ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 268
Скачиваний: 1
−
2
t
(
t
2
−
1)
2
dt
, получим
I
=
−
2
∫
t
2
−
1
t
2
dt
=
−
2
∫ (
1
−
1
t
2
)
dt
=
−
2
(
t
+
1
t
)
+
C
=
=
−
2
(√
1
x
+ 1 +
√
x
x
+ 1
)
+
C.
9г. Подстановки Эйлера. В интегралах вида
∫
R
(
x,
√
ax
2
+
bx
+
c
)
dx
применяются следующие подстановки:
1)
√
ax
2
+
bx
+
c
=
±
√
ax
+
t
, если
a >
0
,
2)
√
ax
2
+
bx
+
c
=
xt
±
√
c
, если
c >
0
,
3)
√
a
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
) =
t
(
x
−
x
1
)
, где
x
1
,
x
2
– действительные корни
квадратного трехчлена
ax
2
+
bx
+
c
.
Знак выбираем произвольно.
Пример 30.
I
=
∫
1
−
√
1 +
x
+
x
2
x
√
1 +
x
+
x
2
dx.
Выберем вторую подстановку Эйлера:
√
1 +
x
+
x
2
=
xt
+ 1
. Взведем
в квадрат обе части последнего выражения
1 +
x
+
x
2
=
x
2
t
2
+ 2
xt
+ 1
,
получим
x
=
2
t
−
1
1
−
t
2
,
dx
= 2
1
−
t
+
t
2
(1
−
t
2
)
2
.
Далее
√
1 +
x
+
x
2
=
1
−
t
+
t
2
1
−
t
2
,
t
=
√
1 +
x
+
x
2
−
1
x
.
Будем иметь
I
=
∫
−
2
t
1
−
t
2
dt
=
∫
d
(1
−
t
2
)
1
−
t
2
= ln
|
1
−
t
2
|
+
C
=
= ln
1
−
(
√
1 +
x
+
x
2
−
1
x
)
2
+
C.
21
Замечание. Подстановки Эйлера дают громоздкие выкладки, поэтому,
если можно, применяют другие методы (см. темы 6 и 8).
Тема 10. Интегрирование тригонометрических выражений
Случай 1. Интегралы вида
∫
sin
m
x
·
cos
n
x dx,
где
m
и
n
целые числа
можно вычислить следующими двумя способами:
1. Если хотя бы одно из чисел
m
или
n
нечетно, то нужно от нечетной
степени "отщепить" одну и подвести под знак дифференциала. Далее
сделать очевидную подстановку.
Пример 31.
∫
cos
3
x
·
sin
7
x dx
=
∫
cos
2
x
·
sin
7
x d
sin
x
=
=
∫
(1
−
sin
2
x
) sin
7
x d
sin
x
=
∫
sin
7
x d
sin
x
−
∫
sin
9
d
sin
x
=
=
sin
8
x
8
−
sin
10
x
10
+
C.
2. Если
m
или
n
четные числа, то применяются формулы понижения
степени:
cos
2
x
=
1 + cos 2
x
2
,
sin
2
x
=
1
−
cos 2
x
2
.
Пример 32.
∫
cos
4
x dx
=
∫ (
1 + cos 2
x
2
)
2
dx
=
1
4
∫
(1+2 cos 2
x
+ cos
2
2
x
)
dx
=
=
1
4
∫
dx
+
1
2
∫
cos 2
xd
(2
x
) +
1
4
∫
1 + cos 4
x
2
dx
=
x
4
+
1
4
sin 2
x
+
+
1
8
∫
dx
+
1
8
∫
cos 4
x dx
=
x
4
+
1
4
sin 2
x
+
x
8
+
1
32
sin 4
x
+
C.
Замечание. Имеют место также рекуррентные формулы понижения сте-
пени (см. № 2011, № 2012 в [1]).
22
Случай 2. Интегралы вида
∫
R
(sin
x,
cos
x
)
dx,
где
R
(
u, v
)
рациональная
функция, вычисляются с помощью следующих подстановок.
1. Если выполняется равенство
R
(
−
sin
x,
−
cos
x
) =
R
(sin
x,
cos
x
)
, то
подстановка
tg
x
=
t
, в этом случае
sin
2
x
=
t
2
1+
t
2
,
cos
2
x
=
1
1+
t
2
,
sin
x
cos
x
=
t
1+
t
2
,
dx
=
dt
1+
t
2
. Этих формул достаточно, чтобы осу-
ществить замену переменных в интеграле.
2. Если
R
(
−
sin
x,
cos
x
) =
−
R
(sin
x,
cos
x
)
, то используется подстановка
cos
x
=
t
.
3. Если
R
(sin
x,
−
cos
x
) =
−
R
(sin
x,
cos
x
)
, то используется подстановка
sin
x
=
t
.
