ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1609
Скачиваний: 34
46
i
i
np
i
i
-np
i
i
i
i
np
np
2
1
18
20
-2
0.20
2
19
20
-1
0.05
3
21
20
1
0.05
4
26
20
6
1.80
5
16
20
-4
0.80
Сумма
100
100
0
2.90
Для
=0.05 и m=5-1=4 степеней свободы
2
кр
=9.5 - найдено по
таблице ―Критические точки распределения
2
‖[7]. Так как
вычисленное значение
2
экс
=2.9 меньше, чем
2
кр
, то
результаты тиража не дают повода сомневаться в равномерном
распределении.
Пример 2.
Случай дополнительных параметров.
Результаты исследования прочности 200 образцов бетона на
сжатие представлены в таблице.
Интервал прочности,
кг/см
2
Частота,
n
i
190-200
10
200-210
26
210-220
56
220-230
64
230-240
30
240-250
14
Проверить гипотезу о законе распределения прочности на
сжатие. Уровень значимости принять равным
=0.05.
Решение. Так как точные значения параметров
нормального распределения не известны, а объѐм выборки
n=200 достаточно большой, то за их оценки можно принять:
47
а=
x
, D=S
2
, т.е. будем проверять гипотезу о том, что
распределение F
0
(x) - нормальное с параметрами
x
, S
2
.
Определим значения х
i
*
середины каждого из шести
интервалов х
1
*
=1/2
(200+190)=195; х
2
*
=205 и т.д. и вычислим
x
n
x
i
i
1
1
6
*
=220 кг/см
2
- выборочное среднее
S
n
x
x
i
i
2
2
1
6
1
(
)
*
152 (кг/см
2
)
2
, - выборочная дисперсия,
S
12.33 кг/см
2
– выборочное среднее квадратическое отклонение.
Вычислим теоретические вероятности P
i
попадания
случайной величины
в каждый из 6 интервалов (x
i
,x
i+1
):
P
i
=p(x
i
<
x
i+1
)=1/2
[Ф(U
i+1
)-Ф(U
i
)], i=1,...,6
U
x
x
S
i
i
;
(
)
U
e
dt
i
t
U
i
2
2
2
2
0
- табулировано.
Результаты вычислений сведены в таблицу, где наименьшее
значение интервала (-2.1) заменено на (-
), наибольшее (+2.35)
на (+
)
Интер-
вал
измене-
ния
Часто-
та
n
i
Нормир
интервал
U
i
U
i+1
Веро-
ят-
ность
p
i
np
i
(n
i
-
np
i
)
2
(
)
n
np
np
i
i
i
2
190-200
10
-
-1.70 0.045
9.0
1
0.11
200-210
26
-1.70 -
0.89
0.142
28.4
5.76
0.20
210-220
56
-0.89 -
0.08
0.281
56.2
0.04
0.001
220-230
64
-0.08
0.73
0.299
59.8
17.64
0.29
230-240
30
0.73 1.54
0.171
34.2
17.64
0.52
240-250
14
1.54 +
0.062
12.4
2.56
0.21
Сумма
n=200
1.00
200
2
экс
=1.33
48
По таблице [7] для закона
2
по заданному уровню
значимости
=0.05 и числу степеней свободы: m=r-s-1=6-2-1=3
находим
2
кр
=7.815. Так как.
2
экс
<
2
кр
, то нет причины
отклонять гипотезу о нормальном законе распределения с
параметрами а-220 кг/см
2
;
=12.33 кг/см
2
.
8.2. Критерий согласия Колмогорова
Этот критерий применяют в тех случаях, когда функция
F(x) непрерывна. Статистикой критерия является величина:
G
D
F x
F x
n
x
n
sup
( )
( ) . (8.3)
Она
представляет
собой
максимальное
отклонение
эмпирической функции распределения F
n
(x) от гипотетической
функции распределения F(x). Это является следствием
следующей теоремы.
