ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 267
Скачиваний: 1
где
A
i
,
B
i
,
C
i
,
D
i
неопределенные коэффициенты.
Например,
x
−
8
(
x
−
1)(
x
−
2)
2
=
A
x
−
1
+
B
(
x
−
2)
2
+
C
x
−
2
,
x
2
+ 8
(
x
−
2)(
x
−
3)(
x
2
+ 4)
=
A
x
−
2
+
B
x
−
3
+
Cx
+
D
x
2
+ 4
,
x
2
+
x
+ 7
(
x
2
+
x
+ 1)(
x
2
−
x
+ 1)
=
Ax
+
B
x
2
+
x
+ 1
+
Cx
+
D
x
2
−
x
+ 1
.
Шаг 4. Сумму простых дробей, находящихся справа, приводим к об-
щему знаменателю. В числителе группируем члены с одинаковыми степе-
нями. Теперь у числителей исходной дроби и дроби справа приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях. Получим систему
m
линейных
уравнений с
m
неизвестными. Эта система всегда имеет единственное ре-
шение (если не сделано ошибок).
Есть и другой способ составления системы (см. пример 25).
Подставив найденные коэффициенты, получим разложение исходной
дроби на простые. Остается проинтегрировать каждую простую дробь.
Смотрите выше примеры 6, 10, 22 и примеры в книге [2].
Пример 25.
∫
11
−
3
x
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
dx.
Дробь
11
−
3
x
(
x
+3)(
x
2
+1)
правильная, знаменатель уже разложен на стандартные
множители, выпишем вид простых дробей и далее будем действовать по
изложенной выше схеме. Имеем
11
−
3
x
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
=
A
x
+ 3
+
Bx
2
+
C
x
2
+ 1
=
A
(
x
2
+ 1) + (
Bx
+
C
)(
x
+ 3)
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
=
=
Ax
2
+
A
+
Bx
2
+
Cx
+ 3
Bx
+ 3
C
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
=
(
A
+
B
)
x
2
+ (
C
+ 3
B
)
x
+ 3
C
+
A
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
.
Числитель начальной и конечной дробей равны. Приравниваем коэффи-
16
циенты при одинаковых степенях:
A
+
B
= 0
,
3
B
+
C
= 0
,
A
+ 3
C
= 11
.
Решая систему методом исключения неизвестных, получим:
A
= 2
,
B
=
−
2
,
C
= 3
.
Возвращаясь к интегралу, будем иметь
∫
11
−
3
x
(
x
+ 3)(
x
2
+ 1)
dx
=
∫
2
x
+ 3
dx
+
∫
−
2
x
+ 3
x
2
+ 1
dx
=
= 2
∫
d
(
x
+ 3)
x
+ 3
−
2
∫
xdx
x
2
+ 1
+ 3
∫
dx
x
2
+ 1
= 2 ln
|
x
+ 3
| −
∫
d
(
x
2
+ 1)
x
2
+ 1
+
+3 arctg
x
= 2 ln
|
x
+ 3
| −
ln(
x
2
+ 1) + 3 arctg
x
+
C.
Пример 26.
∫
x
5
+
x
2
−
x
x
4
−
1
dx.
Дробь неправильная, так как степень числителя больше степени зна-
менателя:
5
>
4
. Выполним деление (уголком) числителя на знаменатель.
Получим частное равное
x
и остаток равный
x
2
. Тогда
x
5
+
x
2
−
x
x
4
−
1
=
x
+
x
2
x
4
−
1
.
Разложим правильную дробь
x
2
x
4
−
1
на простые дроби. Так как
x
4
−
1 = (
x
2
−
1)(
x
2
+ 1) = (
x
−
1)(
x
+ 1)(
x
2
+ 1)
,
то
x
2
x
4
−
1
=
A
x
−
1
+
B
x
+ 1
+
Cx
+
D
x
2
+ 1
=
=
A
(
x
+ 1)(
x
2
+ 1) +
B
(
x
−
1)(
x
2
+ 1) + (
Cx
+
D
)(
x
2
−
1)
(
x
−
1)(
x
+ 1)(
x
2
+ 1)
.
Применим другой способ составления системы уравнений. Из послед-
17
него равенства вытекает, что равны числители дробей:
x
2
=
A
(
x
+ 1)(
x
2
+ 1) +
B
(
x
−
1)(
x
2
+ 1) + (
Cx
+
D
)(
x
2
−
1)
.
Две функции равны. Это значит, что они равны при каждом
x
из обла-
сти определения. Возьмем четыре произвольных
x
∈
R
и получим четыре
уравнения. Важное замечание: в качестве точки
x
удобно брать корни зна-
менателя исходной дроби. Берем
x
= 1
,
x
=
−
1
,
x
= 0
,
x
= 2
. Две послед-
ние точки взяты произвольно, так как у нас только два действительных
корня.
Получим
при
x
= 1
1 = 4
A
,
при
x
=
−
1
1 =
−
4
B
,
при
x
= 0
0 =
A
−
B
−
D
,
при
x
= 2
4 = 15
A
+ 5
B
+ 6
C
+ 3
D
.
