ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 955
Скачиваний: 1
(2.68). Параметр
α
в рекуррентном соотношении (2.76) является неиз-
вестным, поскольку он связан с подлежащей определению энергией
E
соотношениями (2.72) и (2.65). Поэтому, если выбрать этот параметр в
виде
α
=
α
n
r
l
= (
n
r
+
l
+ 1)
−
1
,
n
r
= 0
,
1
, . . . ,
(2.77)
ряд (2.75) оборвется, превратившись в полином. Соответственно из
(2.77), (2.72), (2.65) находим энергии стационарных состояний электро-
на в водородоподобном ионе:
E
n
r
l
=
−
Z
2
2(
n
r
+
l
+ 1)
2
e
2
a
0
,
l, n
r
= 0
,
1
, . . .
(2.78)
Параметр
n
r
называется
радиальным квантовым числом
. Оно нумеру-
ет состояния одномерного движения в эффективном потенциале (2.64)
при заданном значении орбитального квантового числа
l
и
число нулей
(узлов)
соответствующей радиальной волновой функции.
Как видно из (2.78), энергии
E
n
r
l
зависят
только от суммы
кван-
товых чисел
n
r
и
l
, но не от них самих по отдельности. Это означает,
что после введения обозначения
n
=
n
r
+
l
+ 1
спектр (2.78) примет вид:
E
n
=
−
Z
2
2
n
2
e
2
a
0
,
n
= 1
,
2
. . .
(2.79)
Мы получили формулу Бора. Так как радиальное квантовое число
n
r
принимает значения 0,1,. . . , то квантовое число
l
при фиксированном
n
будет принимать значения
l
=
n
−
n
r
−
1 = 0
,
1
, . . . , n
−
1
, т. е. всего
n
значений. Таким образом, энергетические уровни (2.79)
вырождены по
величине
L
2
с кратностью
l
+ 1
. Это так называемое «случайное» вы-
рождение обусловлено спецификой кулоновского потенциала, а имен-
но наличием дополнительного интеграла движения — вектора Рунге –
Ленца, которому соответствует оператор
ˆ
A
=
r
r
−
[ˆ
p
×
ˆ
L
]
−
[ ˆ
L
×
ˆ
p
]
µZe
2
.
Учитывая вырождение каждого значения
L
2
по величине
L
z
, получаем
кратность вырождения уровней (2.79):
g
n
=
n
−
1
X
l
=0
(2
l
+ 1) =
n
2
,
(2.80)
76
которая, как и энергия, определяется одним лишь главным кванто-
вым числом. Спектр (2.79) называется водородным, или
ридберговским
.
Число его уровней бесконечно. Ограничивающее его сверху нулевое
значение энергии является
точкой сгущения
уровней:
lim
n
→
+
∞
E
n
=
−
0
.
Радиальные волновые функции стационарных состояний
R
nl
(
r
)
можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию
1
F
1
(см. приложение Б):
R
nl
(
r
) =
N
nl
r
2
Zr
na
0
l
exp
−
Zr
na
0
1
F
1
(
−
n
+
l
+ 1; 2
l
+ 2; 2
Zr/na
0
)
,
(2.81)
где
N
nl
=
2
Z
na
0
3
/
2
1
(2
l
+ 1)!
s
(
n
+
l
)!
2
n
(
n
−
l
−
1)!
— нормировочный множитель. При заданном
l
и различных
n
волно-
вые функции (2.81) взаимно ортогональны и нормированы на единицу
условием (2.51).
Как и в любом центральном поле, функции (2.81) параметрически
зависят от орбитального квантового числа
l
. Поэтому для классифика-
ции состояний радиального движения в водородоподобном ионе суще-
ствует система специальных обозначений —
спектроскопических сим-
волов
. Они состоят из двух частей: на первом месте ставится главное
квантовое число, на втором — буква, соответствующая орбитальному
квантовому числу (см. табл. 2.1).
Таким образом, волновые функции стационарных состояний водо-
родоподобного иона имеют вид:
Ψ
nlm
l
(
r
) =
1
r
R
nl
(
r
)
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
,
(2.82)
где
R
nl
(
r
)
дается соотношением (2.81). Они определяются тремя кван-
товыми числами: главным
n
= 1
,
2
. . .
, орбитальным
l
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
и
магнитным
m
l
= 0
,
±
1
, . . . ,
±
l
.
Основным
состоянием атома водорода является
1
s
-состояние. Его
волновая функция в сферических координатах имеет вид:
Ψ
1
s
(
r
) = Ψ
100
(
r, θ, ϕ
) =
s
Z
3
πa
3
0
exp
−
Zr
a
0
,
(2.83)
77
а энергия
E
1
s
=
−
Z
2
2
e
2
a
0
.
(2.84)
Для атома водорода (
Z
= 1
)
E
1
s
= 13
,
6
эВ.
