Файл: Мет выч методичка.pdf

выходящей из точки

(

x

k

, y

k

)

.

Неявный метод Эйлера состоит в приближении производной в окрест-

ности

i

-го узла с помощью левой разности

y

i

−

y

i

−

1

h

=

f

i

,

i

= 0

,

1

, ...,

y

0

=

A

Очевидно, что в этом методе искомая величина

y

i

входит в уравне-

ние в общем случае нелинейным образом. Поэтому необходимо при-
менять известные методы решения нелинейных уравнений.

Можно показать, что явный и неявный метод – методы первого

порядка точности. Т.е., погрешность в точке

x

i

δ

i

=

y

(

x

i

)

−

y

i

равная разности между точным значением искомой функции

y

(

x

i

)

и значением сеточной функции в узле

δ

i

.

h.

Можно построить другие методы решения задачи Коши. Напри-

мер, приблизим производную в окрестности

i

-го узла с помощью

101

центральных разностей:

y

i

+1

−

y

i

−

1

2

h

=

f

i

,

i

= 0

,

1

, ...,

y

0

=

A

Полученная система уравнений не замкнута – необходимо доопреде-
лить

y

1

, что можно сделать с помощью метода Эйлера

y

1

=

y

0

+

hf

(

x

0

, y

0

)

.

Можно показать, что построенная схема имеет второй порядок точ-
ности.

Рассмотрим модифицированный метод Эйлера. Запишем систему

уравнений

y

i

+1

−

y

i

h

=

f

i

+1

/

2

,

i

= 0

,

1

, ...,

y

0

=

A

где

f

i

+1

/

2

=

f

(

x

i

+1

/

2

, y

i

+1

/

2

) =

f

(

x

i

+

h

2

, y

i

+1

/

2

)

,

102

а значение

y

i

+1

/

2

вычисляем по методу Эйлера

y

i

+1

/

2

=

y

i

+

h

2

f

i

=

y

i

+

h

2

f

(

x

i

, y

i

)

,

i

= 0

,

1

, ...

В результате получаем следующую разностную схему:

y

i

+1

−

y

i

h

=

f

(

x

i

+

h

2

, y

i

+

h

2

f

(

x

i

, y

i

))

,

i

= 0

,

1

, ...,

y

0

=

A

которая, как можно показать, имеет второй порядок точности.

7.2

Метод Эйлера с пересчетом (предиктор-корректор)

Предиктор – предсказание результата, корректор – уточнение ре-
зультата. Заменим правую часть нашего уравнения на среднее зна-
чений в соседних узлах:

y

i

+1

−

y

i

h

=

1

2

[

f

(

x

i

, y

i

) +

f

(

x

i

+1

, y

i

+1

)]

.

(130)

Как видно, наклон интегральной кривой посередине отрезка

[

x

i

, x

i

+1

]

приближенно заменяется средним арифметическим наклонов на гра-

103

ницах этого отрезка. Отсюда,

y

i

+1

=

y

i

+

h

2

[

f

(

x

i

, y

i

) +

f

(

x

i

+1

, y

i

+1

)]

.

(131)

Искомое значение

y

i

+1

входит и в правую сторону тоже, и его нельзя

в общем случае выразить явно. Но его можно найти по формуле
метода Эйлера:

y

i

+1

=

y

i

+

hf

(

x

i

, y

i

)

– предиктор

(132)

и подставляя в правую часть, получаем

y

i

+1

=

y

i

+

h

2

[

f

(

x

i

, y

i

) +

f

(

x

i

+1

,

(

y

i

+

hf

(

x

i

, y

i

)))]

– корректор.

(133)

7.3

Методы Рунге-Кутта

Рассмотренные ранее метод Эйлера и его модификация относятся к
классу методов Рунге – Кутта. Суть методов – для вычисления

y

i

+1

104

используется

y

i

, а также значения функции

f

(

x, y

)

в некоторых спе-

циальных точках. Широко распространен метод Рунге-Кутта чет-
вертого порядка. Алгоритм этого метода имеет вид

y

i

+1

=

y

i

+

h

6

(

k

0

+ 2

k

1

+ 2

k

2

+

k

3

)

,

i

= 0

,

1

, ...

k

0

=

f

(

x

i

, y

i

)

,

k

1

=

f

x

i

+

h

2

, y

i

+

hk

0

2

k

2

=

f

x

i

+

h

2

, y

i

+

hk

1

2

k

3

=

f

(

x

i

+

h, y

i

+

hk

2

)

7.4

Многоточечные методы

Многоточечные или многошаговые методы решения задачи Коши
отличаются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не
только в одном предыдущем узле, но и в ряде предшествующих.

105