ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 696
Скачиваний: 5
Выберем начало координат в центре шара и направим ось
z
вертикально
в сторону положительных зарядов. Тогда, очевидно,
d
= (0
,
0
, d
z
)
. Вычисляя
d
z
=
Z
zρ
(
r
)
dV
в сферических координатах,
d
z
=
3
q
2
πR
3
R
Z
0
r
3
dr
π/
2
Z
0
cos
θ
sin
θdθ
2
π
Z
0
dϕ
−
3
q
2
πR
3
R
Z
0
r
3
dr
π
Z
π/
2
cos
θ
sin
θdθ
2
π
Z
0
dϕ,
находим
d
=
3
4
qR.
J
Задача 12.
В вершинах квадрата со стороной
2
a
расположены точеч-
ные заряды
±
e
так, что соседние заряды имеют разные знаки (плоский
квадруполь). Найти тензор квадрупольного момента
Q
αβ
в системе коор-
динат с осями
x
и
y
, направленными по диагоналям квадрата.
Очевидно, что выбранные оси координат являются главными для тензора
квадрупольного момента, т.е.
Q
αβ
диагонален в этих осях. Пусть на оси
x
расположены заряды
e
, тогда на оси
y
лежат заряды
−
e
. Вычислим согласно
(2.17):
Q
xx
= 2[
e
(3
·
2
a
2
−
2
a
2
)] + 2(
−
e
)(
−
2
a
2
) = 12
ea
2
.
Аналогично,
Q
yy
=
−
12
ea
2
,
Q
zz
= 0
.
J
Задача 13.
Шар, по которому равномерно распределен заряд
q
, находит-
ся на большом расстоянии от элементарного диполя
d
. Найти силу, дей-
ствующую на диполь.
Согласно (2.24) энергия диполя в поле шара дается выражением
U
=
−
dE
,
где
E
— напряженность поля, создаваемая шаром, т.е.
E
=
q
r
r
3
,
r
— радиус-
вектор, проведенный от шара к диполю. Вычисляя силу, действующую на
диполь как
F
=
−∇
U
, находим
F
=
−
3
q
(
dr
)
r
r
5
+
q
d
r
3
.
J
Задача 14.
Заряд
Q
равномерно распределен по поверхности сферы ра-
диуса
R
. Найти абсолютную величину силы, разрывающую сферу на две
равные части.
На произвольный элемент
dS
поверхности сферы действует сила
d
F
, на-
правленная по нормали
n
к поверхности. Чтобы найти величину этой силы,
требуется вычислить напряженность электрического поля
E
0
, создаваемого
31
в месте нахождения выделенного элемента
dS
всей остальной частью заря-
женного шара. Представим по принципу суперпозиции поле
E
заряженной
сферы как векторную сумму
E
0
и поля
E
00
, создаваемого элементом
dS
. В
непосредственной близости от сферы снаружи напряженность
E
=
Q/R
2
, а
внутри
E
= 0
. Элемент
dS
при вычислении поля непосредственно у поверх-
ности сферы можно считать плоским, поэтому поле
E
00
имеет одинаковую
величину и противоположное направление внутри и снаружи сферы. Таким
образом, получаем два уравнения:
E
0
+
E
00
=
Q/R
2
,
E
0
−
E
00
= 0
. Отсюда
находим
E
0
=
Q
2
R
2
n
и
d
F
=
σ
E
0
dS
=
Q
2
8
πR
4
n
dS.
Направим ось
z
по оси полусферы, тогда суммарная сила
F
=
Z
d
F
=
F
k
.
Без вычислений ясно, что при интегрировании по поверхности полусферы
Z
n
dS
=
k
Z
cos
αdS
=
πR
2
k
(здесь
α
— угол между
n
и
k
), поскольку
Z
cos
αdS
есть проекция поверхности полусферы на её основание. Оконча-
тельно, на половину сферы действует сила
F
=
Q
2
8
R
2
.
