ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3448
Скачиваний: 14
282
Глава 3. Линейная алгебра
Определение 4.
Матрица
(
a
ij
)
полярной билинейной формы к квад-
ратичной форме
f
:
H
→
R
называется
матрицей квадратичной фор-
мы
f
.
Из всего изложенного следует
Т е о р е м а 2.
Каждая квадратичная форма
f
:
H
→
R
может быть
единственным образом представлена в виде
f
(
x
) = (
Ax, x
)
, x
∈
H,
где
A
- самосопряженный оператор из
L
(
H
)
или в виде
f
(
x
) =
X
1
≤
j,j
≤
n
a
ij
x
i
x
j
, x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
,
(2)
где
A
= (
a
ij
)
- симметричная матрица квадратичной формы
f
относительно
ортонормированного базиса
e
1
, . . . , e
n
.
Из теоремы 1 следует, что каждая квадратичная форма
f
:
H
→
R
представима в виде
f
(
x
) = (
Ax, x
)
, x
∈
H,
где
A
∈
L
(
H
)
.
Следовательно, форма
f
положительно определена (положи-
тельно полуопределена) тогда и только тогда, когда оператор
A
положитель-
но определен (положительно полуопределен)).
Непосредственно из теоремы 9,
§
37 получаем, что имеет место
Т е о р е м а 3.
Квадратичная форма
f
:
H
→
R
положительно опре-
делена, если положительны определители всех главных миноров её матрицы
относительно некоторого ортонормированного базиса.
Определение 5.
Базис
e
1
, . . . , e
n
в
H
называется
каноническим
для
квадратичной формы
f
:
H
→
R
,
если а этом базисе она имеет вид
f
(
x
) =
n
X
i
=1
λ
i
x
2
i
, x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
, λ
1
, . . . , λ
n
∈
R
.
(3)
В этом случае говорят, что квадратичная форма
приведена к сумме квадра-
тов
. Числа
λ
1
, . . . , λ
n
называются
каноническими коэффициентами
, а базис
§
38. Билинейные и квадратичные формы.
283
e
1
, . . . , e
n
,
при котором квадратичная форма
f
имеет вид (3), называется
каноническим
.
Т е о р е м а 4.
Для каждой квадратичной формы
f
:
H
→
R
в
H
существует канонический базис.
Доказательство.
Пусть
ϕ
:
H
×
H
→
R
- полярная билинейная форма
для
f
. Тогда, согласно теореме 1 и замечанию 3, форма представима в виде
f
(
x
) = (
Ax, x
)
,
где
A
=
A
∗
∈
L
(
H
)
.
Из результатов
§
36 следует существова-
ние ортонормированного базиса
e
1
, . . . , e
n
в
H
, составленного из собственных
векторов оператора
A
, т.е.
Ae
k
=
λ
k
e
k
, k
= 1
, . . . , n.
Поэтому для любого век-
тора
x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
получаем представление квадратичной формы
f
вида (3). Теорема доказана.
Замечание 5.
Пусть
f
:
H
→
R
- квадратичная форма. Используя
обозначения из доказательства теоремы 4, рассмотрим базис
e
0
1
, . . . , e
0
n
в
H
вида
e
0
k
=
(
e
k
,
λ
k
= 0
e
k
√
|
λ
k
|
,
λ
k
6
= 0
, k
= 1
, . . . , n.
Тогда
f
(
x
) =
(
Ax, x
) =
A
n
P
i
=1
x
i
e
0
i
,
n
P
i
=1
x
i
e
0
i
=
n
P
i
=1
λ
i
x
2
i
||
e
0
i
||
2
,
где
x
=
n
P
i
=1
x
i
e
0
i
.
Если необходимо, переставляя элементы базиса
e
0
1
, . . . , e
0
n
,
без
ограничения общности можно считать, что
λ
m
+1
=
· · ·
=
λ
n
= 0
,
где
1
≤
m
≤
n, λ
1
, . . . , λ
p
>
0
, λ
p
+1
, . . . , λ
m
<
0
.
