ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3451
Скачиваний: 14
27
ГЛАВА 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ; АЛГЕБРА
МНОГОЧЛЕНОВ
В данном разделе рассматриваются множества, над элементами которых
можно производить определенные алгебраические операции. В зависимости
от тех или иных свойств алгебраических операций и числа операций произ-
водится классификация таких множеств (алгебраических структур). Возни-
кают такие алгебраические структуры как группы, кольца, тела, поля. Ти-
пичными примерами являются множества
R
и
Z
,
в которых введены две
алгебраические операции сложения и умножения чисел.
§
5. Алгебраические операции. Группы
Определение 1.
Пусть
S
– непустое множество. Говорят, что на
S
за-
дан
внутренний закон композиции
или
алгебраическая операция
, если задано
отображение
ϕ
:
S
×
S
→
S,
т.е. каждый паре элементов
a, b
из
S
ставится
по некоторому правилу вполне определенный элемент из
S
.
Временно элемент
ϕ
(
x, y
)
обозначим символом
xϕy,
однако сразу от-
метим, что наиболее распространена так называемая мультипликативная за-
пись и терминология. Элементы
x, y
, над которыми совершается алгебраи-
ческое действие, пишутся рядом без какого–либо знака между ними или же
между ними ставятся знаки
·
,
◦
:
ϕ
(
x, y
) =
xy, ϕ
(
x, y
) =
x
·
y, ϕ
(
x, y
) =
x
◦
y.
В этом случае элементы
x
и
y
называются сомножителями (
x
– левый со-
множитель,
y
– правый), а элемент
ϕ
(
x, y
)
– их произведением.
Определение 2.
Элементы
x
и
y
из
S
называются
перестановочными
(коммутирующими)
относительно закона композиции
ϕ
:
S
×
S
→
S
, если
выполнено равенство
xϕy
=
yϕx.
Часто употребляется (особенно в случае, когда каждая пара элементов
из S перестановочна относительно
ϕ
) аддитивная форма записи и термино-
логия. В этом случае элемент
ϕ
(
x, y
)
обозначается символом
x
+
y
, который
называется
суммой
, а
x
и
y
–
слагаемыми
.
Для конкретных множеств названия определенных алгебраических
действий закреплены установленными правилами (сложения, умножения) и
употребляются без особых оговорок (например, для
R
и
Z
)
.
Определение 3.
Закон композиции
ϕ
:
S
×
S
→
S
называется
ассоциа-
тивным
, если для любых трех элементов
a, b, c
из
S
имеет место равенство
aϕ
(
bϕc
) = (
aϕb
)
ϕc
28
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
(
a
(
bc
) = (
ab
)
c
в мультипликативной форме записи или
a
+ (
b
+
c
) = (
a
+
b
) +
c
– в аддитивной).
Рассмотрим несколько примеров внутренних законов композиции (алгеб-
раических операций).
Пример 1.
Пусть
S
=
R
, ϕ
1
(
x, y
) =
xy
(
xy
– обычное произведение
чисел),
ϕ
2
(
x, y
) =
x
+
y
(обычное сложение чисел). Таким образом, на
R
заданы два внутренних ассоциативных закона композиции.
Пример 2.
Отображение
ϕ
:
N
×
N
→
N
, ϕ
(
n, m
) =
n
m
задает внутрен-
ний закон композиции на множестве натуральных чисел
N
.
Однако эта алгеб-
раическая
операция
не
ассоциативна,
поскольку
nϕ
(
mϕk
)
=
=
n
m
k
6
= (
nϕm
)
ϕk
= (
n
m
)
k
=
n
mk
для некоторых
n, m, k
. Например, при
n
= 2
, m
= 2
, k
= 3
.
Пример 3.
Пусть
X
– некоторое множество и
F
(
X
)
– множество всех
отображений множества
X
в
X
. Определим отображение
Φ :
F
(
X
)
× F
(
X
)
→ F
(
X
)
следующим равенством
Φ(
f, g
) =
f
◦
g,
где
f
◦
g
– суперпозиция отображений
f, g
∈ F
(
X
)
.
Таким образом, на
F
(
X
)
задан внутренний закон композиции, который ассоциативен в силу теоремы
2 из
§
3
.
Пример 4.
Пусть
S
- совокупность всех подмножеств данного множе-
ства
X
. Рассмотрим отображения
f, ϕ, ψ
:
S
×
S
→
S
вида
f
(
A, B
) =
A
∆
B,
ϕ
(
A, B
) =
A
T
B, ψ
(
A, B
) =
A
S
B.
