ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3540
Скачиваний: 14
§
11
.
Разложение многочлена на множители
67
Таким образом, последовательность
(
z
n
)
ограничена. Поэтому из нее
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
(
z
n
k
)
(см.
§
8)и пусть
z
0
= lim
k
→∞
z
n
k
.
Из непрерывности многочлена
f
получаем (см. упражнение 2
из
§
8)
||
f
(
z
0
)
| − |
f
(
z
n
k
)
|| ≤ |
f
(
z
0
)
−
f
(
z
n
k
)
| →
0
при
k
→ ∞
.
Следовательно,
|
f
(
z
0
)
|
=
α.
Если
α >
0
,
то из леммы 1 следует
существование такого числа
z
1
∈
C
, что
|
f
(
z
1
)
|
<
|
f
(
z
0
)
|
=
α.
Это про-
тиворечит предположению, что
α
– точная нижняя грань значений модуля
многочлена
f
. Таким образом,
α
= 0
и поэтому
f
(
z
0
) = 0
,
т.е.
z
0
– корень
многочлена
f
. Теорема доказана.
Упражнения к § 10
1. Докажите, что если
f
∈ P
(
C
)
– многочлен степени
≥
1
,
то для любого
z
0
∈
C
существует
h
∈
C
такое, что
|
f
(
z
0
+
h
)
|
>
|
f
(
z
0
)
|
.
2. Докажите, что все корни многочлена
f
(
z
) =
a
0
+
a
1
z
+
· · ·
+
a
n
z
n
удо-
влетворяют условиям
1 + max
k>
0
|
a
k
a
0
|
−
1
≤ |
z
| ≤
1 + max
k>n
|
a
k
a
n
|
(указание: используйте доказательство леммы 2).
§
11. Разложение многочлена на множители и
некоторые смежные вопросы
Рассмотрим произвольный многочлен степени
n
≥
1
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
−
1
z
+
a
n
из алгебры
P
=
P
(
C
)
. Пусть
z
0
– некоторое комплексное число. Разделив
многочлен
f
на многочлен
g
(
z
) =
z
−
z
0
получим равенство
f
(
z
) = (
z
−
z
0
)
q
(
z
) +
r
(
z
)
.
Поскольку
degrr < degrg,
то
r
(
z
) =
r
0
∈
C
∀
z
∈
C
– постоянный многочлен,
т.е. имеем
f
(
z
) = (
z
−
z
0
)
q
(
z
) +
r
0
.
При
z
=
z
0
из этого равенства получаем, что
r
0
=
f
(
z
0
)
и
f
(
z
) =
f
(
z
0
) + (
z
−
z
0
)
q
(
z
)
.
(1)
68
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Таким образом, из равенства (1) следует
Т е о р е м а 1.
Число
z
0
∈
C
является корнем многочлена
f
тогда и
только тогда, когда многочлен
f
делится на многочлен
g
(
z
) =
z
−
z
0
.
Пусть теперь
z
1
– некоторый корень многочлена
f
, существующий в
силу основной теоремы высшей алгебры. Из теоремы 1 следует существование
многочлена
ϕ
1
такого, что
f
(
z
) = (
z
−
z
1
)
ϕ
1
(
z
)
, z
∈
C
.
Если
n >
1
,
то
degr ϕ
1
≥
1
и поэтому он имеет некоторый корень
z
2
∈
C
.
Следовательно, многочлен
ϕ
1
представим в виде
ϕ
1
(
z
) = (
z
−
z
2
)
ϕ
2
(
z
)
и
поэтому
f
(
z
) = (
z
−
z
1
)(
z
−
z
2
)
ϕ
2
(
z
)
.
Продолжая этот процесс (используя метод математической индукции), в ито-
ге получим представление
f
(
z
) =
a
0
(
z
−
z
1
)(
z
−
z
2
)
. . .
(
z
−
z
n
)
,
(2)
где
z
1
, z
2
. . . , z
n
– корни многочлена
f
(возможно, некоторые из них совпа-
дают между собой).
Определение 1.
Представление многочлена
f
в виде формулы (2) на-
зывается
разложением многочлена
f
на линейные множители.
Группируя равные между собой корни, из (2) получим представление
многочлена
f
в виде
f
(
z
) =
a
0
(
z
−
z
1
)
k
1
(
z
−
z
2
)
k
2
. . .
(
z
−
z
m
)
k
m
,
(3)
где
z
1
, z
2
. . . , z
m
– разные корни многочлена
f
и
k
1
+
· · ·
+
k
m
=
n.
