ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3443
Скачиваний: 14
§
3
.
Отображения множеств и классификация отображений
17
общее кратное этого числа и числа 4. Это отображение полностью описыва-
ется следующей стрелочной схемой
Рис. 4
Стрелочные схемы (графы преобразований) для отображений множества в
себя можно строить несколько по-иному.
Пример 7.
Пусть
A
=
{
a
1
, . . . a
n
}
– конечное множество и
ϕ
:
A
→
A
– отображение. Обозначим каждый элемент множества
A
точкой на плоско-
сти так, чтобы разным элементам отвечали различные точки, при этом для
этих точек плоскости сохраним обозначения соответствующих элементов из
A.
Две точки соединим стрелкой от
a
к
b
тогда и только тогда, когда вы-
полнено условие
ϕ
(
a
) =
b
. Так получим граф отображения
ϕ
:
A
→
A
. Ясно,
что он однозначно определяет преобразование
ϕ
.
В частности, если
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
и отображение
ϕ
:
A
→
A
задано таблицей
ϕ
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 2 5 6 2 8 7 9
,
то получим следующий граф
Рис. 5
18
Глава 1. Элементы теории множеств
Сразу отметим, что разнообразные отображения постоянно будут возникать
при чтении этого курса и мы постараемся отмечать появление наиболее важ-
ных из них.
Определение 2.
Пусть
f
:
X
→
Y
– отображение и
A
– подмножество
из
X
. Множество
f
(
A
) =
{
y
∈
Y
:
y
=
f
(
x
)
, x
∈
A
}
называется
образом
множества
A
при отображении
f
(см. рис.6)
Рис. 6
Ясно, что
f
(
∅
) =
∅
.
Для функции
f
:
R
→
R
, f
(
x
) =
x
2
образом множеств
A
1
= [
−
1
,
1]
и
A
2
= [0
,
1]
служит одно и то же множество [0,1] (таким обра-
зом,
f
(
A
1
) =
f
(
A
2
) =
A
2
)
.
Определение 3.
Пусть
f
:
X
→
Y
– отображение и
B
– подмножество
из
Y
. Множество
f
−
1
(
B
) =
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
называется
прообразом
множества
B
при отображении
f
.
Для функции
f
:
R
→
R
, f
(
x
) =
x
2
прообразом отрезка
B
= [0
,
1]
служит отрезок
[
−
1
,
1]
.
В следующих трех определениях проводится некоторая (грубая)
клас-
сификация отображений
.
Определение 4.
Отображение
f
:
X
→
Y
называется
взаимно од-
нозначным
или
инъективным
, если из условия
f
(
x
1
) =
f
(
x
2
)
следует, что
x
1
=
x
2
, то есть разные элементы из
X
переводятся отображением
f
в раз-
ные элементы из
Y
.
Например, отображение
f
0
:
R
→
R
, f
0
(
x
) =
x
3
инъективно, но отобра-
жение
g
:
R
→
R, g
(
x
) =
x
2
не инъективно, так как
g
(
a
) =
g
(
−
a
)
∀
a
∈
R
.
§
3
.
Отображения множеств и классификация отображений
19
Определение 5.
Отображение
f
:
X
→
Y
называется
сюръективным
(или отображением
на
), если
f
(
X
) =
Y
, то есть для любого элемента
y
∈
Y
существует хотя бы один элемент
x
из
X
такой, что
f
(
x
) =
y.
Рассмотренное (перед определением 5) отображение
f
0
сюръективно, а
отображение
g
таким не является (так как
g
(
R
) = [0
,
∞
))
.
Определение 6.
Отображение
f
:
X
→
Y
называется
взаимно одно-
значным отображением на
или
биективным
, если оно инъективно и сюръ-
ективно одновременно.
Таким образом, отображение
f
биективно, а отображение
g
нет.
Биективным
отображением
является
тождественное
отображение
I
X
:
X
→
X
(
X
– произвольное множество).
Определение 7.
Пусть
f
:
X
→
Y
– биективное отображение. Тогда
для любого элемента
y
∈
Y
существует хотя бы один элемент
x
∈
X
такой,
что
f
(
x
) =
y
(используется сюръективность отображения
f
) и такой элемент
x
единствен (это следует из инъективности
f
). Итак, каждому элементу
y
из
Y
поставлен в соответствие единственный элемент
x
∈
X
. Полученное отоб-
ражение
f
−
1
:
Y
→
X
называется
обратным
к отображению
f
(см. рис.7).
Рис. 7
Обратным к отображению
f
0
:
R
→
R
, f
0
(
x
) =
x
3
является отображе-
ние
f
−
1
0
(
x
) =
3
√
x
. Ясно, что
I
−
1
X
=
I
X
для любого множества
X
. Функции
f, g
:
R
→
R, f
(
x
) =
x
2
, g
(
x
) =
sin x
не биективны. Однако, если изме-
нить их область определения и область значений, то они (все-таки, это будут
другие функции!) станут биективными.
Определение 8.
Пусть
ϕ
:
X
→
Y
– отображение и
X
0
, Y
0
– подмно-
жества из
X
и
Y
соответственно, для которых
ϕ
(
X
0
)
⊂
Y
0
(т.е.
ϕ
(
x
0
)
∈
Y
0
∀
x
0
∈
X
0
). Отображение
ϕ
0
:
X
0
→
Y
0
, определенное равенствами
ϕ
0
(
x
0
) =
=
ϕ
(
x
0
)
∀
x
0
∈
X
0
, называется
сужением (ограничением)
отображения
ϕ
на
X
0
.
