ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 287
Скачиваний: 1
министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
математический факультет
кафедра функционального анализа и операторных уравнений
С Б О Р Н И К
З А Д А Н И Й
для лабораторных работ
по курсу
"Функциональный анализ и интегральные уравнения"
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для студентов 2-го и 4-го курсов математического факультета
всех форм обучения
Составитель: В.В. Смагин
Воронеж 2001
Настоящая разработка предназначена для лабораторных работ и самосто-
ятельной работы студентов при изучении курса "Функциональный анализ и
интегральные уравнения", а также при подготовке к зачетам и экзамену по
этому курсу. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная
ниже литература. Некоторые задачи и упражнения являются новыми.
В разработке приняты следующие сокращения:
МП – метрическое пространство,
ЛП – линейное пространство,
ЛМ – линейное многообразие,
ЛНП – линейное нормированное пространство,
БП – банахово пространство,
ПСП – пространство со скалярным произведением,
ГП – гильбертово пространство,
ММН – множество меры нуль,
ЛОО – линейный ограниченный оператор,
ЛОФ – линейный ограниченный функционал.
Литература
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – M.: Наука. 1989.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального
анализа. – M.: Высшая школа. 1982.
3. Треногин В.А. Функциональный анализ. – M.: Наука. 1993.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. –
M.: Физматгиз, 1960.
5. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. –
M.: Наука, 1967.
6. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения
по функциональному анализу. – Минск: Вышэйшая школа, 1978.
7. Городецкий В.Г., Нагнибеда Н.И., Настасиев П.П. Методы решения
задач по функциональному анализу.- Киев: Выща школа, 1990.
8. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. –
М.: Просвещение. 1981.
9. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи
и упражнения по функциональному анализу.– М.: Наука, 1984.
— 3 —
1. Метрические пространства (определения)
1.1. Для любых чисел
u
≥
0
,
v
≥
0
,
ε >
0
,
p >
1
доказать неравенство
uv
≤
ε
u
p
p
+
ε
1
−
q
v
q
q
,
где
1
p
+
1
q
= 1
.
1.2. Для любых чисел
u, v
∈
C
1
и
p >
0
доказать неравенство
|
u
+
v
|
p
≤
2
p
(
|
u
|
p
+
|
v
|
p
)
.
1.3. Пусть
ρ
(
x, y
)
– метрика в
X
. Показать, что метриками в
X
являются:
ρ
1
(
x, y
) =
ρ
1
/
2
(
x, y
)
,
ρ
2
(
x, y
) = ln[1 +
ρ
(
x, y
)]
,
ρ
3
(
x, y
) = min
{
1
, ρ
(
x, y
)
}
,
ρ
4
(
x, y
) =
ρ
(
x, y
)[1 +
ρ
(
x, y
)]
−
1
.
1.4. Показать, что аксиомы метрики эквивалентны двум условиям:
1)
ρ
(
x, y
) = 0
⇐⇒
x
=
y,
2)
ρ
(
x, y
)
≤
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
y, z
)
.
1.5. Показать, что
ρ
(
x, y
) =
|
arctg(
x
−
y
)
|
является метрикой на
R
1
.
1.6. Пусть функция
ϕ
(
t
)
определена и дважды непрерывно дифференци-
руема при
t
≥
0
. Кроме того,
ϕ
(0) = 0
,
ϕ
0
(
t
)
>
0
и
ϕ
00
(
t
)
≤
0
. Показать, что
ρ
(
x, y
) =
ϕ
(
|
x
−
y
|
)
является метрикой на
R
1
.
1.7. Пусть
X
– МП с метрикой
ρ
(
x, y
)
. Показать, что для любых элементов
x, y, u, v
∈
X
:
a
)
|
ρ
(
x, y
)
−
ρ
(
x, u
)
| ≤
ρ
(
y, u
)
,
б
)
|
ρ
(
x, u
)
−
ρ
(
y, v
)
| ≤
ρ
(
x, y
) +
ρ
(
u, v
)
.
1.8. На плоскости
R
2
с метриками
ρ
1
(
x, y
) =
|
x
1
−
y
1
|
+
|
x
2
−
y
2
|
,
ρ
2
(
x, y
) = (
|
x
1
−
y
1
|
2
+
|
x
2
−
y
2
|
2
)
1
/
2
,
ρ
∞
(
x, y
) = max
{|
x
1
−
y
1
|
,
|
x
2
−
y
2
|}
построить замкнутые шары
B
[(0
,
0)
,
1]
.
1.9. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим
подмножеством шара радиуса 3 ?
1.10. Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве со-
держится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают.
1.11. Пусть множество
M
⊂
X
– МП ограничено. Показать, что
(
∀
x
o
∈
X
)(
∃
r >
0)(
M
⊂
B
[
x
o
, r
])
.
1.12. Пусть множества
A
и
B
ограничены в
X
– МП. Показать, что мно-
жество
A
∪
B
также ограничено в
X
.
1.13. Доказать, что множество
M
⊂
C
[
a, b
]
ограничено тогда и только
тогда, когда
(
∃
K >
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
∈
[
a, b
])(
|
x
(
t
)
| ≤
K
)
.
— 4 —
1.14. Доказать, что множество функций
{
x
(
t
)
}
, дифференцируемых на
[
a, b
]
и
(
∃
K
1
≥
0)(
∃
K
2
≥
0)(
∀
x
)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [(
|
x
(
a
)
| ≤
K
1
)
V
(
|
x
0
(
t
)
| ≤
K
2
)]
,
ограничено в пространстве
C
[
a, b
]
.
2. Сходимость в метрических пространствах
2.1. Показать, что если в метрическом пространстве при
n
→ ∞
выполня-
ется
x
n
→
x
и
ρ
(
x
n
, y
n
)
→
0
, то
y
n
→
x
.