Определение 2.
Число
k
j
называется
кратностью
корня
z
j
многочле-
на
f
.
Итогом проведенных рассуждений является следующая
Т е о р е м а 2.
Каждый многочлен
f
∈ P
(
C
)
степени
n
≥
1
имеет
n
корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность, и
имеет место разложение многочлена
f
на линейные множители вида (3).
Отметим, что ненулевые многочлены степени нуль не имеют корней и
только нулевой многочлен имеет корнем любое число из
C
.
Следствие 1.
Если два многочлена
f
1
и
f
2
степени, не превосходящей
числа
n
, совпадают в
n
+ 1
–ой точке из
C
, то они равны.
Для доказательства достаточно заметить, что многочлен
f
1
−
f
2
имеет
по крайней мере
n
+ 1
корень и его степень не превосходит числа
n
. Следо-
вательно,
f
=
f
1
−
f
2
– нулевой многочлен.
§
11
.
Разложение многочлена на множители
69
Замечание 1.
Из следствия 1 теоремы 2 получаем, что любой многочлен
степени не выше
n
вполне определяется его значениями в
n
+ 1
различных
точках.
Это замечание позволяет заключить, что каждый многочлен степени не
выше
n
однозначно определяется, если заданы его значения
a
1
, a
2
, . . . , a
n
+1
в
n
+ 1
точке
z
1
, z
2
, . . . , z
n
+1
соответственно. Такой многочлен будет задаваться
формулой
f
(
z
) =
n
+1
X
k
=1
a
k
ϕ
k
(
z
)
, ϕ
k
(
z
) =
n
+1
Y
j
=1
, j
6
=
k
(
z
−
z
j
)
(
z
k
−
z
j
)
,
(4)
которая называется
интерполяционой формулой Лагранжа
.
Такое название связано с тем, что формула (4) позволяет, имея значения
многочлена в
n
+ 1
точках, вычислить его значения в любой точке из
C
.
Укажем еще один способ применения разложения многочлена на множи-
тели.
Рассмотрим многочлен
f
вида
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
, a
0
6
= 0
,
имеющий корни
z
1
, . . . , z
n
. Тогда формула (2) разложения многочлена на
множители приобретает вид
f
(
z
) =
a
0
(
z
−
z
1
)(
z
−
z
2
)
. . .
(
z
−
z
n
)
.
(1)
Перемножая двучлены из правой части этой формулы, приводя подобные
члены, стоящие перед
z
k
, k
= 0
,
1
, . . . , n,
и приравнивая их (на основании
следствия 2 теоремы 2) числам
a
k
соответственно, получим следующие фор-
мулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни:
a
1
a
0
=
−
(
z
1
+
z
2
+
· · ·
+
z
n
)
,
a
2
a
0
=
z
1
z
2
+
z
1
z
3
+
· · ·
+
z
1
z
n
+
z
2
z
3
+
· · ·
+
z
2
z
n
+
· · ·
+
z
n
−
1
z
n
,
a
3
a
0
=
−
(
z
1
z
2
z
3
+
z
1
z
2
z
4
+
· · ·
+
z
n
−
2
z
n
−
1
z
n
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
−
1
a
0
= (
−
1)
n
−
1
(
z
1
z
2
. . . z
n
−
1
+
z
1
z
2
. . . z
n
−
2
z
n
+
· · ·
+
z
2
z
3
. . . z
n
)
,
a
n
a
0
= (
−
1)
n
z
1
z
2
. . . z
n
.
70
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Таким образом, число
a
k
/a
0
есть сумма всевозможных произведений,
составленных из
k
корней, умноженное на число
(
−
1)
k
.
Определение 3.
Приведенные формулы называются
формулами Вие-
та
.
Формулы Виета удобны для восстановления многочлена по заданным его
корням.
Пусть теперь
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
· · ·
+
a
n
– многочлен из
P
(
C
)
с веще-
ственными коэффициентами
a
0
, a
1
, . . . , a
n
. Из свойств операции комплексно-
го сопряжения следует, что имеют место равенства
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
=
f
(
z
)
.
Из них следует, что если
z
0
– корень многочлена
f
, то число
z
0
также явля-
ется его корнем.
Поскольку произведение
(
z
−
z
0
)(
z
−
z
0
)
представимо в виде
z
2
−
2(
Rez
0
)
z
+
|
z
0
|
2
,
(5)
т.е. является многочленом с действительными коэффициентами, то из разло-
жения (2) получаем, что имеет место
Т е о р е м а 3.
