ (
tg
2
x
+ 1
−
1
)
dx
= 2 sin
x
+
∫
1
cos
2
x
dx
−
∫
dx
=
= 2 sin
x
+ tg
x
−
x
+
C.
Тема 2. Внесение постоянной под знак дифференциала
Знак
dx
, стоящий под знаком интеграла, – это дифференциал перемен-
ной
x
. Вспомним, что для дифференцируемых функций
f
(
x
)
,
u
(
x
)
,
v
(
x
)
и
постоянной
c
имеют место формулы
1.
df
(
x
) =
f
′
(
x
)
dx
,
2.
d
(
u
+
v
) =
du
+
dv
,
3.
d
(
cu
) =
cdu
,
4.
dc
= 0
.
На основе этих формул, если
a
и
b
– постоянные, имеем
dx
=
1
a
d
(
ax
) =
1
a
d
(
ax
+
b
)
.
Пример 6.
∫
dx
(
x
+ 2)
2
=
∫
d
(
x
+ 2)
(
x
+ 2)
2
=
{
обозначим
x
+ 2 =
t
}
=
∫
dt
t
2
=
5