Теорема.8.1. Относительная частота произвольного
события в n независимых испытаниях является оптимальной
оценкой для вероятности этого события.
С увеличением объема выборки n происходит сближение
F
n
(x) с F(x). Поэтому при больших n (n
), когда гипотеза H
0
истинна, значение D
n
не должно существенно отклоняться от
нуля.
Особенностью статистики D
n
является то, что ее
распределение при гипотезе H
0
не зависит от вида функции
F(x).
Теорема.8.2. Если F(x) - непрерывная функция, то при
справедливости гипотезы H
0
закон распределения статистики
D
n
не зависит от вида функции распределения F(x).
Доказательство. Действительно, полагая в формуле (8.3)
x=F
-1
(u), 0
u
1, где F
-1
(u) - функция, обратная к F(x),
получаем:
D
F F
u
u
n
u
n
sup
(
( ))
0
1
1
.
49
Перейдем к новым случайным величинам, используя формулу
U
i
=F(X
i
), i=1,...,n; пусть U
(1)
...
U
(n)
- их вариационный ряд.
Функция F(x) монотонна, поэтому U
(k)
=F(X
(k)
), k=1,...,n и
неравенства F
-1
(u)
X
(k)
эквивалентны неравенствам u
U
(k)
.
Используя
представление
эмпирической
функции
распределения:
F x
n
I X
x
n
X
x
n
k
k
n
i
k
n
( )
( )
1
1
1
1
имеем:
F F
u
n
I X
F
u
n
I U
u
u
n
k
k
n
k
k
n
n
(
( ))
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
.
Независимо от вида функции F(x)
L
(U
i
)=R(0,1) и Ф
n
(u) -
эмпирическая функция распределения для выборки из
равномерного распределения. ▓
Эта теорема позволяет вычислить и протабулировать
распределение D
n
только один раз (для выборки из
равномерного R(0,1) распределения), и использовать ее для
проверки гипотезы относительно произвольной непрерывной
функции распределения F(x). Функция распределения
статистики D
n
табулирована при конечных значениях n. При
n
статистика D
n
имеет закон распределения Колмогорова
F
x
K t
e
D
i
i t
i
n
( )
( )
(
)
1
2
2 2
.
Правило проверки гипотезы на основе критерия Колмогорова:
подсчитывается значение статистики D
n
~d
экс
d
экс
k
кр
1
, d
экс
<k
кр
0
k
кр
находится из условия
P
nD
k
H
n
kp
0
=1-K(k
кр
)=
или
1-
P
nD
k
H
n
kp
0
=
. Отсюда
k
кр
=K
1-
.
K
1-
- квантиль распределения Колмогорова порядка 1-
.
50
Замечания.
1. В отличие от критерия
2
, критерий Колмогорова требует
точного задания функции F(x).
2. Критерий согласия Колмогорова теоретически обоснован
для непрерывных случайных величин.
3. В отличие от критерия
2
Пирсона, критерий
Колмогорова можно использовать и при n<50 (даже при n
20).
Пример.
Проверить гипотезу о равномерном законе
распределения случайных величин, представленных в таблице,
при уровне значимости
=0.05.
x
F(x)
F
n
(x)
F
n
(x)-
- F (x)
0
0
0
0
0.1
0.1
0.11
0.01
0.2
0.2
0.21
0.01
0.3
0.3
0.334
0.034
0.4
0.4
0.432
0.032
0.5
0.5
0.522
0.022
0.6
0.6
0.641
0.041
0.7
0.7
0.736
0.036
0.8
0.8
0.823
0.023
0.9
0.9
0.899
0.001
1
1
1
0
D
n
F x
F x
n
x
n
sup
( )
( ) , n=1000; F
n
(x)=
m
n
;
d
экс
= 1000 0 041 1 3
.
. .
По таблицам критических точек распределения Колмогорова
табл.П3.6 находим K
kp
=K
0.95
=1.358
d
экс
<k
кр
H
0.
Закон распределения действительно равномерный.