4. Универсальная подстановка
tg
x
2
=
t
. В этом случае
sin
x
=
2
t
1+
t
2
,
cos
x
=
1
−
t
2
1+
t
2
,
dx
=
2
td
1+
t
2
.
Универсальную подстановку можно применять для любой рациональ-
ной функции
R
(sin
x,
cos
x
)
, но если подходят замены 1,2,3, то лучше поль-
зоваться ими, выкладки могут быть короче.
Возможны и другие методы интегрирования.
Пример 33.
I
=
∫
cos
x
−
2 sin
x
4 cos
3
x
+ sin
2
x
cos
x
dx.
Поскольку
R
(
−
sin
x,
−
cos
x
) =
−
cos
x
−
2(
−
sin
x
)
4(
−
cos
x
)
3
+ (
−
sin
x
)
2
(
−
cos
x
)
=
=
cos
x
−
2 sin
x
4 cos
3
x
+ sin
2
x
cos
x
=
R
(sin
x,
cos
x
)
,
то, будем использовать подстановку
tg
x
=
t
(случай 1). Поделив числитель
и знаменатель в
I
и произведя замену
tg
x
=
t
, получим
I
=
∫
1
−
2 tg
x
4 cos
dx
=
∫
1
−
2
t
(
4
1+
t
2
+
t
2
1+
t
2
)
(1 +
t
2
)
dt
=
∫
1
−
2
t
4 +
t
2
dt
=
23
=
∫
dt
4 +
t
2
−
∫
2
t dt
1 +
t
2
=
1
2
arctg
t
2
−
ln(
t
2
+ 1) +
C
=
=
1
2
arctg
tg
x
2
−
ln(tg
2
x
+ 1) +
C.
Пример 34.
I
=
∫
dx
cos
x
(1 + sin
x
)
.
Поскольку
R
(sin
x,
−
cos
x
) =
1
−
cos
x
(1+sin
x
)
=
−
R
(sin
x,
cos
x
)
, то будем ис-
пользовать подстановку
sin
x
=
t
(случай 2), получим
I
=
∫
cos
xdx
cos
2
x
(1 + sin
x
)
=
∫
d
sin
x
(1
−
sin
2
x
)(1 + sin
x
)
=
∫
dt
(1
−
t
2
)(1 +
t
)
.
Получен интеграл от рациональной дроби. Будем иметь
1
(1
−
t
2
)(1 +
t
)
=
1
(1
−
t
)(1 +
t
)
2
=
A
1
−
t
+
B
(1 +
t
)
2
+
C
1 +
t
=
=
A
(1 +
t
)
2
+
B
(1
−
t
) +
C
(1
−
t
)(1 +
t
)
(1
−
t
)(1 +
t
)
2
.
Числители дробей слева и справа равны при любых
t
. Подставим три раз-
ных
t
:
при
t
=
−
1
1 = 2
B
,
при
t
= 1
1 = 4
A
,
при
t
= 0
1 =
A
+
B
+
C
.
Из полученной системы имеем
A
=
1
4
,
B
=
1
2
,
C
=
1
4
, т.о. получим
I
=
1
4
∫
dt
1
−
t
+
1
2
∫
dt
(1 +
t
)
2
+
1
4
∫
dt
1 +
t
=
=
−
1
4
ln
|
1
−
t
| −
1
2
1
1 +
t
+
1
4
ln
|
1 +
t
|
+
C
=
=
−
1
4
ln
|
1
−
sin
x
| −
1
2
1
1 + sin
x
+
1
4
ln
|
1 + sin
x
|
+
C.
24
§3. Задания для самостоятельной работы
Задачи сгруппированы по темам. Номер задач указаны по задачнику [1].
Тема 1. 1628-1650 четные номера.
Тема 2. 1656-1666 четные номера.
Тема 3. 1675-1697 четные номера.
Тема 4. 1766, 1767, 1768, 1769, 1771, 1774.
Тема 5. 1780, 1787, 1799.
Тема 6. 1792, 1795, 1800, 1803, 1804, 1807, 1812, 1814, 1829, 1830.
Тема 7. 1837, 1838, 1840, 1847, 1851, 1852, 1853(а,б).
Тема 8. 1867, 1869, 1871, 1878, 1883.
Тема 9а. 1926, 1927, 1928, 1929.
Тема 9б. 1931, 1933.
Тема 9в. 1981, 1983, 1984, 1985.
Тема 9г. 1966-1969.
Тема 10а. 1991, 1993, 1995, 1999.
Тема 10б. 2025, 2027, 2028, 2029, 2032, 2038.
Список литературы
1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому ана-
лизу / Б. П. Демидович. - М.: Физматлит, 2002. - 558 с.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния / Г. М. Фихтенгольц. Т.2. - СПБ: Лань, 1997.
3. Кудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Ин-
тегралы. Ряды.: Учебное пособие для вузов / Под редакцией Л. Д. Куд-
рявцева. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1986. - 528 с.
25