Тогда квадратичная форма
f
будет иметь в базисе
e
0
1
, . . . , e
0
n
вид
f
(
x
) =
x
2
1
+
· · ·
+
x
2
p
−
x
2
p
+1
− · · · −
x
2
m
,
(4)
называемый нормальным видом квадратичной формы
.
Определение 6.
Число
p
положительных канонических коэффициен-
тов в представлении (3) квадратичной формы
f
называется
положительным
индексом
инерции формы
f
, а число отрицательных коэффициентов
−
m
−
p
отрицательным индексом
инерции. Разность этих чисел называется
сигна-
турой
квадратичной формы
f
.
284
Глава 3. Линейная алгебра
Пусть
A
= (
a
ij
)
- матрица квадратичной формы
f
:
H
→
R
относи-
тельно базиса
e
1
, . . . , e
n
,
т.е.
a
ij
=
ϕ
(
e
i
, e
j
)
,
где
ϕ
- полярная к
f
билинейная
форма. Определим матрицу
B
= (
b
ij
)
формы
f
относительно другого базиса
e
0
1
, . . . , e
0
n
.
Пусть
U
= (
u
ij
)
- матрица перехода от старого базиса к новому, т.е.
e
0
i
=
n
P
k
=1
u
ki
e
k
.
Тогда
b
ij
=
ϕ
(
e
0
i
, e
0
j
) =
ϕ
n
X
k
=1
u
ki
e
k
,
n
X
m
=1
u
mj
e
m
!
=
=
X
1
≤
k,m
≤
n
u
ki
u
mj
ϕ
(
e
k
, e
m
) =
X
1
≤
k,m
≤
n
u
ki
u
mj
a
km
=
n
X
k
=1
u
ki
n
X
m
=1
a
km
u
mj
!
,
т.е.
B
=
U
t
AU
=
U
∗
AU
.
Итак, имеет место
Лемма 1.
Матрицы
A
и
B
билинейной формы
f
:
H
×
H
→
R
в базисах
(
e
k
)
и
(
e
0
k
)
связаны соотношением
B
=
U
∗
AU
.
Определение 7.
Матрицы
A
и
B
из
M atr
n
(
K
)
называются
эквива-
лентными
, если существует обратимая матрица
U ∈
M atr
n
(
K
)
такая, что
B
=
U
t
AU
.
Таким образом, в отличие от матриц операторов (которые при переходе к
новому базису переходили в подобные матрицы), матрица билинейной формы
относительно нового базиса становится эквивалентной матрице билинейной
формы в старом базисе.
Определение 8.
Рангом квадратичной формы
называется ранг её мат-
рицы (или, что эквивалентно, число ненулевых собственных значений матри-
цы, или число ненулевых канонических коэффициентов).
Замечание 6.
Поскольку ранг матрицы не меняется при её умножении
(слева или справа) на любую обратимую матрицу, то из леммы 1 следует,
что эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг. Это означает, что ранг
§
38. Билинейные и квадратичные формы.
285
квадратичной формы не зависит от выбора базиса, относительно которого
вычисляется матрица формы.
Замечание 7.
Пусть
f
:
R
n
→
R
- квадратичная форма. Согласно тео-
реме 3, она может быть представлена в виде
f
(
x
) = (
Ax, x
)
или в виде
(3), где
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
R
.
Пусть
U
∈
L
(
R
)
- обратимый оператор и
x
=
U y, y
∈
R
n
.
Тогда
f
(
x
) = (
AU y, x
) = (
U
∗
AU y, y
)
,
т.е. преобразование
переменных в квадратичной форме меняет её матрицу на эквивалентную (в
новых переменных).
Т е о р е м а 5
(закон инерции квадратичных форм). Положительный
и отрицательный индексы квадратичной формы
f
:
H
→
R
не зависят от
выбора базиса в
H
.
Доказательство.
