ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1090
Скачиваний: 18
Выразим неизвестные из уравнений
x
1
=
1
a
11
(
b
1
−
a
12
x
2
−
a
13
x
3
)
,
(117)
x
2
=
1
a
22
(
b
2
−
a
21
x
1
−
a
23
x
3
)
,
(118)
x
3
=
1
a
33
(
b
3
−
a
31
x
1
−
a
32
x
2
)
,
(119)
Далее зададим некоторое нулевой приближение для неизвестных
(
x
(0)
1
, x
(0)
2
, x
(0)
3
)
. Подставляя в формулу для
x
1
находим
x
(1)
1
(первое
приближение для
x
1
). При вычислении
x
(1)
2
вместо
x
(0)
1
будем ис-
пользовать
x
(1)
1
. В результате найдем
x
(1)
2
. Далее находим
x
(1)
3
. И
далее повторяем вычисления. В общем случае
k
-ое приближение бу-
91
дет выражаться через
k
−
1
приближение следующим образом
x
(
k
)
1
=
1
a
11
(
b
1
−
a
12
x
(
k
−
1)
2
−
a
13
x
(
k
−
1)
3
)
,
(120)
x
(
k
)
2
=
1
a
22
(
b
2
−
a
21
x
(
k
)
1
−
a
23
x
(
k
−
1)
3
)
,
(121)
x
(
k
)
3
=
1
a
33
(
b
3
−
a
31
x
(
k
)
1
−
a
32
x
(
k
)
2
)
,
(122)
Итерационный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока зна-
чения неизвестных в двух последовательных приближениях не ста-
нут близкими с заданной погрешностью.
92
6.5
Задачи на собственные значения
Рассмотрим квадратную матрицу
n
-го порядка:
A
=
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
. . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
(123)
Вектор
x
=
{
x
1
, x
2
, ..., x
n
}
называется собственным вектором матрицы
A
, соответствующим соб-
ственному значению
λ
, если он удовлетворяет системе уравнений:
A
x
=
λ
x
.
(124)
93
Характеристической матрицей С данной матрицы
A
называется мат-
рица
С
=
A
−
λE
=
a
11
−
λ
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
−
λ ...
a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
... a
nn
−
λ
(125)
где
E
– единичная матрица. В результате мы получаем, что систему
(124) можно записать в виде
(
A
−
λE
)
x
= 0
или
C
x
= 0
(126)
Полученная система является однородной системой
n
линейных урав-
нений с
n
неизвестными. Ненулевые решения наша система имеет
только в случае
det
C
= 0
.
94
Определитель
det
C
является многочленом
n
-й степени относитель-
но
λ
:
det
C
=
c
0
λ
n
+
c
1
λ
n
−
1
+
...
+
c
n
−
1
λ
+
c
n
.
Этот многочлен называется характеристическим многочленом и его
корни являются собственными значениями матрицы
A
.
95