Таким образом, на
S
определены три
алгебраические операции. Из свойств 1, 2 и 8 (см. §1) следует, что все три
операции ассоциативны.
Множество вместе с заданными на этом множестве алгебраическими опе-
рациями (их может быть несколько) называют
алгебраической структурой
.
Существует много различных алгебраических операций на данном мно-
жестве, но большинство полезных алгебраических структур (т.е. структур,
которые описывают естественно возникающие явления и пригодны для вы-
числений) можно разбить на небольшое число типов.
Одним из наиболее важных типов алгебраических структур является
группа.
Определение 4.
Множество
G
называется
группой
, если задан закон
композиции
ϕ
:
G
×
G
→
G
(элемент
x ϕ y
=
ϕ
(
x, y
)
далее обозначается
символом
xy
и называется произведением элементов
x
и
y
(т.е. используется
мультипликативная терминология), обладающий свойствами:
§
5
.
Алгебраические операции.Группы
29
1) закон композиции
ϕ
ассоциативен (т.е.
x
(
yz
) = (
xy
)
z
для всех
x, y, z
∈
G
);
2) в
G
есть элемент
e
, называемый
единицей
, со свойствами
xe
=
ex
=
x
∀
x
∈
G
;
3) для всякого элемента
x
∈
G
cуществует элемент
y
∈
G
такой, что
xy
=
yx
=
e
. Элемент
y
называется
обратным
к
x
и обозначается символом
x
−
1
.
Определение 5.
Группа
G
называется
абелевой
(в честь норвежско-
го математика Н.Г.Абеля (1802-1829)), если любые два элемента группы
G
перестановочны относительно введенного закона композиции.
Важно отметить, что именно в абелевой группе наиболее часто вместо
мультипликативной записи и терминологии используется аддитивная форма
записи и терминология. Произведение
xy
элементов
x, y
∈
G
записывают в
виде
x
+
y
. Единица
e
группы обозначается символом
0
и называется
нулевым
элементом. Элемент
x
−
1
, обратный к элементу
x
из
G
, называется
противо-
положным
к
x
и обозначается символом
−
x
(таким образом,
x
+ (
−
x
) = 0
.
)
Рассмотрим примеры групп.
Пример 5.
Группа
R
вещественных чисел с внутренним законом ком-
позиции, определяемым сложением чисел (с аддитивной формой записи ал-
гебраической операции; роль единицы играет число 0, а обратным к каждому
элементу
x
∈
R
служит число -
x
).
Пример 6.
Множество
R
+
всех положительных чисел с законом компо-
зиции, определяемым умножением чисел, является группой. Единицей груп-
пы служит число 1. Обратным к каждому числу
x
∈
R
+
является число
1
/x.
Обе группы
R
и
R
+
абелевы. Отметим, что деление в
R
+
является неас-
социативной алгебраической операцией.
Пример 7.
Двухэлементное множество
G
o
=
{−
1
,
1
}
, состоящее из двух
чисел 1 и -1, является абелевой группой (алгебраическая операция задается
обычным умножением чисел).
Пример 8.
Множество
V
3
свободных векторов пространства является
абелевой группой (относительно обычной операции сложения векторов).
Пример 9.
Множество
R
n
всех упорядоченных наборов
n
веществен-
ных чисел является абелевой группой. Используя аддитивную форму записи,
алгебраическую операцию зададим формулой
x
+
y
= (
x
1
+
y
1
, x
2
+
y
2
, . . . , x
n
+
y
n
)
,
где
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
n
)
∈
R
n
.
Нулевым элементом служит на-
бор чисел
0 = (0
, . . . ,
0)
. Элементом, противоположным к
x
служит элемент
30
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
−
x
= (
−
x
1
, . . . ,
−
x
n
)
.
Пример 8.
Пусть
X
– непустое множество. Через
S
(
X
)
обозначим мно-
жество всех биективных отображений множества
X
в
X
. Таким образом,
S
(
X
)
– подмножество из множества всевозможных отображений
F
(
X
)
, на
котором задан ассоциативный закон композиции, определяемый суперпози-
цией отображений. Поскольку суперпозиция биективных отображений явля-
ется снова биективным отображением (см. теорему 3 из
§
3
), то указанный
закон композиции определен также на
S
(
X
)
, S
(
X
)
– группа относительно
суперпозиции отображений. Роль единицы группы
S
(
X
)
играет тождествен-
ное отображение и обратным к каждому отображению
f
∈
S
(
X
)
служит
обратное отображение
f
−
1
(см. определение 10 и упражнение 13 из
§
3
).
