ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1083
Скачиваний: 18
наибольшее число называется машинной бесконечностью и равно
G
∞
= (1
−
γ
−
k
)
γ
n
2
,
(5)
В настоящее время общепринятым для арифметических операций
с двоичными числами с плавающей точкой является стандарт IEEE
754, предусматривающий форматы числа с одинарной и двойной точ-
ностью.
Для этих форматов
Точность Байты
k
n
1
n
2
G
0
G
∞
одинарная
4
24 -125
128
1
.
2
·
10
−
38
3
.
4
·
10
38
двойная
8
53 -1021 1024
2
.
2
·
10
−
308
1
.
8
·
10
308
Соответствующие типы данных в языке Си: float и double; в языке
Паскаль: single и double; в языке Фортран: real и double precision.
6
1.2
Вычислительные погрешности
√√
Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности меж-
ду его приближенным значением, полученным в результате вычис-
лений или измерений, и истинным значением.
√√
Относительная погрешность – отношение абсолютной погреш-
ности к точному (или приближенному) значению числа.
∆
a
=
a
−
a
0
,
δa
=
∆
a
a
(6)
Для приближенного числа, полученного в результате округления,
абсолютная погрешность
∆
a
принимается равной половине единицы
последнего разряда числа. Т.е., если
a
= 0
.
467
, то
∆
a
= 0
.
0005
.
√√
Значащими цифрами данного числа считаются все цифры,
начиная с первой ненулевой цифры.
При изменении формы записи числа число значащих цифр не долж-
но меняться. Например,
4300 = 0
.
4300
·
10
4
.
7
Правила оценки предельных погрешностей
При вычислении абсолютных погрешностей надо использовать пра-
вила вычисления производных (с заменой
−
на
+
):
∆(
a
±
b
) = ∆
a
+ ∆
b
δ
(
ab
) =
δa
+
δb
δ
(
a/b
) =
δa
+
δb
δ
(
a
k
) =
kδa
(7)
Найдем относительную погрешность разности двух чисел:
δ
(
a
−
b
) =
∆(
a
−
b
)
a
−
b
=
∆
a
+ ∆
b
a
−
b
Пример:
a
= 5462
,
b
= 5460
. Найти
δ
(
a
−
b
)
.
Очевидно, что
∆
a
= ∆
b
= 0
.
5
. Тогда
δ
(
a
−
b
) =
0
.
5 + 0
.
5
2
= 0
.
5
→
50 %
.
8
Упражнение. Найти относительную погрешность выражения:
s
a
+
b
c
2
(1
−
c
)
.
Источники погрешностей
1. Математическая модель, если в ней не учитываются важные
элементы рассматриваемой задачи, и исходные данные приводят к
неустранимым погрешностям
, т.к. они не могут быть уменьшены
вычислителем.
2.
Погрешность численного метода
возникает из-за замены инте-
грала суммой, интерполирования данных и т.д. Погрешность чис-
ленного метода как правило может быть сделана как угодно малой.
Обычно ее доводят до величины в несколько раз меньшей неустра-
нимой погрешности.
3.
Погрешности округлений
являются неизбежными из-за ограни-
ченности разрядной сетки машины и могут быть найдены по фор-
9
муле:
δ
max
= 0
.
5
γ
1
−
k
(8)
Здесь
γ
– основание системы счисления,
k
– количество разрядов
мантиссы числа.
Способы уменьшения вычислительных погрешностей:
1. При вычислении суммы многих слагаемых избегать складывать
большие по величине слагаемые с маленькими, а производить сло-
жение по мере возрастания слагамых.
2. При наличии алгебраических выражений производить их упро-
щение для более точных вычислений. Например, если
a
x
, то
(
a
+
x
)
2
−
a
2
→
0
, поэтому надо преобразовать к виду
(
a
+
x
)
2
−
a
2
=
2
ax
+
x
2
.
3. Организация постоянного контроля погрешностей для предотвра-
щения получения неправильного результата.
10