ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 954
Скачиваний: 1
Операторы физических величин
В предыдущем разделе мы получили явные выражения для опера-
торов координаты (
ˆ
r
=
r
) и импульса (
ˆ
p
=
−
i
}
∇
). Здесь мы построим
операторы других физических величин. Сформулируем вначале общие
требования, предъявляемые к таким операторам.
Прежде всего, для выполнения
принципа суперпозиции
оператор
физической величины обязан быть
линейным
, т. е. для любых функций
Φ
,
Ψ
и комплексной константы
α
должны выполняться равенства:
ˆ
F
(
α
Ψ) =
α
ˆ
F
Ψ;
ˆ
F
(Ψ + Φ) = ˆ
F
Ψ + ˆ
F
Φ
.
(1.45)
Поскольку измерительные приборы дают вещественные значения
величины
F
, ее
среднее значение
h
F
i
обязано быть вещественным в
любых состояниях
. Этого можно достичь, потребовав от оператора
ˆ
F
самосопряженности
. Действительно, на основании (1.31) имеем:
h
F
i
∗
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
∗
(1.42)
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
(1.31)
=
h
F
i
.
Таким образом,
операторы физических величин обязаны быть линей-
ными и эрмитовыми
.
Таблица 1.1
Операторы основных физических величин
№
Величина
Оператор
Примечание
1
координата
r
ˆ
r
=
r
ˆ
r
Ψ(
r
) =
r
Ψ(
r
)
2
импульс
p
ˆ
p
=
−
i
}
∇
ˆ
p
=
−
i
}
X
k
e
k
∂
∂x
k
=
−
i
}
∂
∂
r
3
орб. момент
L
ˆ
L
= [
r
×
ˆ
p
]
4
кин. энергия
T
ˆ
T
=
ˆ
p
2
2
m
ˆ
T
Ψ(
r
) =
−
}
2
2
m
∇
2
Ψ(
r
)
5
потенц. энергия
V
ˆ
V
=
V
(
r
)
ˆ
V
Ψ(
r
) =
V
(
r
)Ψ(
r
)
6
полная энергия
E
ˆ
H
= ˆ
T
+ ˆ
V
ˆ
H
—
гамильтониан
В таблице 1.1 собраны операторы важнейших физических величин,
которые используются как в классической, так и в квантовой механике.
Существуют и чисто квантовые характеристики состояний микрообъ-
ектов, не имеющие классических аналогов, например,
четность
P
. Ей
соответствует оператор
инверсии
:
ˆ
I
Ψ(
r
)
def
= Ψ(
−
r
)
.
(1.46)
26
Предлагаем самостоятельно убедиться в линейности и самосопряжен-
ности всех перечисленных операторов.
1.7.
Определенные значения физических величин
Информацию о состоянии микрообъекта можно получить только в
результате
измерения
. Однако измерение физических величин в кван-
товой и классической механике существенно различается. Прежде всего
квантовую систему нужно привести в то состояние, в котором величи-
ну
F
необходимо измерить. Пусть
Ψ(
ξ
)
есть волновая функция
5
этого
состояния. В результате того или иного измерения состояние микро-
объекта разрушается (например, для фиксации летящего электрона на
его пути ставят фотопластинку; после взаимодействия с ней этот элек-
трон поглощается и уже не может быть зафиксирован повторно тем
же способом). Для повторного измерения квантовую систему необхо-
димо вновь привести в то же самое состояние и т.д. Среднее значение
величины
F
получается усреднением результатов таких многократных
измерений. Если известна волновая функция квантовой системы, то
среднее значение
F
вычисляется по формуле (1.29) (или (1.31)).
Описанный выше способ измерения физической величины
F
дает
с математической точки зрения последовательность случайных чисел.
Характеристикой их разброса относительно среднего значения служит
среднеквадратичное отклонение
:
h
(∆
F
)
2
i
def
=
h
(
F
− h
F
i
)
2
i
.
(1.47)
Очевидно, что ненулевые значения
h
(∆
F
)
2
i
могут получаться даже
в случае идеального прибора с нулевой погрешностью. Такая
неопре-
деленность
в значении величины
F
есть объективное свойство дви-
жения в микромире. Поэтому возникает проблема поиска состояний с
определенными
значениями
F
. Определенность значения величины
F
в некотором состоянии квантовой системы означает, что при каждом
акте ее измерения в данном состоянии будет получаться
одно и то же
значение
этой величины.
