ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 834
Скачиваний: 1
Статистические гипотезы и их проверка
Понятие статистической гипотезы
В статистике, как и в жизни, важные утверждения редко удается
доказать окончательно и неоспоримо. Можно только выдвинуть
утверждение, справедливое с некоторой степенью достоверности.
Статистическая гипотеза
- это предположение о виде распределения
или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая
может быть проверена на основании выборочных показателей.
Примеры статистических гипотез:
Генеральная
совокупность
распределена
по
закону
Гаусса
(нормальному закону).
Дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.
Гипотеза «на Марсе есть жизнь» не является статистической,
поскольку в ней не идет речь ни о виде, ни о параметрах распределения.
Вместе с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей
гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место
альтернативная ей гипотеза. Целесообразно их различать.
Основное проверяемое предположение называется
нулевой гипотезой
Н
0
и обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияния
фактора, отсутствие различия значения выборочной характеристики от
заданной величины (например, нуля) и т. п. Так, если ожидается различие
результатов в контрольной и опытной группах, то формулировка нулевой
гипотезы звучит так: значения переменной в контрольной и опытной группах
неотличимы, т.е. являются выборками из одной и той же генеральной
совокупности. Как правило,
Н
0
не является для исследователя
содержательной гипотезой, т. е. предметом и целью доказательства. Другое
проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или
обратное первому) называется
конкурирующей или альтернативной
гипотезой
Н
1
. Обычно профессиональный интерес исследователя сводится
именно к верификации альтернативной гипотезы.
Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного
предположений. Гипотезу, содержащую только одно предположение,
называют
простой,
а гипотезу, которая состоит из конечного или
бесконечного числа простых гипотез -
сложной.
При сравнении двух выборок могут выдвигаться
направленные
и
ненаправленные
гипотезы. Ненаправленная альтернативная гипотеза
предполагает, что значения переменной в первой выборке
отличны
от
значений во второй (или отличны от некоторого фиксированного числа).
Направленная альтернативная гипотеза предполагает, что значения
переменной в первой выборке
больше
значений во второй (или
фиксированного числа). Направленные и ненаправленные гипотезы
проверяются, соответственно, с помощью
односторонних
и
двусторонних
критериев.
Стандартная, но существеннейшая статистическая задача — сравнение
значений переменной (или нескольких однотипных переменных) в
нескольких группах (или подгруппах), выбранных из генеральной
совокупности согласно некоему условию. Подобные выборки могут быть
независимыми
или
связанными
(сопряженными, парными). Пример
независимых
выборок — значение некоторого показателя (например,
артериального
давления)
в
случайным
образом
сформированных
контрольной и экспериментальной группах. Пример
связанных
выборок —
значение показателя (например, артериального давления) у одних и тех же
пациентов до и после некоторого воздействия (или воздействий). Сравнение
связанных и несвязанных выборок производится с помощью разных
критериев.
Ошибки I и II рода
Решение об отклонении или принятии статистической гипотезы
принимается по выборочным данным. Поэтому приходится считаться и с
возможностью ошибочного решения. Различают ошибки I и II рода.
Ошибка I рода
состоит в том, что будет отвергнута правильная
гипотеза (т.е. будет отвергнута нулевая гипотеза, в то время, когда она
верна).
Ошибка II рода
состоит в том, что будет принята неправильная
гипотеза (т.е. будет принята нулевая гипотеза, в то время, когда она не
верна).
Пороговое значение для принятия отклоняющего решения называется
уровнем значимости
и обозначается
.
Уровень значимости
-
это
вероятность совершить ошибку I рода. Вероятность ошибки II рода
обозначают
, а величину
1-
называют
мощностью критерия.
Чем больше
мощность, тем меньше вероятность ошибки II рода.
Допустимый процент возможных ошибок первого рода - вопрос
взаимной договоренности, должны приниматься во внимание возможные
последствия принятия ошибочного решения. Ложные решения, например при
экспертизе, могут иметь более серьезные последствия, чем ошибочно
декларированная чистота химического реактива. Поэтому в первом случае
должны быть предусмотрены более высокая достоверность и, следовательно,
более низкое число возможных ошибок I рода, чем во втором случае.
Ошибки I и II рода зависят друг от друга. Чем меньше будет
, тем
больше будет
(и наоборот). Поэтому, нет никакого смысла для проверки
значимости выбирать слишком малое значение
, так как из-за этого очень
вырастает неизвестное
.
Выбор
относится к фазе планирования
эксперимента.
Оптимальная величина
(критический уровень значимости) должна
удовлетворять двум противоречивым требованиям: 1) она должна быть
достаточно мала, чтобы обеспечить высокое доверие к выводу об отклонении
Н
0
; 2) но она должна быть достаточно велика, чтобы реже допускать ошибки
II рода. При этом вероятность ошибки уменьшается при увеличении значения
, а для фиксированного значения
: а) при увеличении объема выборки; б)
при уменьшении выборочной дисперсии.
Соотношения вероятностей ошибок.
Поясним на наглядном
примере соотношения вероятностей ошибок первого и второго рода. Пусть
имеется некая большая и нормально распределенная совокупность
измерений, характеризующаяся средним значением М
1
и какой-то
дисперсией. Будем выбирать из этой совокупности случайным образом два
подмножества размером в 10 измерений (например, для совокупности из 200
измерений таких различных подмножеств будет 10
27
). Теперь вычислим для
всех пар полученных подмножеств (а они в той или иной степени будут
различаться в своих выборочных средних) значения критерия Стьюдента и
построим функцию плотности вероятности распределения этих вычисленных
значений (рис. 35а, по горизонтальной оси —
t
-значения). Это и будет
распределение вероятностей нулевой гипотезы, когда она верна.
При равенстве средних двух выборок
t
-значение равно нулю, чем
больше разность средних (по модулю), тем больше
t
-значение (по модулю),
но меньше вероятность такого расхождения. На рис. 35а показано, что только
5% из всех пар выборок имеют разность средних значений, оцениваемых
t
-
значениями, большими 2,1 (зачерненная область). И только 1% из всех пар
выборок имеют разность средних значений, оцениваемых
t
-значениями,
большими 2,87 (хвостик за второй штриховой линией). Это и будут
критические
t
-значения при
=5% и
=1% для нулевой гипотезы, когда она
верна. То есть при выбранном критическом уровне в
проценте случаев
нулевая гипотеза будет отвергаться, хотя она и верна (ошибка первого рода).
Рис. 35. Соотношения вероятностей ошибок I и II рода.
Пусть теперь имеется другая большая совокупность измерений с такой
же дисперсией, но отличающаяся своим средним значением М
2
от М
1
, на
некую условную величину
. Будем теперь выбирать случайным образом
подмножества по 10 элементов из одной и из другой совокупности и
сравнивать эти выборки попарно по
t
-критерию. Полученная в результате
функция распределения
t
-значений будет соответствовать альтернативной
гипотезе, когда она верна (при реальной разности средних
). Эта функция,
будет иметь определенное смещение (пусть оно будет такое, как показано на
рис. 35б) относительно случая отсутствия различия средних (нулевая
гипотеза, рис. 35а).
Как видно из рис. 35б, при выбранном уровне значимости нулевой
гипотезы
=5 % только для 17 % подмножеств (это чувствительность
критерия 1-
) будет принята альтернативная гипотеза различия средних, а