Пусть
e
1
, . . . , e
n
и
e
0
1
, . . . , e
0
n
- базисы в
H,
относи-
тельно которых форма
f
имеет соответственно нормальный вид
f
(
x
) =
x
2
1
+
· · ·
+
x
2
k
−
x
2
k
+1
− · · · −
x
2
m
, x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
,
f
(
x
) =
y
2
1
+
· · ·
+
y
2
p
−
y
2
p
+1
− · · · −
y
2
m
, x
=
y
1
e
0
1
+
· · ·
+
y
n
e
0
n
,
где
m
- ранг квадратичной формы (не зависящий в силу замечания 6 от выбо-
ра базиса в
H
). Ясно, что для доказательства теоремы достаточно убедиться
в том, что
k
=
p.
Допустим для определенности, что
k
≥
p.
Обозначим через
H
k
линейную оболочку векторов
e
1
,
· · ·
, e
k
и через
H
0
p
+1
- линейную оболочку векторов
e
0
p
+1
,
· · ·
, e
0
n
.
Ясно, что
f
(
x
) =
x
2
1
+
· · ·
+
x
2
k
>
0
∀
x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
k
e
k
6
= 0
из
H
k
и
f
(
x
)
≤
0
∀
x
∈
H
0
p
+1
.
Поэтому
H
k
T
H
0
p
+1
=
{
0
}
.
Поскольку
dim H
k
+
dim H
0
p
+1
=
k
+ (
n
−
p
)
≥
n,
то из доказательства достаточности теоремы 1,
§
15 следует (почему ?), что
H
=
H
k
⊕
H
0
p
+1
.
Следовательно, из той же теоремы 1 получаем равенство
dim H
=
dim H
k
+
dim H
0
p
+1
=
k
+
n
−
p
=
n,
и поэтому,
k
=
p.
Теорема
доказана.
Т е о р е м а 6
(об одновременном приведении двух квадратичных
форм к сумме квадратов). Пусть
f, ϕ
:
H
→
R
- две квадратичные формы и
286
Глава 3. Линейная алгебра
форма
f
положительно определена. Тогда в
H
можно указать такой базис
e
1
,
· · ·
, e
k
,
что квадратичные формы
f
и
ϕ
имеют вид
f
(
x
) =
n
X
k
=1
x
2
k
, ϕ
(
x
) =
n
X
k
=1
λ
k
x
2
k
, x
=
x
1
e
1
+
· · ·
+
x
n
e
n
.
(5)
Доказательство.
Согласно теореме 3, формы
f
и
ϕ
могут быть пред-
ставлены в виде
f
(
x
) = (
Bx, x
)
, ϕ
(
x
) = (
Ax, x
)
, x
∈
H,
где
A
=
A
∗
, B
=
B
∗
, B >
0
.
В
H
введем новое скалярное произведение,
положив
[
x, y
] = (
Bx, y
)
, x, y
∈
H.
Используя положительную определенность оператора
B,
легко видеть, что
имеют место все свойства скалярного произведения, что позволяет рассмат-
ривать далее
H
как евклидово пространство относительно нового скалярно-
го произведения. Из теоремы 4 следует, что существует ортонормированный
базис
e
1
,
· · ·
, e
n
(относительно нового скалярного произведения) такой, что
форма
ϕ
будет иметь вид (5). Из равенств
f
(
x
) = [
x, x
] =
n
P
k
=1
[
x, e
k
]
2
=
n
P
k
=1
x
2
k
получаем, что и форма
f
имеет вид (5). Теорема доказана.
Замечание 7.
Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
и квадратичная форма
f
:
R
n
→
R
имеет вид
f
(
x
) =
n
P
i,j
=1
a
ij
x
i
x
j
.
Тогда матрица
1
2
(
A
+
A
t
)
является
матрицей для
f
(докажите это !)
Упражнения к § 38
1. Докажите, что для любой билинейной формы
f
:
H
×
H
→
R
выполня-
ются равенства
f
(0
, y
) =
f
(
x,
0) = 0
∀
x, y
∈
H.
2. Докажите, что билинейные и квадратичные формы образуют линейные
пространства. Найдите их размерность.