20
Глава 1. Элементы теории множеств
Вернемся к рассмотрению функций
f
(
x
) =
x
2
и
g
(
x
) = sin
x
. Если поло-
жить
X
0
=
R
+
S
0 =
Y
0
для функции
f
и
X
0
= [
−
π/
2
, π/
2]
, Y
0
= [
−
1
,
1]
для
функции
g
, то сужения
f
0
и
g
0
отображений
f
и
g
на соответствующее под-
множество
X
0
будут биективными отображениями. Обратные к ним имеют
вид
f
−
1
0
(
x
) =
√
x, f
−
1
0
:
R
+
∪
0
→
R
+
∪
0
,
g
−
1
0
(
x
) =
arcsin
(
x
)
, g
−
1
0
: [
−
1
,
1]
→
[
−
π/
2
, π/
2]
.
К понятию обратного отображения можно подойти несколько с другой
стороны, используя определение суперпозиции отображений.
Определение 9.
Пусть
X, Y, Z
– три множества и
f
:
X
→
Y
и
g
:
Y
→
Z
– два отображения.
Суперпозицией
отображений
f
и
g
(или
сложной
функцией) называется отображение (см.рис.8), обозначаемое сим-
волом
g
◦
f
(
g
◦
f
:
X
→
Z
)
и определяемое формулой
(
g
◦
f
)(
x
) =
g
(
f
(
x
))
, x
∈
X.
Обратим особое внимание на запись суперпозиции, которая читается
справа налево, а не слева направо, ибо
(
g
◦
f
)(
x
)
есть
g
(
f
(
x
))
.
Рис. 8
Рассмотрим две функции
f, g
:
R
→
R, f
(
x
) =
x
2
, g
(
x
) =
sin x.
Тогда их
суперпозицией является функция
h
=
g
◦
f
:
R
→
R, h
(
x
) =
sin x
2
.
Важно
заметить, что
(
f
◦
g
)(
x
) =
sin
2
x
и поэтому
f
◦
g
6
=
g
◦
f.
Отметим еще, что если
ϕ
:
X
→
Y
– произвольное отображение, то
ϕ
◦
I
X
=
I
Y
◦
ϕ
=
ϕ.
Определение 10.
Отображение
f
:
X
→
Y
называется
обратимым
,
если существует такое отображение
g
:
Y
→
X
, что имеют место равенства
g
◦
f
=
I
X
,
f
◦
g
=
I
Y
(1)
§
3
.
Отображения множеств и классификация отображений
21
Т е о р е м а 1.
Отображение
f
:
X
→
Y
обратимо тогда и только
тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Необходимость.
Пусть
f
обратимо. Тогда суще-
ствует отображение
g
:
Y
→
X
, для которого имеют место равенства (1).
Если
x
1
, x
2
– два элемента из множества
X
и
f
(
x
1
) =
f
(
x
2
)
,
то из первого
равенства (1) получаем
x
1
= (
g
◦
f
)(
x
1
) =
g
(
f
(
x
1
)) =
g
(
f
(
x
2
)) =
x
2
,
т.е. отображение
f
инъективно.
Для проверки его сюръективности используется второе равенство из (1).
Если
y
– произвольный элемент из
Y
, то имеет место равенство
y
= (
f
◦
g
)(
y
) =
f
(
x
)
, где
x
=
g
(
y
)
, т.е.
f
– сюръективное отображение.
Достаточность.
Если
f
– биективное отображение, то непосредственно
из определения 7 следует, что имеют место равенства
f
−
1
◦
f
=
I
X
,
f
◦
f
−
1
=
I
Y
,
(2)
т.е.
f
– обратимое отображение. Теорема доказана.
Согласно теореме 1, обратимое отображение
f
:
X
→
Y
всегда биектив-
но и поэтому обратное отображение единственно.
Т е о р е м а 2 (об ассоциативности суперпозиции отображений).
Пусть
f
:
X
1
→
X
2
, g
:
X
2
→
X
3
, h
:
X
3
→
X
4
– три отображения.
Тогда имеет место равенство
(
h
◦
g
)
◦
f
=
h
◦
(
g
◦
f
)
.
Доказательство
немедленно следует из равенств
((
h
◦
g
)
◦
f
)(
x
) = (
h
◦
g
)(
f
(
x
)) =
h
(
g
(
f
(
x
))) =
=
h
((
g
◦
f
)(
x
)) = (
h
◦
(
g
◦
f
))(
x
)
, x
∈
X.
Теорема 2 позволяет корректно ввести понятие суперпозиции нескольких
отображений
f, g, h
. Можно, например, положить
h
◦
g
◦
f
=
h
◦
(
g
◦
f
)
и при
этом не заботиться о расстановке скобок.
Определение 11.
Пусть
f
:
X
→
X
– отображение и
n
– натуральное
число. Положим
f
n
=
f
◦
f
◦ · · · ◦
f
|
{z
}
n
раз
. Отображение
f
n
◦
X
→
X
назовем
степенью отображения
f
(
n
– показатель степени).
Например, если
g
(
x
) =
x
2
, g
:
R
→
R,
то
g
2
(
x
) =
x
4
, g
3
(
x
) =
x
6
, . . . .
Ясно, что
I
n
X
=
I
X
∀
n
∈
N
.