ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 543
Скачиваний: 1
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры
Пример 2.
Из урны, содержащей
M
белых и
N
−
M
черных шаров, один
шар неизвестного цвета утерян. Какова вероятность извлечь наудачу из урны
белый шар?
Решение.
Пусть
B
k
— событие, состоящее в том, что утеряно
k
белых шаров (
k
= 0
,
1
);
A
— событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из оставшихся,
оказался белым.
P
(
B
0
) =
N
−
M
N
,
P
(
B
1
) =
M
N
,
P
(
A
|
B
0
) =
M
N
−
1
,
P
(
A
|
B
1
) =
M
−
1
N
−
1
.
По формуле полной вероятности
P
(
A
) =
N
−
M
N
·
M
N
−
1
+
M
N
·
M
−
1
N
−
1
=
M
N
.
(ФКН ВГУ)
11 / 67
Независимость событий
События
A
и
B
называются
независимыми
, если
P
(
AB
) =
P
(
A
)
P
(
B
)
.
В случае
P
(
A
)
>
0
и
P
(
B
)
>
0
независимость
A
и
B
эквивалентна любому
из равенств
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
)
,
P
(
B
|
A
) =
P
(
B
)
.
В основе независимости событий лежит их физическая независимость,
сводящаяся к тому, что множества случайных факторов, приводящих к
тому или другому исходу опыта, не пересекаются (или почти не
пересекаются).
(ФКН ВГУ)
12 / 67
Конечные последовательности испытаний
Задача
В урне 1 —
2 синих
и
3 красных
шара; в урне 2 —
2 синих
и
2 красных
; в
урне 3 —
3 синих
и
1 красных
.
Из первой урны наугад один шар пе-
реложен во вторую. После этого из
второй урны также наугад — в тре-
тью; наконец, из
3
→
1
.
Какой состав шаров в урне 1
наиболее вероятен?
Что более вероятно: изменение
состава шаров урны 1 или
сохранение?
(ФКН ВГУ)
14 / 67
Конечные последовательности испытаний
Пусть
A
k
— событие, состоящее в том, что при
k
-м перекладывании
(
k
= 1
,
2
,
3
) был переложен
синий
шар.
Ω =
{
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
,
A
1
A
2
A
3
}
На введенные формально обозначения для элементарных событий можно
смотреть как на произведения случайных событий.
Состав шаров известен, если известно какой шар в данную урну переложен
⇒
заданы вероятности
P
(
A
1
)
,
P
(
A
1
)
,
P
(
A
2
|
A
1
)
,
P
(
A
3
|
A
1
A
2
)
и т.д.
P
(
A
1
A
2
A
3
) =
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
P
(
A
3
|
A
1
A
2
) =
2
5
·
3
5
·
4
5
=
24
125
(ФКН ВГУ)
15 / 67