ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 259
Скачиваний: 1
v
=
∫
cos 2
xdx
=
1
2
∫
cos 2
xd
(2
x
)=
1
2
sin 2
x
. Получим
∫
x
2
cos 2
xdx
=
1
2
x
2
sin 2
x
−
∫
1
2
sin 2
x
·
2
x dx
=
1
2
x
2
sin 2
x
−
∫
x
sin 2
xdx
=
=
{
u
=
x
du
=
dx
dv
= sin 2
xdx v
=
∫
sin 2
xdx
=
−
1
2
cos 2
x
}
=
1
2
x
2
sin 2
x
+
x
2
cos 2
x
−
−
1
2
∫
cos 2
xdx
=
x
2
2
sin 2
x
+
x
2
cos 2
x
−
1
4
sin 2
x
+
C.
Пример 20.
∫
arctg
√
xdx
=
{
u
= arctg
√
x du
=
1
1+
x
1
2
√
x
dx
dv
=
dx
v
=
x
}
=
=
x
arctg
√
x
−
1
2
∫
x dx
(1 +
x
)
√
x
=
x
arctg
√
x
−
1
2
∫
√
x dx
1 +
x
=
=
{
√
x
=
t, x
=
t
2
, dx
= 2
tdt
}
=
x
arctg
√
x
−
∫
t
2
1 +
t
2
dt
=
=
x
arctg
√
x
−
∫
1 +
t
2
−
1
1 +
t
2
dt
=
x
arctg
√
x
−
∫
dt
+
∫
dt
t
2
+ 1
=
=
x
arctg
√
x
−
t
+ arctg
t
+
C
=
x
arctg
√
x
−
√
x
+ arctg
√
x
+
C.
Пример 21.
∫
sin(ln
x
)
dx
=
{
u
= sin(ln
x
)
du
= cos(ln
x
)
1
x
dx
dv
=
dx
v
=
x
}
=
x
sin(ln
x
)
−
−
∫
x
cos(ln
x
)
1
x
dx
=
x
sin(ln
x
)
−
∫
cos(ln
x
)
dx
=
=
{
u
= cos(ln
x
)
du
=
−
sin(ln
x
)
1
x
dx
dv
=
dx
v
=
x
}
=
x
sin(ln
x
)
−
−
x
cos(ln
x
)
−
∫
x
sin(ln
x
)
1
x
dx.
11
Получаем уравнение:
∫
sin(ln
x
)
dx
=
x
sin(ln
x
)
−
x
cos(ln
x
)
−
∫
sin(ln
x
)
dx.
Откуда, выражая интеграл
∫
sin(ln
x
)
dx
, будем иметь
∫
sin(ln
x
)
dx
=
x
2
(sin(ln
x
)
−
cos(ln
x
))
.
Пример 22.
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx
=
{
u
=
e
ax
du
=
ae
ax
dx
dv
= cos(
bx
)
dx v
=
1
b
sin(
bx
)
}
=
=
1
b
e
ax
sin(
bx
)
−
a
b
∫
e
ax
sin(
bx
)
dx
=
{
u
=
e
ax
du
=
ae
ax
dx
dv
= sin(
bx
)
dx v
=
−
1
b
cos(
bx
)
}
=
=
1
b
e
ax
sin(
bx
)
−
a
b
(
−
1
b
e
ax
cos(
bx
) +
a
b
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx
)
=
=
1
b
e
ax
sin(
bx
) +
a
b
2
e
ax
cos(
bx
)
−
a
2
b
2
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx.
Получаем уравнение:
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx
=
1
b
e
ax
sin(
bx
) +
a
b
2
e
ax
cos(
bx
)
−
a
2
b
2
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx.
Откуда, выражая интеграл
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx
, будем иметь
∫
e
ax
cos(
bx
)
dx
=
b
a
2
+
b
2
(
e
ax
sin(
bx
) +
a
b
e
ax
cos(
bx
)
)
.
Дополнительная таблица интегралов
1.
∫
dx
a
2
+
x
2
=
1
a
arctg
x
a
+
C,
a
̸
= 0
,
2.
∫
dx
a
2
−
x
2
=
1
2
a
ln
a
+
x
a
−
x
+
C,
a
̸
= 0
,
3.
∫
dx
√
a
2
−
x
2
= arcsin
x
a
+
C,
a >
0
,
4.
∫
dx
√
x
2
±
a
2
= ln
x
+
√
x
2
±
a
2
+
C,
a >
0
,
12
5.
∫
√
x
2
±
a
2
=
x
2
√
x
2
±
a
2
±
a
2
2
ln
x
+
√
x
2
±
a
2
+
C,
6.
∫
√
a
2
−
x
2
=
x
2
√
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+
C,
a >
0
.
Все эти интегралы вычисляемые и разными методами сводятся к ос-
новной таблице интегралов. Смотрите, например, пример 8 и пример 18.
Далее этой таблицей можно пользоваться как общеизвестной.
Тема 7. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен
Пример 23.
∫
x
+ 1
x
2
+
x
+ 1
dx.
Шаг 1. Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене:
x
2
+
x
+ 1 =
x
2
+ 2
·
x
·
1
2
+
1
4
−
1
4
+ 1 =
(
x
+
1
2
)
2
+
3
4
.
Шаг 2. Производим замену
x
+
1
2
=
t
,
x
+
1
2
=
t
,
dx
=
dt
.