Каждый многочлен
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произ-
ведения числа
a
0
и многочленов с действительными коэффициентами вида
f
i
(
z
) =
z
−
α
i
, i
= 1
, . . . , m,
где
α
i
∈
R
,
и многочленов вида (5). Если
n
нечетно , то многочлен
f
имеет по крайней мере один вещественный корень.
Приведем один результат о кратных корнях многочленов.
Т е о р е м а 4.
Корень
α
многочлена
f
имеет кратность
k
тогда
и только тогда, когда
α
– корень кратности
k
−
1
его производной
f
0
(в
частности, если
k
= 1
,
то
α
не является корнем для
f
0
)
.
Доказательство.
Из разложения многочлена
f
на линейные множите-
ли следует, что многочлен
f
представим в виде
f
(
z
) = (
z
−
α
)
k
g
(
z
)
,
где многочлен
g
не делится на многочлен
ϕ
(
z
) =
z
−
α
(т.е.
α
не является
корнем многочлена
g
) тогда и только тогда, когда
α
– корень для
f
кратно-
сти
k
. Дифференцируя это равенство, получим равенство
f
0
(
z
) =
k
(
z
−
α
)
k
−
1
g
(
z
) + (
z
−
α
)
k
g
0
(
z
)
.
(6)
Если
α
– корень кратности
k
многочлена
f
, то из этого равенства следует,
что
f
0
делится на
(
z
−
α
)
k
−
1
, но не делится на
(
z
−
α
)
k
,
так как в противном
§
11
.
Разложение многочлена на множители
71
случае на
z
−
α
делился бы многочлен
g
. Таким образом, кратность корня
α
для многочлена
f
0
равна
k
−
1
.
Обратно, если
α
– корень кратности
k
−
1
для
производной
f
0
многочлена, то из того же равенства (6) следует, что
g
(
α
)
6
= 0
и поэтому
k
– кратность корня
α
для
f
. Теорема доказана.
Замечание 2.
Непосредственно из теоремы 4 следует, что для нахожде-
ния многочлена
g
, имеющего те же корни, что и
f
, но являющиеся простыми
корнями, следует при помощи алгоритма Евклида найти наибольший общий
делитель многочленов
f
и
f
0
и затем разделить на него многочлен
f
.
Укажем на один метод, называемый
методом Горнера
, деления много-
члена
f
на линейный двучлен
g
(
z
) =
z
−
c.
Пусть
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
, a
0
6
= 0
и пусть
f
(
z
) = (
z
−
c
)
q
(
z
) +
r,
(7)
где
r
∈
C
и частное
q
имеет вид
q
(
z
) =
b
0
z
n
−
1
+
b
1
z
n
−
2
+
· · ·
+
b
n
−
1
, b
0
6
= 0
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
z
в (7) и используя след-
ствие 2 теоремы 2, получаем следующие равенства
a
0
=
b
0
,
a
1
=
b
1
−
cb
0
,
a
2
=
b
2
−
cb
1
,
· · ·
a
n
−
1
=
b
n
−
1
−
cb
n
−
2
,
a
n
=
r
−
cb
n
−
1
.
Отсюда получаем, что
b
0
=
a
0
, b
1
=
a
1
+
cb
0
, b
2
=
a
2
+
cb
1
, . . . , b
n
−
1
=
a
n
−
1
+
cb
n
−
2
, r
=
a
n
+
cb
n
−
1
.
Таким образом, метод Горнера дает простой способ
определения коэффициентов частного
q
при делении многочлена
f
на ли-
нейный двучлен
g
(
z
) =
z
−
c.
Отметим еще, что из равенства (7) следует, что
r
=
f
(
c
)
и поэтому
f
(
c
) =
a
n
+
cb
n
−
1
.
Тем самым получаем простой и быстрый способ определе-
ния значения многочлена
f
в точке
c
.
Применим полученный только что результат к вопросу поиска корней
многочленов с рациональными коэффициентами. Причем, имея в виду воз-
можность умножения обеих частей рассматриваемых уравнений на подходя-
щее целое число, без ограничения общности можно рассматривать уравнения
с целыми коэффициентами.
Т е о р е м а 5.
Если целое число
α
является корнем многочлена
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
с целыми коэффициентами, то
α
будет дели-
телем числа
a
n
.