ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1592
Скачиваний: 34
11
или статистику Фишера. Однако, в вычислении вероятности
ошибок и интерпретацию решений удобно проводить для
статистики, являющейся оценкой параметра q, т.е. статистики
.
Общие принципы построения критериев уже были
рассмотрены, далее конкретизируем задачу. В случае
параметрических
гипотез
функция
мощности
для
произвольного критерия X
1
обозначается:
W(
)=W( X
1
;
)=P
(
X
X
1
),
.
В случае рандомизированного критерия, который задаѐтся
критической функцией
(х), имеем:
W(
)=W(
;
)=M
(
X
)
Условия (6.3) и (6.4) в новых обозначениях примут вид
W(
)
,
0
, (6.5)
W(
)
max,
1.
(6.6)
6.5. Равномерно наиболее мощные критерии
Пусть X
1
и X
1
*
– два критерия одного и того же уровня
значимости
для гипотезы Н
0
. Если
W( X
1
*
;
)
W( X
1
;
),
0
, и (6.7)
W( X
1
*
;
)
W( X
1
;
),
1
, (6.8)
причѐм строгое неравенство в (6.8) имеет место хотя бы при
одном значении θ , то говорят, что критерий X
1
*
равномерно
мощнее
критерия X
1
. В этом случае, очевидно следует
отдать предпочтение критерию X
1
*
, так как он приводит к
меньшим ошибкам. Если соотношения (6.7) и (6.8)
выполняются для любого критерия X
1
, то X
1
*
называют
равномерно наиболее мощным
(р.н.м.)
критерием
для
проверки гипотезы Н
0
. В случае, если множество
состоит из
одной точки (Н
1
- простая гипотеза) вместо термина р.н.м.
12
критерий используют термин
наиболее мощный критерий.
Равномерно наиболее мощный критерий не всегда существует,
так как экстремальная задача (6.6) при ограничениях (6.5)
имеет решения только в некоторых специальных случаях.
Часто
ограничиваются
подклассом
несмещѐнных
критериев, для которых одновременно с (6.5) выполняется
следующее условие
W(θ)
,
1
.
В ряде задач для которых р.н.м. критерии не существуют,
могут иметь место р.н.м. несмещѐнные критерии.
6.6. Выбор из двух простых гипотез.
Критерий Неймана-Пирсона
Проверяется простая параметрическая гипотеза против
простой альтернативы. Параметрическое множество состоит
из двух точек
={
0
;
1
}. Основная (проверяемая) гипотеза
утверждает - Н
0
: q=q
0
, а альтернатива Н
1
: q=q
1
. Необходимо
построить правило, позволяющее на основе значений выборки
принять или отвергнуть Н
0
.
Решение задачи. Запишем вероятности ошибок
P(
1
H
0
)=P(
1
0
)=
X
1
L
(
x
;
0
)d
x
L
(x;
) - функция правдоподобия.
P(
0
H
1
)=P(
0
1
)=
X
0
L
(
x
;
1
)d
x
=1-
X
1
L
(
x
;
0
)d
x
Зафиксируем значение вероятности ошибки первого рода
P(
1
H
0
)=
. Будем искать критерий X
1
обеспечивающий (min)
минимум вероятности ошибки 2-го рода. Он будет при
условии
max
( ;
)
max
( ;
)
( ;
)
( ;
)
X
X
X
X
L x
dx
L x
L x
L x
dx
1
1
1
1
1
1
0
0
,
L x
L x
l X
( ;
)
( ;
)
( )
1
0
– отношение правдоподобия.
13
Учитывая, что l(
X
) и
L
(
x
;
) – положительные, то максимум
интеграла будет достигаться, если
X
1
={
x
: l(
x
)
c}.
Значение с выбирается из равенства:
L x
dx
X
x l x c
( ;
)
{ : ( ) }
0
Покажем, что такое разбиение приводит к наиболее мощному
критерию.
Теорема
Неймана
-
Пирсона.
Пусть
функции
F
0
(x)=F(x;
0
) и F
1
(x)=F(x;
1
) – возможные распределения
случайной величины
. Пусть они непрерывны по х.