Будем иметь систему
A
=
1
4
,
B
=
−
1
4
,
A
−
B
−
D
= 0
,
15
A
+ 5
B
+ 6
C
+ 3
D
= 4
.
Система легко решается, получим
A
=
1
4
,
B
=
−
1
4
,
C
= 0
,
D
=
1
2
.
Замечание. Такую схему получения системы удобно применять если все
корни знаменателя действительны и однократны или хотя бы число различ-
ных действительных корней было не меньше половины всех корней.
Вернёмся к интегралу:
∫
x
5
+
x
2
−
x
x
4
−
1
dx
=
∫
xdx
+
∫
x
2
x
4
−
1
dx
=
∫
xdx
+
18
+
∫ (
1
4
1
x
−
1
−
1
4
1
x
+ 1
+
1
2
1
x
2
+ 1
)
dx
=
=
x
2
2
+
1
4
ln
|
x
−
1
| −
1
4
ln
|
x
+ 1
|
+
1
2
arctg
x
+
C.
Тема 9. Интегрирование иррациональных функций
Эта тема весьма обширна. Разберем основные частные случаи.
9a. Рассмотрим интегралы вида
∫
R
(
x,
√
ax
+
b,
3
√
ax
+
b, ...
)
dx
, где
R
(
y
1
, y
2
, ...
)
– рациональная функция. Надо сделать замену
ax
+
b
=
t
k
,
где
k
– наименьшее общее кратное показателей корней.
Пример 27.
∫
√
x
+ 2
−
1
(
3
√
x
+ 2 + 1)
√
x
+ 2
dx.
Произведем замену
x
+ 2 =
t
6
,
dx
= 6
t
5
dt
, получим
∫
√
x
+ 2
−
1
(
3
√
x
+ 2 + 1)
√
x
+ 2
dx
= 6
∫
t
5
−
t
2
t
2
+ 1
dt.
Получим интеграл от рациональной дроби. Далее по схеме. Делением чис-
лителя на знаменатель выделим целую часть. Будем иметь
∫
√
x
+ 2
−
1
(
3
√
x
+ 2 + 1)
√
x
+ 2
dx
= 6
∫ (
t
3
−
t
−
1 +
t
+ 1
t
2
+ 1
)
dt
=
= 6
(
t
4
4
−
t
2
2
−
t
+
∫
t
t
2
+ 1
dt
+
∫
1
t
2
+ 1
dt
)
=
= 6
(
t
4
4
−
t
2
2
−
t
+
1
2
∫
d
(
t
2
+ 1)
t
2
+ 1
+ arctg
t
)
=
= 6
(
t
4
4
−
t
2
2
−
t
+
1
2
ln(
t
2
+ 1) + arctg
t
)
+
C
=
= 6
(
(
x
+2)
2
3
4
−
(
x
+2)
1
3
2
−
(
x
+2)
1
6
+
1
2
ln((
x
+2)
1
3
+ 1)+ arctg
6
√
x
+2
)
+
C.
9б. Интегралы вида
∫
R
(
x,
√
ax
+
b
cx
+
d
,
3
√
ax
+
b
cx
+
d
, ...
)
dx
вычисляются при по-
19
мощи замены
ax
+
b
cx
+
d
=
t
k
, где
k
– наименьшее общее кратное показателей
корней.
Пример 28.
∫
dx
3
√
(
x
+ 1)
2
(
x
−
1)
4
=
∫
dx
(
x
2
−
1)
3
√
x
−
1
x
+1
=
=
{
x
−
1
x
+ 1
=
t
3
,
откуда
x
=
t
3
+ 1
1
−
t
3
, dx
=
6
t
2
dt
(1
−
t
3
)
2
}
=
3
2
∫
dt
t
2
=
=
−
3
2
1
t
+
C
=
−
3
2
3
√
x
+ 1
x
−
1
+
C.
9в. Интегралы от дифференциального бинома
∫
x
m
(
a
+
bx
n
)
p
dx
, где
m, n, p
– рациональные числа.
По теореме Чебышева данный интеграл вычисляется в конечном виде
только в следующих трех случаях:
Случай 1.
p
– целое. В этом случае производится замена
x
=
t
q
, где
q
–
общий знаменатель дробей
m
и
n
.
Случай 2.
m
+1
n
– целое. В этом случае производится замена
a
+
bx
n
=
t
r
,
где
r
– знаменатель дроби
p
.
Случай 3.
m
+1
n
+
p
– целое. В этом случае производится замена
ax
−
n
+
b
=
t
r
, где
r
– знаменатель дроби
p
.
Пример 29.
I
=
∫
dx
(
x
2
+
x
)
3
2
=
∫
x
−
3
2
(1 +
x
)
−
3
2
dx,
m
+ 1
n
+
p
=
−
3
2
+ 1
1
−
3
2
=
−
2
−
целое
.
Это случай 3.
Произведем замену
x
−
1
+ 1 =
t
2
,
x
= (
t
2
−
1)
−
1
,
dx
=
−
2
t
(
t
2
−
1)
2
,
dx
=
20