ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1611
Скачиваний: 34
56
n
X
X
X
,..,
,
2
1
в объединенной последовательности и
обозначим ее W. Это и есть критерий Вилкоксона.
Пусть
n
r
r
r
,..
,
2
1
- ранги (порядковые номера) элементов
выборки
n
X
X
X
,..,
,
2
1
в общем вариационном ряду. Обычно
в качестве статистики рангового критерия используют сумму
)
(
...
)
(
)
(
n
r
f
r
f
r
f
2
1
,
где
)
(
r
f
– некоторая функция, определенная для всех
m
n
r
,..,
,
2
1
.
Пусть
)
,..,
,
(
m
n
s
s
s
2
1
одна из
)!
(
m
n
возможных
перестановок чисел 1,2,..,n+m. Положим
r
s
r
f
)
(
, тогда
статистика Вилкоксона задается формулой
n
r
r
r
s
s
s
W
..
2
1
.
Односторонний критерий Вилкоксона позволяет принять
гипотезу
0
H
, если W>C, и отвергнуть, если
C
W
, где C –
критическое значение одностороннего критерия Вилкоксона.
Односторонний критерий.
Если
C
W
принимается
0
H
C
W
отвергается
0
H
, принимается
1
H
.
Двусторонний критерий.
2
1
C
W
C
)
(
2
1
C
C
принимается
0
H
2
C
W
,
либо
1
C
W
отвергается
0
H
,
принимается
1
H
.
Нижнее
1
C
и верхнее
2
C
критические значения
двустороннего критерия связаны между собой отношениями
N
C
C
2
1
,
где N=m (m+n+1).
Критические значения находят по таблицам [7].
Если объемы выборок велики, то можно воспользоваться
асимптотической нормальностью статистики Вилкоксона с
математически ожиданием M[W]=m(m+n+1)/2 и дисперсией
57
D[W]=nm(n+m+1)/12. В этом случае при заданном уровне
значимости
для одностороннего критерия имеем
u
n
m
mn
N
C
12
1
2
1
)
(
,
а для двустороннего –
2
2
1
12
1
2
/
,
)
(
u
n
m
mn
N
C
,
где
2
/
,
u
u
-
квантили стандартного нормального закона.
Критерий Манна-Уитни
Этот критерий проверяет гипотезу об одинаковом
распределении двух генеральных совокупностей, как и
критерий Вилкоксона.
Рассмотрим всевозможные пары
)
,
(
j
i
Y
X
,
m
i
,..,
,
2
1
;
n
j
,..,
,
2
1
. Здесь
i
X
- i-ый элемент первой выборки,
j
Y
- j-
ый элемент второй выборки. Подсчитаем число пар, для
которых
j
i
Y
X
, и обозначим его U. Это и есть критерий
Манна-Уитни. Между обоими критериями существует
соотношение
W+U=mn+m(m+1)/2
Это говорит о том, что оба критерия эквивалентны.
Математическое ожидание критерия Манна-Уитни находится
как M[U]=mn+m(m+1)/2-M[W]=mn/2. Дисперсии в силу
линейной зависимости совпадают. При
m
и
n
распределение критерия U стремится к нормальному
распределению. В связи с этим все остальное совпадает с
процедурой
использования
критерия
Вилкоксона,
за
исключением того, что M[W] заменяется на M[U]=mn/2.
Критерий знаков
Этот критерий применяется, когда обе выборки имеют
одинаковый объем (n=m). Происходит попарное сравнение
58
элементов выборок:
)
,
(
1
1
Y
X
,
)
,
(
2
2
Y
X
,..,
)
,
(
m
n
Y
X
.
Фактически здесь имеется выборка для двумерной случайной
величины (X,Y). Пары
)
,
(
i
i
Y
X
i=1,2,..,n являются взаимно
независимыми, но компоненты внутри пары могут зависеть
друг от друга.
Такая ситуация возникает при анализе эффективности
некоторого мероприятия. Для группы объектов измеряется
некоторый показатель до и после внедрения данного
мероприятия. Результаты измерений для различных объектов
можно считать независимыми, но для одного объекта
измерения могут быть зависимыми случайными величинами.