Зададимся целью поиска таких состояний
Ψ
, в которых
h
(∆
F
)
2
i
= 0
.
Для этого введем вспомогательный эрмитов оператор
d
∆
F
= ˆ
F
− h
F
i
и
выполним следующие преобразования:
h
(
d
∆
F
)
2
i
(1.31)
=
h
Ψ
|
(
d
∆
F
)
2
|
Ψ
i
=
D
Ψ
d
∆
F
(
d
∆
F
)Ψ
E
(1.42)
=
5
Зависимость волновой функции от времени не учитываем, так как в данном
разделе она не существенна.
27
Рис. 1.4.
=
D
(
d
∆
F
)Ψ
(
d
∆
F
)Ψ
E
(1.10)
=
Z
(
d
∆
F
)Ψ(
ξ
)
2
d
ξ
>
0
.
Данная положительно определенная квадратичная форма обращается
в нуль
только в таких состояниях
, для которых
(
d
∆
F
)Ψ(
ξ
) = 0
, или,
в соответствии с определением
d
∆
F
,
ˆ
F
Ψ(
ξ
) =
h
F
i
Ψ(
ξ
)
.
(1.48)
Уравнение (1.48) является математическим выражением условия изме-
римости величины
F
в данном состоянии
Ψ
: величина
F
будет измери-
мой только в таких состояниях, волновая функция которых удовлетво-
ряет уравнению (1.48).
Проанализируем математические аспекты уравнения (1.48). Из тео-
рии операторов известно, что такие функции называются
собственны-
ми функциями
оператора. Действие оператора на них заключается в
умножении функций на константы —
собственные значения
оператора:
ˆ
F
Ψ
F
(
ξ
) =
F
Ψ
F
(
ξ
)
.
(1.49)
С математической точки зрения уравнение (1.49) представляет собой
уравнение для собственных функций и собственных значений опера-
тора
ˆ
F
. Задача состоит в отыскании
нетривиальных
(
Ψ
F
(
ξ
)
6≡
0
) ре-
шений уравнения (1.49) с заданными граничными условиями. Выбор
последних диктуется стандартными условиями, которым подчиняется
волновая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В об-
щем случае
ˆ
F
представляет собой линейный дифференциальный опера-
тор, так что уравнение (1.49) является
линейным однородным
диффе-
ренциальным уравнением
6
. Однородность приводит к неоднозначности
его решений: они определены с точностью до произвольного постоян-
ного множителя, т. е. должны быть нормированы.
Множество всех собственных значений оператора называется
спек-
тром оператора
. Если этот набор дискретный, то спектр называет-
ся
дискретным
, а если заполняет некоторый интервал,—
непрерывным
(рис. 1.4). Дискретный спектр реализуется при финитном движении,
6
Как правило, не выше
второго
порядка.
28
непрерывный — при инфинитном. Существуют и операторы, имеющие
одновременно и дискретный, и непрерывный спектр собственных зна-
чений.
Пример оператора с дискретным спектром — оператор проекции
орбитального момента на ось
z
, имеющий следующий вид в полярных
координатах
ˆ
L
z
=
−
i
}
∂
∂ϕ
:
ˆ
L
z
Ψ
m
l
(
ϕ
) =
}
m
l
Ψ
m
l
(
ϕ
)
,
0
6
ϕ <
2
π
;
Ψ
m
l
(
ϕ
) =
e
i
m
l
ϕ
√
2
π
,
m
l
= 0
,
±
1
, . . .
(1.50)
Такое
квантование
наблюдаемых значений физической величины при
финитном движении специфично для микромира и не имеет места в
классической механике.
Пример оператора с непрерывным спектром — оператор проекции
импульса
ˆ
p
x
=
−
i
}
∂
∂x
:
ˆ
p
x
Ψ
p
x
(
x
) =
p
x
Ψ
p
x
(
x
)
,
−∞
< x <
+
∞
;
Ψ
p
x
(
x
) =
e
i
p
x
x/
}
√
2
π
}
,
−∞
< p
x
<
+
∞
.