В классической постановке задачи движущийся по орбите электрон,
непрерывно теряя энергию на излучение электромагнитных волн, дол-
жен был бы упасть на ядро, т. е. тогда бы
E
→ −∞
. По законам же
микромира,
энергия электрона в атоме ограничена снизу
, что согла-
суется с принципом неопределенности. Плотность вероятности распре-
деления электрона в соответствии с общими свойствами стационарных
состояний не зависит от времени. Поэтому атом в основном состоянии
может существовать сколь угодно долго. Таким образом, последова-
тельная квантовая теория позволяет предсказать стабильность атома
и дискретность его уровней энергии без использования таких гипотез
ad hoc, как постулаты Бора.
2.8.
Распределение заряда электрона в атоме
Исследуем распределение заряда электрона в связанных стационар-
ных состояниях водородоподобного иона (2.82). Вероятность обнаруже-
ния электрона в окрестности точки с координатой
r
дается выражени-
ем:
d
w
nlm
l
(
r
) =
w
nlm
l
(
r
) d
3
r
=
w
nlm
l
(
r, θ
)
r
2
d
r
dΩ
(2.82)
=
=
R
2
nl
(
r
)
|
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
|
2
d
r
dΩ
.
(2.85)
Структура сферических функций (2.38) исключает зависимость веро-
ятности (2.85) от полярного угла.
Радиальное и угловое распределения будем исследовать по отдель-
ности.
Радиальное распределение
Вычислим вероятность обнаружения электрона в сферическом слое
радиуса
r
и толщины
d
r
. Для этого проинтегрируем выражение (2.85)
по полному телесному углу:
d
w
nl
(
r
) =
Z
(Ω)
d
w
nlm
l
(
r
)
(2.85)
=
R
2
nl
(
r
)
| {z }
w
nl
(
r
)
d
r
Z
|
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
|
2
dΩ
|
{z
}
1
,
78
откуда плотность радиального распределения электрона
w
nl
(
r
) =
R
2
nl
(
r
)
.
(2.86)
Она нормирована на единицу.
В качестве примера рассмотрим основное состояние. Радиальное
распределение электронной плотности дается выражением:
w
1
s
(
r
) =
4
Z
a
3
0
r
2
exp
−
2
Zr
a
0
.
Рис. 2.8.
Оно достигает максимума на расстоянии
a
=
a
0
/Z
(рис. 2.8). Это
наибо-
лее вероятное
расстояние между электроном и ядром. В случае атома
водорода это расстояние равняется в точности
a
0
— параметр, введен-
ный Бором в его теории атома водорода. Именно поэтому
a
0
называют
радиусом первой боровской орбиты (или просто боровским радиусом),
хотя в классическом смысле говорить об орбите в атомных масштабах
нельзя — отсутствует понятие траектории.
Можно показать, что в произвольном стационарном состоянии
(2.82) радиальное распределение имеет
n
r
=
n
−
l
−
1
максимумов.
Угловое распределение
Вычислим угловое распределение электрона в состоянии (2.82). Для
этого проинтегрируем (2.85) по радиальной координате:
d
w
lm
l
(
θ
) =
Z
(
r
)
d
w
nlm
l
(
r
)
(2.85)
=
|
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
|
2
|
{z
}
w
lml
(
θ
)
dΩ
Z
∞
0
R
2
nl
(
r
) d
r
|
{z
}
1
,
79
x
x
x
y
y
y
z
z
z
l
=
= 0
m
l
m
= 1
= 0
,
l
m
= 1
=
1
,
±
l
l
l
Рис. 2.9.
откуда плотность углового распределения электрона
w
lm
l
(
θ
) =
|
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
|
2
.
(2.87)
Она аксиально симметрична (поскольку квадрат модуля сферической
функции не зависит от
ϕ
), нормирована на единицу и
не зависит от
вида потенциала
, а определяется лишь значениями
L
2
и
L
z
, т. е. выра-
жение (2.87) справедливо для любого центрального потенциала. Оче-
видно, что
w
lm
l
(
θ
) =
w
l
|
m
l
|
(
θ
)
.
Приведем явный вид распределения (2.87) для частных значений
орбитального и магнитного квантовых чисел:
w
00
(
θ
) =
1
4
π
;
w
10
(
θ
) =
3
4
π
cos
2
θ
;
w
1
±
1
(
θ
) =
3
8
π
sin
2
θ.
Видно, что в s-состояниях распределение электронной плотности будет
сферически симметричным. Соответствующие графики угловых рас-
пределений представлены на рис. 2.9. Расстояние до начала координат
пропорционально величине электронной плотности.
2.9.
Токи в атомах. Магнетон
Как уже говорилось в разделе 2.1, в связанных состояниях
одномер-
ного
движения токи отсутствуют. Однако в
трехмерных
системах даже
в связанных состояниях токи могут существовать. Продемонстрируем
это на примере атома водорода.
Вычислим плотность потока вероятности в состояниях (2.82) по
формуле (1.93). Вспомним вид градиента в сферических координатах:
∇
=
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
,
1
r
sin
θ
∂
∂ϕ
.
(2.88)
80