Имеем
∫
x
+ 1
x
2
+
x
+ 1
dx
=
∫
x
+ 1
(
x
+
1
2
)
2
+
3
4
dx
=
∫
t
+
1
2
t
2
+
3
4
dt
=
∫
t dt
t
2
+
3
4
+
1
2
∫
dt
t
2
+
3
4
=
=
1
2
∫
d
(
t
2
+
3
4
)
t
2
+
3
4
+
1
2
∫
dt
t
2
+
3
4
=
1
2
ln
(
t
2
+
3
4
)
+
1
2
·
2
√
3
arctg
2
t
√
3
+
C
=
=
1
2
ln
((
x
+
1
2
)
2
+
3
4
)
+
1
2
·
2
√
3
arctg
2
x
+ 1
√
3
+
C
=
=
1
2
ln(
x
2
+
x
+ 1) +
1
√
3
arctg
2
x
+ 1
√
3
+
C.
Пример 24.
∫
x dx
√
6
−
4
x
−
2
x
2
=
∫
x dx
√
−
2(
x
2
+ 2
x
−
3)
=
1
√
2
∫
x dx
√
−
(
x
2
+ 2
x
−
3)
=
=
{
−
(
x
2
+2
x
−
3)=
−
(
x
2
+2
x
+1
−
1
−
3)=
−
((
x
+1)
2
−
4)=4
−
(
x
+1)
2
}
=
13
=
1
√
2
∫
x dx
√
4
−
(
x
+ 1)
2
=
{
x
+1=
t, x
=
t
−
1
, dx
=
dt
}
=
1
√
2
∫
(
t
−
1)
dt
√
4
−
t
2
=
=
1
√
2
∫
tdt
√
4
−
t
2
−
1
√
2
∫
dt
√
4
−
t
2
=
1
2
√
2
∫
d
(
t
2
)
√
4
−
t
2
−
1
√
2
arcsin
t
2
=
=
−
1
2
√
2
∫
d
(4
−
t
2
)
√
4
−
t
2
−
1
√
2
arcsin
t
2
=
−
2
2
√
2
√
4
−
t
2
−
1
√
2
arcsin
t
2
+
C
=
=
−
1
√
2
√
4
−
(
x
+ 1)
2
−
1
√
2
arcsin
x
+ 1
2
+
C.
Тема 8. Интегрирование рациональных функций
Рациональная функция (рациональная дробь) имеет вид
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
, где
P
n
(
x
)
и
Q
m
(
x
)
многочлены с действительными коэффициентами степени
n
и
m
соответственно. Из теории многочленов известно, что всякий многочлен
можно разложить на действительные множители четырёх типов:
1.
(
x
−
a
)
, если
x
=
a
– однократный корень многочлена,
2.
(
x
−
b
)
k
, если
x
=
b
–
k
-кратный корень многочлена,
3.
x
2
+
px
+
q
, если многочлен имеет комплексные однократные корни,
они же корни уравнения
x
2
+
px
+
q
= 0
,
4.
(
x
2
+
px
+
q
)
l
, если комплексные корни
l
-кратные.
Выполнить разложение многочлена степени выше четвертой на мно-
жители – задача в общем случае не решаемая. Мы будем рассматривать
случаи, когда разложение уже дано или может быть получено простыми
способами.
Из курса алгебры известно, что каждая дробь вида
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
, где
n < m
,
может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей
вида
1
(
x
−
b
)
k
и
1
(
x
2
+
px
+
q
)
l
,
k, l
= 1
,
2
, ...
14
Методика разложения рациональной функции на простые дроби
Шаг 1. Дробь
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
может быть правильной, если
n < m
и неправиль-
ной, если
n
≥
m
. Если дробь
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
неправильная, надо делением числителя
на знаменатель выделить целую часть
C
n
−
m
(
x
)
и остаток
R
(
x
)
, тогда
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
=
C
n
−
m
(
x
) +
R
(
x
)
Q
m
(
x
)
.
Степень остатка
R
(
x
)
всегда меньше
m
, поэтому дробь
R
(
x
)
Q
m
(
x
)
всегда
правильная. Дальнейшее разложение на простые дроби будем излагать для
правильной дроби.
Шаг 2. Имеем правильную дробь
P
n
(
x
)
Q
m
(
x
)
. Разложим знаменатель на мно-
жители, они могут быть только указанных четырех типов. Например:
неправильно
правильно
(
x
−
1)(
x
−
1)(
x
2
−
4)
=
(
x
−
1)
2
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(
x
−
1)
3
(
x
3
+ 1)
=
(
x
−
1)
3
(
x
+ 1)(
x
2
−
x
+ 1)
(
x
2
−
x
−
6)(
x
2
+
x
+ 1) =
(
x
−
2)(
x
+ 3)(
x
2
+
x
+ 1)
(
x
2
+ 1)(
x
4
+ 1)
= (
x
2
+ 1)(
x
2
−
√
2
x
+ 1)(
x
2
+
√
2
x
+ 1)
Будьте внимательны, если квадратный трёхчлен
ax
2
+
bx
+
c
имеет дей-
ствительные корни
x
1
и
x
2
, его надо разложить на множители по формуле
ax
2
+
bx
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)
.
Шаг 3. Выписываем разложение на простые дроби. Каждому типу мно-
жители
Q
m
(
x
)
соответствует свой вид простых дробей:
1. множителю
(
x
−
a
)
соответствует дробь
A
1
x
−
a
,
2. множителю
(
x
−
b
)
k
соответствует сумма
B
1
(
x
−
b
)
k
+
B
2
(
x
−
b
)
k
−
1
+
...
+
B
k
x
−
b
,
3. множителю
x
2
+
px
+
q
соответствует дробь
Cx
+
D
x
2
+
px
+
q
,
4. множителю
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
l
соответствует сумма
C
1
x
+
D
1
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
l
+
...
...
+
C
2
x
+
D
2
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
l
−
1
+
...
+
C
l
x
+
D
l
x
2
+
p
1
x
+
q
1
,
15