Отношение правдоподобия
l X
L x
L x
( )
( ;
)
( ;
)
1
0
задаѐтся таким
образом. Тогда при заданной вероятности ошибки 1-го рода
существует наиболее мощные критерий X
1
*
, определяющий
критическую область следующим образом
X
1
*
={
x
: l(
x
)
c}.
Доказательство: Рассмотрим любой другой критерий
X
1
уровня значимости
. Тогда
W X
L x
dx
L x
dx
L x
dx
X
X X
X X
X X
X X
(
;
)
( ;
)
( ;
)
( ;
)
*
*
*
*
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Функция мощности для критерия X
1
*
выражается аналогично
W X
L x
dx
L x
dx
X X
X X
(
;
)
( ;
)
( ;
)
*
*
*
1
1
1
1
1
1
1
1
Из второго равенства находим:
L x
dx W X
L x
dx
X X
X X
( ;
)
(
;
)
( ;
)
*
*
*
1
1
1
1
1
1
1
1
,
подставляем в первое равенство и получаем
W X
(
;
)
1
1
W X
(
;
)
*
1
1
+
L x
dx
X X
( ;
)
*
1
1
1
-
L x
dx
X X
( ;
)
*
1
1
1
=
14
умножим и разделим на
L
(x;
0
) и получим
=
W X
(
;
)
*
1
1
+
l x L x
dx
X X
( ) ( ;
)
*
0
1
1
-
l x L x
dx
X X
( ) ( ;
)
*
0
1
1
В соответствии с условиями теоремы:
X
1
*
={
x
: l(
x
)
c}; X
1
*
={
x
: l(
x
)<c}
получаем
W X
(
;
)
1
1
<
W X
(
;
)
*
1
1
+c(
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
-
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
). (*)
Рассмотрим интегралы в скобках. Первый интеграл, как и
второй, можно представить в виде:
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
=
L x
dx
X
( ;
)
0
1
-
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
=
L x
dx
X
( ;
)
*
0
1
-
L x
dx
X X
( ;
)
*
0
1
1
По условиям теоремы уровень значимости равен
. Интегралы
в выражении (*) в правой части совпадают и скобки равны 0,
отсюда получаем W X
(
;
)
1
1
< W X
(
;
)
*
1
1
, т.е. X
1
*
более
мощный критерий по сравнению с
X
1
. В силу
произвольности X
1
соотношение выполняется для всех
критериев с уровнем значимости
, т.е. X
1
*
- наиболее
мощный критерий. ▓
Замечание.
Критерий
X
1
*
, построенный в соответствии с
указанными условиями, называется критерием Неймана-
Пирсона. Фиксируется вероятность ошибки 1-го рода и
минимизируется вероятность ошибки 2-го рода.
15
7. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
О ПАРАМЕТРАХ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Когда основная гипотеза и альтернатива проостые,
можно определить закон распределения выборки или какой-
либо функции выборки и построить нерандомизированное
правило принятия решений. Это правило обеспечит заданную
вероятность ошибки первого рода (вероятность отвергнуть
основную гипотезу, если она справедлива). Можно рассчитать
и вероятность ошибки второго рода. При проверке сложных
гипотез стремятся выбрать такую статистику, чтобы можно
было бы свести хотя бы одну из гипотез к простой. Эту
гипотезу и берут в качестве основной. Критерий также
строится на основе заданной вероятности ошибки 1-го рода.
На примерах выборок из нормального распределения
рассмотрим те задачи, которые возникают при проверке
простых и сложных гипотез. Эти задачи могут быть решены,
применяя критерий Неймана - Пирсона или критерий
правдободобия.
7.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании
нормального распределения
Пусть случайная величина
имеет нормальное
распределение с известной дисперсией
2
и неизвестным
средним
~ N(
,
2
),
{
0
,
1
},
0
<
1
. Необходимо построить
критерий, позволяющий на основе значений выборки решить,
какое значение имеет параметр
.
Н
0
:
=
0
; Н
1
:
=
1
.
Будем использовать критерий Неймана-Пирсона. Необходимо
построить отношение
l x
L x
L x
( )
( ;
)
( ;
)
1
0
и сравнить с некоторым
порогом с~const.
l(
x
)
c - принимается решение
1
~ H
1
:
=
1
,
l(
x
)<c - принимается решение
0
~ H
0
:
=
0
.