2.2. В пространстве
C
[0
,
1]
проверить сходимость при
n
→ ∞
последова-
тельностей:
1)
x
n
(
t
) =
n
−
1
sin
nt,
2)
x
n
(
t
) =
t
n
,
3)
x
n
(
t
) =
t
n
−
t
n
+1
,
4)
x
n
(
t
) =
t
n
1 +
t
n
,
5)
x
n
(
t
) =
2
nt
1 +
n
2
t
2
,
6)
x
n
(
t
) =
t
1 +
n
2
t
2
,
7)
x
n
(
t
) =
t
(2 +
n
2
t
2
)
1 +
n
2
t
2
,
8)
x
n
(
t
) =
nt
1 +
n
+
t
,
9)
x
n
(
t
) =
t
(1 + e
−
nt
)
.
2.3. В каких из пространств
s
,
m
,
l
p
(
p
≥
1)
сходятся последовательности:
1)
x
n
= (1
,
2
, ..., n,
0
,
0
, ...
)
;
2)
x
n
= (1
,
1
, ...,
1
| {z }
n
,
0
,
0
, ...
)
;
3)
x
n
= (
n
−
1
, n
−
1
, ..., n
−
1
|
{z
}
n
,
0
,
0
, ...
)
;
4)
x
n
= (
n
−
1
, n
−
1
, ..., n
−
1
|
{z
}
n
2
,
0
,
0
, ...
)
.
2.4. Привести пример последовательности
{
x
n
}
, которая принадлежала бы
m
и
l
2
, сходилась в
m
и не сходилась в
l
2
.
2.5. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в метри-
ческом пространстве ограничена.
2.6. Пусть
{
x
n
}
– фундаментальная последовательность в метрическом
пространстве такая, что некоторая ее подпоследовательность
{
x
n
k
}
сходится
при
k
→ ∞
к элементу
x
o
. Доказать, что
x
n
→
x
o
.
2.7. Пусть последовательность
{
x
n
}
в метрическом пространстве такая,
что ряд
P
∞
k
=1
ρ
(
x
k
, x
k
+1
)
сходится. Доказать, что последовательность
{
x
n
}
фундаментальна.
2.8. Пусть
{
x
n
}
,
{
y
n
}
– фундаментальные последовательности в метри-
ческом пространстве. Доказать, что при
n
→ ∞
последовательность чисел
λ
n
=
ρ
(
x
n
, y
n
)
сходится.
2.9. Доказать, что всякое метрическое пространство с конечным числом
элементов является полным.
2.10. Доказать полноту пространства
s
.
2.11. Доказать полноту пространства
m
.
2.12. Доказать, что множество
N
натуральных чилел с расстоянием
ρ
(
n, m
) =
|
n
−
m
|
(
nm
)
−
1
является неполным метрическим пространством.
— 5 —
2.13. Пусть
X
и
Y
– метрические пространства с метриками
ρ
X
и
ρ
Y
соот-
ветственно. Доказать, что:
а) множество
X
×
Y
является метрическим пространством с расстоянием
ρ
((
x
1
, y
1
)
,
(
x
2
, y
2
)) =
ρ
X
(
x
1
, x
2
) +
ρ
Y
(
y
1
, y
2
)
;
б) если пространства
X
и
Y
полные, то
X
×
Y
– полное метрическое про-
странство.
3. Замкнутые и открытые множества
3.1. Доказать, что для любых множеств
A
и
B
в метрическом пространстве
выполняется
A
∩
B
⊂
A
∩
B
. Привести пример строгого включения.
3.2. Показать, что в дискретном метрическом пространстве
X
с метрикой
ρ
(
x, y
) =
½
0
,
x
=
y
1
,
x
6
=
y
всякое множество замкнуто.
3.3. Показать, что замыкание открытого шара в метрическом простран-
стве содержится в соответствующем замкнутом шаре, но может с ним не
совпадать.
3.4. Доказать замкнутость в метрическом пространстве любого конечного
множества.
3.5. В
X
– МП даны две точки
a, b
∈
X
. Доказать замкнутость множества
{
x
∈
X
|
ρ
(
x, a
) =
ρ
(
x, b
)
}
.
3.6. Пусть
f
(
x
)
– непрерывная на
R
1
функция. Доказать, что для любого
a
∈
R
1
в
R
1
замкнуто множество
{
x
∈
R
1
|
f
(
x
)
≤
a
}
.
3.7. Доказать, что для любой функции
x
o
∈
C
[
a, b
]
в пространстве
C
[
a, b
]
замкнуто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
(
∀
t
∈
[
a, b
])[
x
(
t
)
≤
x
o
(
t
)]
}
.
3.8. Пусть
Q
– метрическое пространство рациональных чисел с метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
. Доказать, что в
Q
замкнуто множество
{
x
∈
Q
|
2
< x
2
<
3
}
.
3.9. Доказать, что в пространстве
C
[
a, b
]
замкнуто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
[
|
x
(
t
)
| ≤
1]
∧
[
x
(
a
) =
x
(
b
) = 0]
}
.
3.10. Построить счетную последовательность замкнутых множеств, объ-
единение которых не является замкнутым.
3.11. В пространстве
C
[
−
1
,
1]
даны множество
A
и элемент
x
o
. Проверить,
что
x
o
является для
A
внутренней точкой:
а
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
x
(
t
)
≤
1]
}
,
x
o
(
t
) = sin
t
;
б
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
|
x
(
t
)
| ≤
1]
}
,
x
o
(
t
) =
t/
2;
в
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
x
(
t
)
< t
]
}
,
x
o
(
t
) =
t
−
1
.