ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3459
Скачиваний: 14
§
8
.
Поле комплексных чисел
57
Поскольку функция
f
0
(
z
) =
z
дифференцируема и
f
0
0
(
z
) = 1
∀
z
∈
C
,
то
из теоремы 2 следует дифференцируемость многочлена
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
−
1
z
+
a
n
,
причем
f
0
(
z
) =
na
0
z
n
−
1
+ (
n
−
1)
a
1
z
n
−
2
+
· · ·
+
a
n
−
1
.
Упражнения к § 8
1. Докажите, что для любых комплексных чисел
z
i
=
a
i
+
ib
i
, i
= 1
,
2
имеют
место следующие равенства а)
zz
=
a
2
+
b
2
=
|
z
|
2
;
б)
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
в)
1
/z
= 1
/z, z
6
= 0;
г)
|
z
1
z
2
|
=
|
z
1
||
z
2
|
;
д)
z
1
/z
2
=
z
1
z
2
/
|
z
2
|
2
, z
2
6
= 0
.
2. Докажите неравенства (используя представление комплексных чисел
точками плоскости)
|
z
1
+
z
2
| ≤ |
z
1
|
+
|
z
2
|
,
||
z
1
| − |
z
2
|| ≤ |
z
1
−
z
2
|
, z
1
, z
2
∈
C
.
3. Найдите все корни из единицы степени: а) 2, б) 3, в) 4, г) 5.
4. Докажите, что множество
T
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
= 1
}
образует абелеву группу
(по умножению) комплексных чисел.
5. Докажите, что корни
n
– ой степени из единицы образуют абелеву груп-
пу (по умножению). Установите. что она изоморфна подгруппе
{
e, ϕ, . . . , ϕ
n
−
1
}
из
S
n
, где
ϕ
=
1 2
. . . n
−
1
n
2 3
. . .
n
1
.
6. Докажите, что отображение
f
:
R
→
T
, f
(
t
) =
e
it
есть гомоморфизм
групп
R
и
T
.
7. Пусть
z
– такое комплексное число, что
|
z
|
= 1
.
Вычислите
|
1 +
z
|
2
+
|
1
−
z
|
2
.
8. Вычислите
a
) (1 + 2
i
)
6
;
b
) (2 +
i
)
7
+ (2
−
i
)
7
;
c
) (1 + 2
i
)
5
−
(1
−
2
i
)
5
.
9. Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел
есть мнимое число.
10. Выполните указанные действия:
a
)
1 +
i tg α
1
−
i tg α
;
b
)
a
+
i b
a
−
i b
;
c
)
(1 + 2
i
)
2
−
(2
−
i
)
3
(1
−
i
)
3
+ (2
−
i
)
2
;
d
)
(1
−
i
)
5
−
1
(1 +
i
)
5
+ 1
.
58
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
11. Представьте в тригонометрической форме число
1 + cos
ϕ
+
i
sin
ϕ,
считая
−
π < ϕ
≤
π.
12. Опишите множество точек плоскости, изображающих числа
z,
удовле-
творяющие неравенствам:
a
)
|
z
|
<
2;
b
)
|
z
−
i
| ≤
1;
c
)
|
z
−
1
−
i
| ≤
1
.
13. Докажите, что всякое комплексное число
z
, отличное от -1, модуль ко-
торого равен 1, может быть представлено в виде
z
=
1 +
it
1
−
it
,
t
∈
R
.
14. Докажите, что
(1 +
i
)
n
= 2
n/
2
cos
πn
4
+
i
sin
πn
4
, n
∈
Z
.
15. Вычислите
(1 + cos
α
+
i
sin
α
)
n
.
16. Извлеките корни
a
)
3
√
i
;
b
)
3
√
2
−
2
i
;
c
)
4
√
−
3;
d
)
7
√
1;
g
)
6
√
−
27
.
17. Вычислите
a
)
6
s
1
−
i
√
3 +
i
;
b
)
8
s
1 +
i
√
3
−
i
;
c
)
6
s
1
−
i
1 +
i
√
3
.
18. Составьте формулы, выражающие
cos
nx
и
sin
nx
через
cos
x
и
sin
x
(указание: используйте формулу
(cos
x
+
i
sin
x
)
n
= cos
n x
+
i
sin
n x.
19. Докажите, что
u
(
x
) = sin
x
+ sin 2
x
+
· · ·
+ sin
n x
=
sin
n
−
1
2
x
sin
nx
2
sin
x
2
.
