Файл: Мет выч методичка.pdf

7

Обыкновенные дифференциальные уравнения

ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколь-
ко производных от искомой функции

y

=

y

(

x

)

:

F

(

x, y, y

0

, ..., y

(

n

)

) = 0

(127)

Наивысший порядок

n

входящей в уравнение производной называ-

ется порядком дифференциального уравнения. Уравнение первого
порядка

F

(

x, y, y

0

) = 0

второго порядка

F

(

x, y, y

0

, y

00

) = 0

Если из уравнения удается выразить старшую производную и при-
вести его к виду

y

(

n

)

=

F

(

x, y, y

0

, ..., y

(

n

−

1)

то такая форма записи называется уравнением, разрешенным отно-
сительно старшей производной.

96

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение,

линейное относительно искомой функции и ее производных.

Решением дифференциального уравнения называется всякая

n

раз

дифференцируемая функция

y

=

ϕ

(

x

)

, которая после подстановки

в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение уравнения

n

-го порядка содержит

n

произвольных

постоянных

C

1

, C

2

, ... , C

n

:

y

=

ϕ

(

x, C

1

, C

2

, ..., C

n

)

(128)

Причем любое решение нашего уравнения можно представить в виде
(128) при определенных значениях констант.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной

произвольной постоянной:

y

=

ϕ

(

x, C

)

Если постоянной придать определенное значение

C

=

C

0

, то полу-

чаем частное решение

y

=

ϕ

(

x, C

0

)

.

97

Геометрическая интерпретация общего решения уравнения перво-

го порядка состоит в том, что оно описывает бесконечное семейство
интегральных кривых

y

=

y

(

x, C

)

с параметром

C

, а частному реше-

нию соответствует одна кривая этого семейства, причем через каж-
дую точку

(

x

0

, y

0

)

проходит одна и только одна интегральная кри-

вая.

Для уравнений высших порядков – через каждую точку

(

x

0

, y

0

)

проходит не одна интегральная кривая, поэтому для выделения неко-
торого частного решения надо задать дополнительные условия по
числу произвольных постоянных.

98

7.1

Приближенные методы решения ОДУ. Метод Эйлера

Наиболее универсальным методом решения ОДУ является метод ко-
нечных разностей. Он заключается в том, что область непрерывного
изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек –
узлами, образующими разностную сетку. Искомая функция непре-
рывного аргумента заменяется функцией дискретного аргумента на
данной сетке – сеточной функцией. Решение ОДУ сводится к отыс-
канию значений сеточной функции в узлах сетки.

Например, дифференциальное уравнение (задача Коши)

dy

dx

=

f

(

x, y

)

,

y

(

x

0

) =

A

вводя равномерную сетку с шагом

h

и приняв в качестве узлов сетки

x

0

,

x

1

=

x

0

+

h

,..., можно свести к разностному, приближая произ-

водную в

i

-ом узле с помощью правых разностей

y

i

+1

−

y

i

h

=

f

i

,

i

= 0

,

1

, ...,

y

0

=

A

99

Здесь

f

i

=

f

(

x

i

, y

i

)

. Таким образом мы определили разностную схе-

му. Разностной схемой называется замкнутая система разностных
уравнений вместе с дополнительными условиями – начальными или
краевыми.

Выражая

y

i

+1

, получаем

y

i

+1

=

y

i

+

hf

i

=

y

i

+

hf

(

x

i

, y

i

)

,

i

= 0

,

1

, ...

(129)

В результате приходим к методу Эйлера:

y

1

=

y

0

+

hf

(

x

0

, y

0

)

,

y

2

=

y

1

+

hf

(

x

1

, y

1

)

,

...........

y

n

=

y

n

−

1

+

hf

(

x

n

−

1

, y

n

−

1

)

,

...........

Очевидно, что в данном случае искомая интегральная кривая при-
ближается ломаной, наклон которой на элементарном участке

[

x

i

, x

i

+1

]

определяется наклоном интегральной кривой исходного уравнения,

100