ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1597
Скачиваний: 34
21
Y
~N
2
2
;
n
- аналогично.
X
-
Y
~ N
1
2
1
2
2
2
;
n
n
;
T=
X Y
~N
1
2
1
;
;
1
2
0
.
При этом основная гипотеза и альтернатива могут быть
сформулированы следующим образом: Н
0
:
0
=0 - простая
гипотеза; Н
1
:
0
0 - сложная гипотеза.
Решение этой задачи иллюстрируется рисунками,
приведенными ниже.
f
T
(u)
H
0
H
1
H
1
0 u
Рис. 7.2
В связи с этим мы должны рассмотреть три случая
a)
1
>
2
,
0
>0
b)
1
<
2
,
0
<0
c)
1
2
,
0
>0,
0
<0 (
0
<>0)
В каждом случае критическая область выбирается по-
своему.
a) q
0
>0 (q
1
>q
2
) критическая область правосторонняя.
Алгоритм принятия решения в этом случае, как и в задаче
проверки гипотезы о математическом ожидании нормального
распределения, имеет вид
t
h
0
t<h
1
22
h находят из условия
P(
1
H
0
)=
(
*
)
при Н
0
, Т~N(0,1), поэтому
P T h H
e
dt
h
t
h
0
2
1
2
1
2
( )
,
отсюда h=u
1-
.
f
T
(u)
H
0
H
1
0
h
0
u
допустимая область критическая область правосторонняя
X
1
Рис. 7.3
Найдѐм вероятность ошибки 2-го рода
P(
0
H
1
)=P(T<h
H
1
)=Ф(h-
0
)=
, при H
1
T~N(
0
;1).
Вероятность ошибки зависит от разности параметров.
Если
1
2
0
0, то P(
0
H
1
)=1- P(
1
H
0
)~
=1-
.
Если параметры расходятся, т.е. q
0
, то P(
0
H
1
)
0 (
0 -
ошибка второго рода). Функция мощности при альтернативе
будет иметь вид
W(
0
)=1-P(
0
H
1
)=1-Ф(h-
0
).
Исследуем
поведение
функции
мощности
при
альтернативе для различных значений θ
0 .
23
W(
0
)
1
0
=0
W(0)=
0
Рис. 7.4
При
0
W(0)
1
b)
0
<0 (
1
<
2
). Алгоритм принятия решения запишется в
виде
<h
1
t
h
0
.
Найдѐм h из следующего выражения
P(
1
H
0
)=P(T<h
H
0
)=Ф(h)=
h=u
.
f
T
(u)
H
1
H
0
0
u
0
h=u
критическая область
допустимая область
левосторонняя
X
1
Рис. 7.5
Найдѐм вероятность ошибки 2-го рода
P(
0
H
1
)=P(T
h
H
1
)=1-P(T<h
H
1
)=1-Ф(h-
0
).
Функция мощности имеет вид
W(
0
)=1- P(
0
H
1
)=Ф(h-
0
).
Рассмотрим поведение функции мощности
24
W(
0
)
1
0
=0
W(0)=
0
При
0
-
W(
0
)
1.
Рис. 7.6
c)
0
=
0. Алгоритм принятия решения запишется в виде
t
h
1
t
<h
0
f
T
(u)
H
0
H
1
H
1
0 u
h доп обл h=u
1-
/2
критическая область двухсторонняя
X
1
Рис. 7.7
P(
1
H
0
)=P(
T
h
H
0
)=1-P(
T
<h
H
0
)=1-Ф(h)+Ф(-h)=2-2Ф(h)=
.
Используя свойство
Ф(-h)=1-Ф(h).
h=
u
1
2
.
Вероятность ошибки 2-го рода определяется следующим
образом:
P(
0
H
1
)=P(
T
<h
H
1
)=Ф(h-
0
)+Ф(-h-
0
)=Ф(h-
0
)+Ф(h+
0
)-1.
25
W(
0
)=1-P(
0
H
1
)=2-Ф(h-
0
)-Ф(h+
0
).
График функции мощности представлен на рисунке, как
и ранее W(0)=P(
1
H
0
)=
, при
0
функция мощности
стремится к 1 (W(
0
)
1).
W(
0
)
1
θ
0
Рис 7.8
Из рассмотрения функций мощности для односторонних
и двустороннего критерия можно сделать вывод, что
двусторонний критерий
X
1
всегда менее мощный, чем один
из односторонних критериев
X
1
или
X
1
.
Пример.
С помощью одного и того же прибора,
среднеквадратическая ошибка измерений которого
0
=1,
получена по 5 измерений для двух величин.
Для первой величины Х
i
= 4; 5; 6; 7; 8.
Для второй величины Y
i
= 5; 5; 5; 4; 6.
Проверить гипотезу о равенстве измеренных величин
при уровне значимости
=0.05. Ошибки измерения считаются
нормальными.
Решение. Воспользуемся результатами решения задачи
проверки гипотез о равенстве математических ожиданий
нормальной генеральной совокупности.
1. Воспользуемся статистикой T=
X Y
;
1
2
1
2
2
2
n
n