(указание: рассмотрите сумму
s
(
x
) = cos
x
+ cos 2
x
+
· · ·
+ cos
nx,
число
z
= cos
x
2
+
i
sin
x
2
и
s
(
x
) +
i u
(
x
))
.
20. Вычислите сумму
1
/
2 + cos
x
+ cos 2
x
+
· · ·
+ cos
n x.
21. Докажите, что сумма корней
n
-степени из единицы равна нулю.
§
9
.
Алгебра многочленов
59
22. Найдите (с точностью до изоморфизма) фактор-группу
G/S,
где
S
–
подгруппа из группы
G
, если
а)
G
=
C
(группа по сложению комплексных чисел) и
S
=
R
;
б)
G
=
C
\ {
0
}
– группа ненулевых комплексных чисел и
S
=
R
+
(с
операцией умножения чисел).
23. Докажите, что следующие группы изоморфны
а) группа
C
комплексных чисел (по сложению) и группа параллель-
ных переносов плоскости (с операцией суперпозиции);
б) группа
T
и группа поворотов плоскости относительно фиксирован-
ной точки (с операцией суперпозиции);
в) группа
C
\ {
0
}
ненулевых комплексных чисел (с операцией умноже-
ния чисел) и группа преобразований плоскости, задаваемых формулами:
˜
x
=
ax
−
by,
˜
y
=
bx
+
ay, a
2
+
b
2
>
0
(с операцией суперпозиции).
§
9. Алгебра многочленов
Пусть поле
K
=
R
или
K
=
C
.
Символом
P
=
P
(
K
)
обозначим множе-
ство многочленов (полиномов), т.е. функций вида
f
(
z
) =
a
0
+
a
1
z
+
· · ·
+
a
n
z
n
, z
∈
K,
где
a
0
, a
1
, . . . , a
n
∈
K
и
a
n
6
= 0
(далее нами используется и другая запись
многочлена
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
z
)
.
Непосредственно из определения многочлена
f
следует, что
lim
|
z
|→∞
|
f
(
z
)
−
a
0
z
n
|
|
z
|
n
= 0
. Отсюда следует, что если многочлен
f
имеет еще одно
представление вида
f
(
z
) =
b
0
+
b
1
z
+
· · ·
+
b
m
z
m
,
то
m
=
n
и
b
k
=
a
k
,
k
= 0
,
1
, . . . , n
(т.е. имеет место единственность представления; см. упражне-
ние 1).
Число
n
≥
0
называется
степенью многочлена
f
и обозначается симво-
лом
degr f,
а числа
a
0
, a
1
, . . . , a
n
–
коэффициентами многочлена
. Множество
многочленов
P
является кольцом. Два соответствующих внутренних закона
композиции (операции сложения и умножения) задаются с помощью следу-
ющих равенств
(
f
+
g
)(
z
) =
f
(
z
) +
g
(
z
)
, z
∈
K,
(1)
(
f g
)(
z
) =
f
(
z
)
g
(
z
)
, z
∈
K,
(2)
60
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Нулевым элементом кольца
P
служит
нулевой многочлен
:
p
0
(
z
) = 0
∀
z
∈
K.
Этот многочлен является единственным многочленом, не имеющим
определенной степени. Единицей кольца
P
служит многочлен
e
(
z
) = 1
∀
z
∈
K
(степень такого многочлена равна нулю).
Отметим, что если
f
(
z
) =
a
0
+
a
1
z
+
· · ·
+
a
n
z
n
, g
(
z
) =
b
0
+
· · ·
+
b
m
z
m
, degrf
=
n, degrg
=
m
(пусть для определенности
n
≥
m
)
,
то много-
члены
f
+
g
и
f g
имеют соответственно вид
(
f
+
g
)(
z
) =
c
0
+
c
1
z
+
· · ·
+
c
n
z
n
,
(3)
(
f g
)(
z
) =
f
(
z
)
g
(
z
) =
d
0
+
d
1
+
· · ·
+
d
n
+
m
z
n
+
m
,
(4)
где
c
i
=
a
i
+
b
i
, i
= 0
,
1
, . . . , m
и
c
i
=
a
i
для
i
=
m
+ 1
, . . . , n
числа
d
k
,
0
≤
k
≤
m
+
n
определяются равенствами (это простая проверка)
d
k
=
X
i
+
j
=
k
a
i
b
j
=
a
0
b
k
+
a
1
b
k
−
1
+
· · ·
+
a
k
b
0
.
В частности,
d
n
+
m
=
a
n
b
m
и
d
0
=
a
0
b
0
.