(2.43)
Задача также может быть решена с использованием максвелловского тен-
зора натяжений (2.29). Согласно (2.30)
F
α
=
Z
T
αβ
n
β
dS.
Подставляя в (2.29) напряженность поля на поверхности
E
=
Q
R
2
n
и проводя
вычисления, приходим к (2.43).
J
Задачи для самостоятельного решения
2.1.
Найти напряженность
E
электростатического поля, потенциал
ϕ
ко-
торого равен: а)
−
ar
;
б)
a
[
br
];
в)
dr
/r
3
;
г)
F
(
f
(
ar
))
.
Здесь векторы
a
,
b
,
d
не зависят от координат и времени, а
f
и
F
— произвольные дифферен-
цируемые функции своего аргумента.
Ответ:
а)
a
;
б)
[
ba
];
в)
3(
dr
)
r
/r
5
−
d
/r
3
;
г)
−
dF
df
df
d
(
ar
)
a
.
32
2.2.
Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напря-
женностью: а)
E
= [
ar
];
б)
E
=
a
(
y
e
x
−
x
e
y
)
?
2.3.
Напряженность электрического поля
E
в пространстве равна:
а)
(
br
)
b
;
б)
gr
r
;
в)
e
r
r
3
½
1
−
·
1 +
2
r
a
³
1 +
r
a
´¸
exp
µ
−
2
r
a
¶¾
.
Здесь векторы
a
,
b
и величины
a
,
g
и
e
не зависят от координат, а
f
—
произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. Найти распре-
деление объемной плотности
ρ
заряда, создавшего это поле (обратная задача
электростатики).
Ответ:
а)
b
2
4
π
;
б)
gr
π
;
в)
e
πa
3
e
−
2
r/a
.
2.4.
Напряженность электростатического поля определяется выражени-
ем: а)
E
=
E
1
e
x
+
E
2
e
y
+
E
3
e
z
(
E
1
, E
2
, E
3
— константы); б)
E
=
a
r
3
r
r
(
a
—
константа). Найти потенциал поля.
2.5.
В шаре радиуса
R
2
равномерно заряжен с объемной плотностью
ρ
внешний шаровой слой. Внутренний радиус слоя
R
1
. Найти распределение
напряженности поля
E
во всех точках пространства.
Ответ:
E
(
r
) =
0
,
для
r
6
R
1
;
4
3
πρ
r
3
−
R
3
1
r
3
r
,
для
R
1
< r
6
R
2
;
4
3
πρ
R
3
2
−
R
3
1
r
3
r
,
для
r > R
2
.
2.6.
Найти напряженность
E
и потенциал
ϕ
электрического поля равно-
мерно заряженной с линейной плотностью
τ
бесконечной нити.
Ответ:
E
(
ρ
) =
2
τ
ρ
,
ϕ
(
ρ
) =
−
2
τ
ln
ρ
ρ
0
,
где
ρ
−
расстояние до нити
, ρ
0
−
значение
ρ,
при котором потенциал принят равным нулю.
2.7.
Прямой круглый цилиндр бесконечной длины с радиусом сечения
R
заряжен равномерно с объемной плотностью
ρ
. Найти величину напряженно-
сти электрического поля
E
во всех точках пространства а) по теореме Гаусса;
б) непосредственно решая уравнение Пуассона.
Ответ:
E
(
r
) =
(
2
πρr,
для
r
6
R
,
2
πρR
2
/r,
для
r > R,
r
−
расстояние до оси цилиндра
.
33
2.8.
Заряд распределен в пространстве по периодическому закону
ρ
(
x, y, z
) =
=
ρ
0
cos
αx
cos
βy
cos
γz
. Вычислить потенциал
ϕ
электрического поля.
2.9.
Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный ими
потенциал имел в сферических координатах вид:
ϕ
(
r
) =
e
0
a
³
a
r
+ 1
´
exp
µ
−
2
r
a
¶
,
где
e
0
, a
— постоянные?