(1.51)
Рассмотрим для определенности собственное значение
F
n
из дис-
кретного спектра оператора
ˆ
F
. Если
F
n
соответствует одна собствен-
ная функция
Ψ
n
(
ξ
)
, то такое собственное значение называется
невы-
рожденным
. Если же для собственного значения
F
n
имеется
f
линейно
независимых собственных функций
Ψ
n
1
(
ξ
)
, . . . ,
Ψ
nf
(
ξ
)
,
ˆ
F
Ψ
nk
(
ξ
) =
F
n
Ψ
nk
(
ξ
)
,
k
= 1
, . . . f,
то такое собственное значение называется вырожденным с кратностью
вырождения
f
.
Вернемся теперь к концепции измеримости величины
F
.
Условие (1.48) дает
необходимое и достаточное
условие измеримо-
сти величины
F
в заданном состоянии
Ψ
, которое должно быть од-
ной из собственных функций оператора
ˆ
F
. Пока остается открытым
вопрос о том, какое же случайное значение величины
F
дает ее
одно-
кратное
измерение в
произвольном
состоянии
Ψ
? В квантовой теории
постулируется тождественность определенных значений величины
F
собственным значениям ее оператора
. Другими словами, даже ес-
ли состояние
Ψ
не является собственной функцией
ˆ
F
при измерении
величины
F
в этом состоянии, мы всякий раз будем получать одно из
29
собственных значений оператора
ˆ
F
. Мы вернемся позднее к вопросу о
вероятности
получения того или иного определенного значения
F
в
произвольном состоянии
Ψ
.
1.8.
Свойства собственных функций и собственных
значений линейного эрмитова оператора
В данном разделе будут сформулированы общие свойства собствен-
ных функций и собственных значений линейного эрмитова оператора
ˆ
F
. Для упрощения его спектр будет предполагаться дискретным:
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) =
F
n
Ψ
n
(
ξ
)
.
1.
Собственные значения вещественны
. Очевидно, что в состоянии
Ψ
n
среднее значение величины
F
совпадает с определенным
F
n
. Как
уже было доказано, в случае эрмитова оператора
ˆ
F
среднее значение
величины
F
всегда вещественно. Отсюда следует и вещественность всех
собственных значений.
2.
Собственные функции линейного эрмитова оператора взаимно
ортогональны
. Рассмотрим два
различных
собственных значения:
F
n
и
F
n
0
(
n
6
=
n
0
). Для них справедливы уравнения:
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) =
F
n
Ψ
n
(
ξ
);
ˆ
F
∗
Ψ
∗
n
0
(
ξ
) =
F
n
0
Ψ
∗
n
0
(
ξ
)
(1.52)
(над
F
n
0
отсутствует знак комплексного сопряжения вследствие веще-
ственности собственных значений). Умножим первое уравнение в (1.52)
слева на
Ψ
∗
n
0
(
ξ
)
, второе — на
Ψ
n
(
ξ
)
, проинтегрируем по
ξ
и вычтем одно
из другого:
h
Ψ
n
0
|
ˆ
F
|
Ψ
n
i − h
Ψ
n
|
ˆ
F
|
Ψ
n
0
i
∗
= (
F
n
−
F
n
0
)
|
{z
}
6
=0
h
Ψ
n
0
|
Ψ
n
i
.
(1.53)
Матричные элементы в (1.53) равны друг другу вследствие
эрмитово-
сти
ˆ
F
(см. (1.42)). Поэтому
h
Ψ
n
0
|
Ψ
n
i
= 0
,
n
0
6
=
n,
т. е. функции
Ψ
n
(
ξ
)
и
Ψ
n
0
(
ξ
)
ортогональны
в
L
2
. Поскольку при финит-
ном движении волновые функции нормируемы на единицу (см. (1.8)),
для собственных функций оператора с дискретным спектром можно
сформулировать
условие ортонормировки
, включающее в себя и слу-
чай
n
0
=
n
:
h
Ψ
n
0
|
Ψ
n
i
=
Z
Ψ
∗
n
0
(
ξ
)Ψ
n
(
ξ
) d
ξ
=
δ
n
0
n
.
(1.54)
30