Из формул (3) и (4) следует, что имеет место
Лемма 1.
degr
(
f
+
g
)
≤
max
{
degr f, degr g
}
, degr
(
f g
) =
degr f
+
degr g, f, g
∈ P
(
K
)
.
Из формулы (4) вытекает, что
P
– коммутативное кольцо.
Для любого числа
α
∈
K
и произвольного многочлена
f
∈ P
(
K
)
поло-
жим
(
αf
)(
z
) =
αf
(
z
)
,
т.е. определим внешний закон композиции (операцию
умножения многочленов на элементы поля
K
). Таким образом,
P
=
P
(
K
)
является алгеброй (проверка аксиом предоставляется читателю).
Из леммы 1 следует, что произведение ненулевых многочленов есть нену-
левой многочлен.
Лемма 2.
Каждый многочлен положительной степени не является об-
ратимым элементом алгебры
P
.
Доказательство.
Пусть
f
– многочлен степени
k
≥
1
.
Допустим, что
он обратим и
g
=
f
−
1
– обратный для него многочлен. Тогда
f
(
z
)
g
(
z
) = 1
∀
z
∈
K
и поэтому,
degr
(
f g
) =
degr f
+
degr g,
=
degr
1 = 0
.
Поскольку
degr
(
f g
)
≥
degr
(
f
)
≥
1
,
то получено противоречие. Лемма доказана.
Ясно, что обратимыми элементами алгебры
P
являются многочлены ви-
да
f
0
(
z
) =
a
0
6
= 0
∀
z
∈
K,
причем
f
−
1
0
(
z
) = 1
/a
0
, z
∈
K.
Из леммы 2 следует, что кольцо многочленов по своим свойствам напо-
минает кольцо целых чисел
Z
,
в котором всякое отличное от 1 и -1 число не
имеет обратного. Так же, как и для целых чисел, для многочленов существу-
ет алгоритм деления многочленов с остатком, называемый (как и для целых
чисел)
алгоритмом Евклида
.
§
9
.
Алгебра многочленов
61
Т е о р е м а 1.
Для любых двух многочленов
f
и
g
из алгебры
P
(
K
)
существуют единственные многочлены
q
и
r
такие, что
degr r < degr g
и
f
=
qg
+
r.
(5)
Многочлен
q
называется
частным
от деления
f
на
g
, а многочлен
r
–
остатком.
Если
r
= 0
в равенстве (5), то будем говорить, что
многочлен
f
делится на многочлен
g
. В этом случае многочлен
g
называется
делителем
многочлена
f
.
Доказательство.
Пусть
f
(
z
) =
a
0
z
n
+
a, z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
, g
(
z
) =
b
0
z
m
+
+
b
1
z
m
−
1
+
· · ·
+
b
m
,
где
a
0
6
= 0
и
b
0
6
= 0
.
Если
n < m,
то можно положить
q
= 0
и
r
=
f
(в этом случае утверждение теоремы доказано).
Если
n
≥
m,
то используем известный из арифметики алгоритм Ев-
клида деления натуральных чисел. Процесс построения многочленов
q
и
r
осуществим в несколько этапов.
Э т а п 1. Построим многочлен
r
1
степени
< n
и многочлен
q
1
такие,
чтобы имело место равенство
f
=
gq
1
+
r
1
.
(6)
Для этого положим
q
1
(
z
) =
a
0
b
0
z
n
−
m
, z
∈
K.
Тогда многочлен
r
1
=
f
−
gq
1
имеет степень меньшую
n
, так как коэффициент при
z
n
в этом многочлене
равен нулю. Итак, равенство (6) получено. Если
degrr
1
< m,
то тем самым
доказано равенство (5). В противном случае рассматривается
Э т а п 2. Применим прием из этапа 1 к многочлену
r
1
(вместо функции
f
). Тогда получим равенство
r
1
=
gq
2
+
r
2
,
(7)
где
degrr
2
< degrg.
Если
degrr
2
< m,
то, подставляя выражение (7) для
r
1
в равенство (6), получим представление
f
=
g
(
q
1
+
q
2
) +
r
2
,
которое удовлетворяет условиям теоремы
(
r
=
r
2
, q
=
q
1
+
q
2
)
.
Если же
degr r
2
≥
m,
то продолжим наши построения и, в конце концов,
после проведения
k
этапов получим многочлен
r
k
степени, меньшей
m,
и
представление вида (5), где
q
=
q
1
+
q
2
+
· · ·
+
g
k
и
r
=
r
k
.
Докажем единственность представления (5). Допустим. что есть еще од-
но представление
f
=
g
˜
q
+ ˜
r,
(8)