ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1644
Скачиваний: 36
16
Значение с находится из условия: P(
1
H
0
)=
)
(
2
)
(
exp
)
(
)
(
2
1
exp
)
(
2
0
2
1
2
0
1
2
1
2
0
2
1
2
n
x
n
x
x
x
l
n
i
i
i
В виду монотонности экспоненты можно перейти к
следующему неравенству
ln l(x) ≥ ln c,
т.е.
[
)
(
2
)
(
2
0
2
1
2
0
1
2
n
x
n
] ≥lnc.
В качестве статистики критерия при проверке простой
параметрической гипотезы выбирают ту же статистику, что и
для оценки параметра
, т.е. выборочное среднее. Поэтому из
этого неравенства определим выборочное среднее
x
, после
преобразований получим:
x
2
1
0
1
0
2
ln
(
)
c
n
(*)
Обозначим через h правую часть равенства (*), и получаем
следующий алгоритм
x
h
x
h
1
0
. (7.1)
Необходимо найти h из условия P(
1
H
0
)=
. Выборочное
среднее
имеет
нормальный
закон
распределения
с
параметрами N(θ, σ/√n).
Определим ошибки первого и второго рода
=P(
1
H
0
)=P(
x
>h
0
)=
1
2
1
2
0
2
0
e
du
h
n
u
h
n
(
)
(7.2)
= P(
0
H
1
)=P(
x
h
1
)=
1
2
2
1
2
1
e
du
h
n
u
h
n
(
)
. (7.3)
Обозначим u
то значение, для которого
1-Ф(u
)=
,
17
u
носит название
квантиль нормального распределения
.
Тогда из (7.2), (7.3) и из того, что u
=-u
1-
вытекает
h
n
u
0
(7.4)
h
n
u
1
,
отсюда определим h, т.е.
h=
0
+u
n
=
1
-u
n
Из этого выражения найдѐм n
n
u
u
2
2
1
0
2
(
)
(
)
(7.5)
Равенство (7.5) даѐт тот объѐм выборки, который при
оптимальном критерии обеспечивает ошибки 1-го и 2-го рода
(
и
). Если правая часть (7.5) - не целая, то за n надо брать
ближайшее большее целое число
Проиллюстрируем полученные результаты
f(
x
;
)
f(
x
H
0
) f(
x
H
1
)
x
0
h
1
допустимая область критическая область
X
1
Рис.7.1
18
В соответствии с выражением (7.4) пороговое значение
находится правее
0
. Справа от h находится критическая
область, слева – допустимая.
На рисунке приведено графическое представление
плотности вероятности выборочного среднего при основной
гипотезе и альтернативе. Вероятность ошибки 1-го рода
представлена заштрихованной областью. Функция мощности
(это вероятность попадания выборки в критическую область)
выражается через ошибки 1-го и 2-го рода следующим
образом:
)
(
1
)
,
(
1
0
1
1
H
P
Х
W
=
1
,
)
(
)
,
(
0
1
0
1
H
P
Х
W
=
.
Значение
h
называется критическим значением
критерия. Слева от него находится допустимая область, справа
– критическая область. На практике обычно считают
известным уровень значимости
и объем выборки
n
, а
h
-
критическое значение определяют из таблиц или с помощью
пакетов MATHCAD и STATISTICA.
Уровень значимости α связан с критическим значением h
приближенной формулой
α ≈ 1 - A(h),
где A(h) – функция распределения той статистики, которая
используется при проверке гипотез. При большом объѐме
выборки критическое значение h совпадает с (1 – α) квантилью
соответствующего распределения.
Самостоятельно:
Построить
алгоритм
проверки
гипотезы
о
математическом
ожидании
нормальной
генеральной
совокупности при условии .
0
>
1,
0
≠
1
.
7.2. Проверка гипотезы о дисперсии нормального
распределения
Пусть в модели
~N(a,
2
) следует проверить простую
гипотезу о неизвестной дисперсии, т.е. рассматриваются две
19
гипотезы Н
0
:
=
0
; Н
1
:
=
1
>
0
.
Необходимо построить
критерии Неймана - Пирсона для принятия решения.
В этом случае отношение правдоподобия
l(x)=
0
1
0
2
1
2
2
1
1
2
1
1
n
n
i
i
n
x
exp
при условии, что а=0 приводит к статистике
x
c
i
i
n
2
1
Известно, что сумма квадратов случайных величин
j
j
X
a
будет иметь
2
-распределение
j
j
n
n
2
1
2
~
с n
степенями свободы, поэтому для решения задачи будем
испытывать статистику
T=
(
)
x
a
nS
i
i
n
2
1
2
, T
(0,
)
nS
n
2
2
и T=
n
2
.
Алгоритм проверки гипотезы
T
c
1
T<c
0
Найдѐм значение c из условия.
Ошибка первого рода:
P(
1
H
0
)=P(T
c
0
)=P(
0
n
2
c)=P(
n
2
c
0
)=1-
F
c
n
2
0
=
,
отсюда:
с=
n,1
2
0
Здесь
F
n
2
– функция распределения
2
с n степенями свободы;
n,1
2
– квантиль
2
-распределения порядка (1-
).
Ошибка второго рода:
P(
0
H
1
)=P(T<c
1
)=P(
1
n
2
<c)=P(
n
2
<
c
1
)=
,
20
=
F
n
n
2
1
2
0
1
,
.
Замечание.
Статистика
Т=
(
)
x
a
i
i
n
2
1
предполагает,
что
математическое ожидание известно, поэтому Т=
n
2
. Если
математическое ожидание неизвестно, то можно использовать
статистику
Т=
(
)
x
X
i
i
n
2
1
.
Для
неѐ
справедливо
представление Т=
n
1
2
.
Самостоятельно:
Построить алгоритм проверки гипотезы о дисперсии
нормального распределения при условии
0
<
1
.
7.3. Проверка сложных статистических гипотез.
Гипотеза о равенстве математических ожиданий нормальных
распределений
Пусть
имеются
две
выборки
из
нормальных
распределений
X
=(X
1
,...,X
n
),
~ N(
1
,
1
)
Y
=(Y
1
,...,Y
n
),
~ N(
2
,
2
)
Н
0
:
1
=
2
Н
1
:
1
2
- сложные гипотезы.
Необходимо построить правила, позволяющие на основе
значений выборок
X
и
Y
, принять или отвергнуть основную
гипотезу.
Будем пользоваться статистикой
T=
X Y
;
1
2
2
2
n
n
,
X
~N
1
1
;
n
– выборочное среднее имеет нормальное
распределение;