Итак, проверяемая гипотеза утверждает, что
i
X
и
i
Y
распределены одинаково, т.е.
P(X<Y)=P(X>Y)=1/2.
Рассмотрим для каждого i разницу
i
i
i
Y
X
Z
, и в общем
случае Z=X-Y. Тогда рассматриваемая гипотеза эквивалентна
гипотезе
P(Z<0)=P(Z>0)=1/2.
Следовательно, с равной вероятностью 1/2 знак любого
элемента последовательности
n
Z
Z
Z
,..,
,
2
1
может быть
положительным и отрицательным. Критерием R здесь является
число положительных знаков. Если гипотеза верна, то R имеет
биномиальное распределение с параметрами n и p=1/2.
Следовательно, можно применить процедуру проверки
гипотезы о вероятности события
2
1
0
/
p
.
Критерий однородности Вилкоксона
Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности
двух независимых выборок:
1
2
1
n
x
x
x
,..,
,
и
2
2
1
n
y
y
y
,..,
,
.
Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к
случайным величинам, распределения которых неизвестны.
59
Если выборки однородны, то они извлечены из одной
генеральной совокупности, т.е.
)
(
)
(
x
F
x
F
2
1
.
Нулевая гипотеза утверждает, что функции распределения
равны
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
0
.
Альтернативными являются следующие гипотезы:
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
1
;
)
(
)
(
x
F
x
F
2
1
;
)
(
)
(
x
F
x
F
2
1
.
Предполагается, что объем первой выборки меньше объема
второй:
2
1
n
n
. Если это не так, то выборки можно
перенумеровать (поменять местами).
А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объѐм
обеих выборок не превосходит 25
Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне
значимости
Q
2
проверить
нулевую
гипотезу
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
0
об однородности двух выборок
(
2
1
n
n
) при альтернативе
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
1
, необходимо
1.
Расположить обе выборки в возрастающем порядке, т.е.
в виде одного вариационного ряда и найти
наблюдаемое значение критерия
.
набл
W
– сумму
порядковых номеров элементов первой выборки;
2.
найти по таблице нижнюю критическую точку
)
,
,
(
.
.
2
1
n
n
Q
w
кр
ниж
, где
2
/
Q
;
3.
найти верхнюю критическую точку по формуле
i.
.
.
.
.
)
(
кр
нижн
кр
верх
w
n
n
n
w
1
2
1
1
Если
.
.
.
кр
нижн
набл
w
W
или
.
.
.
кр
верх
набл
w
W
-
нулевую гипотезу отвергают
Если
.
.
.
.
.
кр
верхн
набл
кр
нижн
w
W
w
- нулевую гипотезу
принимают.
Пример
. При уровне значимости
05
0
,
проверить
гипотезу
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
0
об однородности двух выборок
объемов
6
1
n
,
8
2
n
60
i
x
15
23
25
26
28
29
i
y
12
14
18
20
22
24
27
30
при альтернативе
)
(
)
(
:
x
F
x
F
H
2
1
1
Pешение. Их двух выборок построим один вариационный
ряд, элементы пронумеруем (перенумеруем).
Порядковый
номер
1
2
3
4
5
6
7
Вариационный
ряд
12
14
15
18
20
22
23
Порядковый
номер
8
9
10
11
12
13
14
Вариационный
ряд
24
25
26
27
28
29
30
Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона – сумму
порядковых номеров (они подчеркнуты) элементов первой
выборки.
.
набл
W
=3+7+9+10+12+13=54
Найдем по таблицам [7] нижнюю критическую точку,
учитывая, что
025
0
2
05
0
2
,
/
,
/
Q
,
6
1
n
,
8
2
n
29
8
6
025
0
)
;
;
,
(
.
.
кр
ниж
w
Найдем верхнюю критическую точку
.
.
.
.
)
(
кр
нижн
кр
верх
w
n
n
n
w
1
2
1
1
=(6+8+1)*6-
29=61
Так как 29<54<61, т.е.
.
.
.
.
.
кр
верхн
набл
кр
нижн
w
W
w
-
гипотеза об однородности выборок принимается.