Обратим внимание на то, что группа
S
(
X
)
не является абелевой, если
X
содержит более двух элементов (см. пример 9).
Определение 6.
Пусть
X
– конечное множество. Элементы группы
S
(
X
)
называют
перестановками
множества
X
(таким образом, перестановка
– биективное отображение конечного множества).
Перестановку
ϕ
множества
A
=
{
a
1
, . . . , a
n
}
часто будем записывать в
виде
(
a
k
1
, a
k
2
, . . . a
k
n
)
, где
a
k
1
=
ϕ
(
a
1
)
, a
k
2
=
ϕ
(
a
2
)
, . . . a
k
n
=
ϕ
(
a
n
)
.
Перестановку множества
A
=
{
1
, . . . , n
}
удобно задавать в виде таблицы
(это мы делали и будем делать далее).
1
2
. . .
n
k
1
k
2
. . . k
n
или, короче,
(
k
1
, . . . , k
n
)
,
где
k
1
, . . . , k
n
– различные числа из
A.
Соответствующее отображение
f
:
A
→
A
определяется равенствами
f
(
j
) =
k
j
, j
= 1
, . . . , n
.
Если
X
=
{
1
, . . . , n
}
, то группу перестановок
S
(
X
)
обозначим символом
S
n
; ее называют
симметрической группой
степени
n.
Пример 9.
Группа
S
n
не является абелевой, если
n
≥
3
.
Например, для
перестановок
f
=
1 2 3 4 5
. . . n
3 1 2 4 5
. . . n
,
g
=
1 2 3 4 5
. . . n
3 2 1 4 5
. . . n
получаем
§
5
.
Алгебраические операции.Группы
31
f
◦
g
=
1 2 3 4 5
. . . n
2 1 3 4 5
. . . n
, g
◦
f
=
1 2 3 4 5
. . . n
1 3 2 4 5
. . . n
.
Пример 10.
Двухэлементное множество
{
0
,
1
}
образует абелеву
группу с операцией сложения, определяемой равенствами:
0 + 0 = 0
,
0 + 1 = 1
,
1 + 1 = 0
.
Определение 7.
Подмножество
G
0
из группы
G
называется
подгруп-
пой
, если вместе с каждой парой элементов
x, y
∈
G
0
элементы
x
−
1
, xy
также
принадлежат
G
0
.
Непосредственно из определения следует, что
G
0
является самостоятель-
ной группой. Отметим, что группа из примера 6 является подгруппой группы
R
.
Множества
Z
и
Q
являются подгруппами группы
R
.
Определение 8.
Отображение
f
:
E
→
E
(где
E
– прямая либо плос-
кость, либо пространство) называется
движением
в
E
, если оно биективно,
сохраняет расстояние между точками, т.е. расстояние
dist
(
x, y
)
между двумя
точками
x
и
y
из
E
совпадает с расстоянием
dist
(
f
(
x
)
, f
(
y
))
между точками
f
(
x
)
и
f
(
y
)
. Множество всех движений обозначим символом
S
0
(
E
)
.
Пример 11.
Множество движений
S
0
(
E
)
является подгруппой груп-
пы
S
(
E
)
. Единица
I
X
группы
S
(
E
)
является движением и поэтому принад-
лежит
S
0
(
E
)
. Из определения движения следует, что если
f
и
g
– движения,
то отображения
f
−
1
и
f
◦
g
являются движениями (см.задачу 13).
Всякое преобразование (прямой, плоскости или пространства), которое
является результатом некоторого механического перемещения, является дви-
жением (такие движения называются
движениями первого рода
). Отражение
плоскости относительно прямой является движением, но не является дви-
жением первого рода. Все движения в
E
исчерпываются указанными выше
отображениями.
Определение 9.
Пусть
F
– некоторая фигура в
E
.
Самосовмещением
фигуры
F
в
E
называется движение в
E
, преобразующее фигуру
F
в себя.
Нетрудно показать (см. упражнение 10 к
§
5), что множество всех само-
совмещений фигуры
F
в
E
образует подгруппу группы движений в
E
. Груп-
па самосовмещений фигуры характеризует степень "симметричности"фигу-
ры. Чем больше число элементов группы самосовмещений, тем симметрич-
ней фигура. Так, например, четверка имеет группу самосовмещений, состоя-
щую только из одного элемента (тождественного отображения). Окружность
имеет группу самосовмещений, совпадающую с группой вращений плоскости
вокруг центра этой окружности.
Пример 12.
Рассмотрим
группу
самосовмещений
правильного