Ответ:
Точечный заряд
e
0
в начале координат, окруженный объемным
зарядом с плотностью
ρ
(
r
) =
−
e
0
πa
3
e
−
2
r
a
.
2.10.
Заряд распределен сферически симметричным образом:
ρ
=
ρ
(
r
)
.
Записать
ϕ
и
E
в виде однократных интегралов по
r
0
, разбив распределение
зарядов на сферические слои.
Ответ:
ϕ
(
r
) =
4
π
r
r
Z
0
ρ
(
r
0
)
r
0
2
dr
0
+ 4
π
∞
Z
r
ρ
(
r
0
)
r
0
dr
0
;
E
(
r
) =
4
π
r
r
3
r
Z
0
ρ
(
r
0
)
r
0
2
dr
0
.
2.11.
Основываясь на результате предыдущей задачи, найти потенциал и
напряженность поля равномерно заряженного шара.
2.12.
Выразить потенциал
ϕ
равномерно заряженного тонкого кольца с
зарядом
q
и радиусом
R
через однократный интеграл.
Указание:
провести
плоскость
xz
через точку наблюдения.
Ответ:
ϕ
(
r, θ
) =
q
π
π
Z
0
dα
0
√
r
2
+
R
2
−
2
rR
sin
θ
cos
α
0
.
2.13.
Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре
окружности радиуса
a
, частью которой является дуга, равномерно заряжен-
ная с линейной плотностью
τ
. Центральный угол дуги
γ
.
Ответ:
ϕ
=
τ γ
;
E
=
2
τ
a
sin
γ
2
.
2.14.
Шар радиуса
R
заряжен с объемной плотностью
ρ
=
ρ
0
cos
θ
. Найти
скалярный потенциал в произвольной точке пространства.
34
Ответ:
ϕ
(
r
) =
πρ
0
r
µ
4
3
R
−
r
¶
cos
θ
при
r
6
R
,
πρ
0
R
4
3
cos
θ
r
2
при
r > R.
2.15.
Найти дипольный момент тонкого стержня длины
2
l
, линейная плот-
ность заряда на котором изменяется по закону
τ
=
kx
(
k
— константа, начало
координат помещается в центр стержня).
Ответ:
d
=
2
3
kl
3
i
.
2.16.
Сфера радиуса
R
с центром в начале координат заряжена с поверх-
ностной плотностью
σ
=
κ
z
, где
κ
— константа,
z
— координата соответству-
ющей точки сферы. Найти дипольный момент
d
сферы.
Ответ:
d
=
4
π
3
κ
R
4
k
.
2.17.
В бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью
σ
, вырезано отверстие площади
S
. Найти напряженность поля на больших
расстояниях от отверстия, учитывая члены
∼
1
/r
2
включительно.
2.18.
Окружность состоит из двух равномерно заряженных полуокружно-
стей зарядами одинаковой величины и противоположного знака. Определить
компоненты вектора дипольного момента и тензора квадрупольного момен-
та.
2.19.
Заряды
q
,
−
2
q
,
q
расположены на оси
z
в точках с координатами
−
a
,
0
,
a
соответственно (линейный квадруполь). Найти потенциал
ϕ
на большом
расстоянии от системы.
Ответ:
ϕ
≈
2
qa
2
r
3
P
2
(cos
θ
);
P
2
(
x
) =
1
2
(3
x
2
−
1)
.
2.20.
Вычислить собственную электрическую энергию
U
заряженного ша-
ра радиуса
R
, если заряд
Q
равномерно распределен по объему шара.
Ответ:
U
=
3
Q
2
5
R
.
2.21.
Диполь с моментом
d
1
расположен в начале координат, другой ди-
поль с моментом
d
2
находится в точке с радиус-вектором
r
. Найти энергию
взаимодействия диполей.
Ответ:
U
=
d
1
d
2
r
3
−
3(
d
1
r
)(
d
2
r
)
r
5
.
35