ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1085
Скачиваний: 18
1.3
Устойчивость, корректность и сходимость
В расчетных задачах возникают погрешности в исходных данных
(не зависящие от вычислителя). Возникает вопрос об их влиянии на
точность результатов расчетов. Оказывается, что некоторые задачи
весьма чувствительны к таким погрешностям.
Предположим, что в результате решения задачи по исходному зна-
чению некоторой величины
x
находится некоторая величина
y
.
√√
Задача называется устойчивой по исходному параметру
x
, если
решение
y
непрерывно от него зависит, т.е. малое приращение исход-
ной величины
∆
x
вызывает малое приращение расчетной величины
∆
y
.
Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные по-
грешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в
решении.
Пример неустойчивой задачи – квадратное уравнение с парамет-
11
ром:
x
2
−
2
x
+ sign
a
= 0
.
(9)
Его решение при
a
>
0
x
1
=
x
2
= 1
, при
a
6
0
x
1
,
2
= 1
±
√
2
. Оче-
видно, что при
a
= 0
малая отрицательная погрешность в задании
a
приведет к конечной погрешности в результате.
√√
Задача называется поставленной корректно, если для любых
значений исходных данных ее решение существует и является един-
ственным и устойчивым. В настоящее время существуют методы ре-
шения некорректных задач – методы регуляризации.
Метод численного решения может оказаться неустойчивым при на-
коплении погрешностей, поэтому для корректности численного ал-
горитма требуется его устойчивость.
√
Сходимость численного метода означает близость получаемо-
го численного решения задачи к истинному решению. Например, в
случае итерационного процесса (метода последовательных прибли-
жений) получаем последовательность значений
x
1
, x
2
, ..., x
n
, ...
. Го-
12
ворят, что эта последовательность сходится к точному решению
A
,
если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой
последовательности существует и равен
A
. В этом случае наш чис-
ленный метод – сходящийся.
При использовании методов дискретизации (метод сеток) под схо-
димостью метода понимается стремления численного решения к точ-
ному при стремлении к нулю параметра дискретизации.
13
2
Численное решение нелинейных уравнений
2.1
Постановка задачи
Пусть задана функция
f
(
x
)
и нам надо найти корни уравнения
f
(
x
) = 0
(10)
Мы ограничимся поиском только действительный корней. Решение
нашей задачи можно разделить на два этапа:
1 – локализация корней, т.е. нахождение на оси
x
таких отрезков,
каждому из которых принадлежит не более одного корня;
2 – вычисление с требуемой точностью корня или корней, которые
принадлежат найденным на первом этапе отрезкам.
Выполнение этапа 1 проводится средствами математического ана-
лиза. Из компьютерных методов можно использовать построение
таблицы значений функции, построение графика и т.д.
Задача 2 этапа – вычисление с заданной точностью
ε
корня уравне-
ния, принадлежащего отрезку
[
a, b
]
. Т.е., найденное значение корня
14
x
должно отличаться от точного
x
(
т
)
не более чем на
ε
:
|
x
−
x
(
т
)
|
6
ε
(11)
2.2
Метод деления отрезка пополам
Метод деления отрезка пополам также называют методом бисекции.
В качестве начального приближения принимаем середину отрезка
[
a, b
]
:
x
0
=
a
+
b
2
.
(12)
Далее исследуем знак функции в точках
a
,
b
и
x
0
. Тот из отрезков, на
концах которого функция имеет разные знаки, принимаем в качестве
нового отрезка
[
a
1
, b
1
]
. Далее находим
˜
x
1
=
a
1
+
b
1
2
,
(13)
15