ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 838
Скачиваний: 1
нашел, что вместо выборочной разности
s
1
–s
2
удобнее использовать разность
между натуральными логарифмами этих величин, т. е.
lns
1
-
lns
2
, где s
1
s
2
.
Эта разность, обозначенная Фишером буквой
z,
распределяется нормально
при наличии как больших, так и средних по объему статистических
совокупностей.
При определении величины
z
можно вместо натуральных использовать
десятичные логарифмы, так как
z=
2,3026 (
lgs
1
-
lgs
2
) или
z
=2,3026
lg
(
s
1
/
s
2
), а
также
z
=1,1513
lg
(
s
2
1
/s
2
2
), где
s
2
1
s
2
2
.
Д. Снедекор предложил вместо
логарифма отношений использовать отношения выборочных дисперсий,
обозначив этот показатель в честь Фишера буквой
F,
т. е.
F= s
2
1
/s
2
2
(68)
при
s
2
1
s
2
2
.
Так как принято брать отношение большей дисперсии к меньшей, то
критерий
F
>1
.
Если
s
2
1
=s
2
2
, то
F=
1
.
Чем значительнее неравенство между
выборочными дисперсиями, тем больше будет и величина
F,
и, наоборот, чем
меньше окажется разница между дисперсиями, тем меньше будет величина
F.
Рис. 36. График плотности вероятности
F
-распределения для типичных
значений степени свободы
k
1
и
k
2
и критические границы
F
1
и
F
2
(по Н. В.
Смирнову и Дунину-Барковскому, 1965).
Величина
F
имеет непрерывную функцию распределения и зависит
только от чисел степеней свободы
k
1
=п
1
—
1 и
k
2
=
n
2
—1.
F
полностью
определяется выборочными дисперсиями и не зависит от генеральных
параметров, так как предполагают, что сравниваемые выборки,
характеризуемые дисперсиями
s
2
1
и
s
2
2
, взяты из генеральных совокупностей
с
2
1
=
2
2
или из одной и той же генеральной совокупности. Функция
распределения возможных значений величины
F
при небольшом
п
имеет
форму асимметричной кривой, которая по мере увеличения числа испытаний
(п
)
приближается к кривой нормального распределения (рис. 36).
Функция
F
-распределения табулирована для 5 %-го
(Р
=0,05) и 1 %-го
(
Р
=0,01) уровней значимости и чисел степеней свободы
k
1
для большей
дисперсии и
k
2
для меньшей. Если сравниваемые выборки извлечены из
одной и той же генеральной совокупности или из разных совокупностей с
дисперсиями
2
1
=
2
2
,
равными друг другу, то величина
F
-критерия не
превысит критические точки (
F
st
). Если же выборки взяты из разных
совокупностей с их параметрами
2
1
и
2
2
, не равными друг другу, то
F
ф
F
st
и нулевая гипотеза должна быть отвергнута.
Непараметрические критерии
Правильное применение параметрических критериев для проверки
статистических гипотез основано на предположении о нормальном
распределении совокупностей, из которых взяты сравниваемые выборки.
Однако это не всегда имеет место, так как не все биологические признаки
распределяются нормально. Немаловажным является и то обстоятельство,
что исследователю приходится иметь дело не только с количественными, но
и с качественными признаками, многие из которых выражаются
порядковыми номерами, индексами и другими условными знаками. В таких
случаях необходимо использовать
непараметрические критерии.
Для сравнения двух независимых выборок можно рекомендовать
W
-
критерий Уилкоксона
(в качестве нулевой принимается гипотеза о
совпадении средних (медианных) значений двух выборок). Более строгие
критерии
Вальда-Вольфовица
и
Ван дер Вардена
проверяют гипотезы о
совпадении распределений значений в двух выборках. Однако доказано, что
критерий
Вальда-Вольфовица
обладает
сравнительно
малой
чувствительностью.
Ниже
рассмотрены
некоторые
непараметрические
критерии,
применяемые для проверки нулевой гипотезы при сравнении как
независимых, так и зависимых выборочных групп.
X-критерий Ван-дер-Вардена
Этот критерий относится к группе ранговых критериев, его применяют
для проверки нулевой гипотезы при сравнении друг с другом независимых
выборок. Техника расчетов X-критерия сводится к следующему.
1. Сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по
возрастающим значениям признака.
2. Затем каждому члену ряда присваивают порядковый номер,
отмечающий его место в общем ранжированном строю.
3. Далее по порядковым номерам одной из выборок, обычно меньшей
по объему, находят отношение
R
/(
N
+1)
(69),
где
N
+1=
n
1
+
n
2
+1, т. е. сумма всех членов сравниваемых групп,
увеличенная на единицу,
R—
порядковый номер членов ряда, их «ранг».
4. С помощью специальной таблицы находят значения функции
[
R
/(
N
+1)] для каждого значения
R
/(
N
+1)
.
5. Суммируя результаты (обязательно с учетом знаков!), получают
величину
Х
ф
=
[
R
/(
N
+1)], которую сравнивают с критической точкой этого
критерия
Х
st
для принятого уровня значимости
и общего числа членов
сравниваемых выборок, т. е,
N
=
n
1
+
n
2
.
6. Нулевая гипотеза сводится к предположению, что сравниваемые
выборки извлечены из генеральных совокупностей с одинаковыми
функциями распределения. Если окажется, что
Х
ф
>Х
st
, нулевая гипотеза
должна быть отвергнута на принятом уровне значимости.
Критерий знаков z
В тех случаях, когда результаты наблюдений выражаются не числами,
а знаками плюс (+) и минус (-), различия между попарно связанными
членами сравниваемых выборок оценивают с помощью
критерия знаков z.
Конструкция этого критерия базируется на весьма простых соображениях:
если попарно сравниваемые значения двух зависимых выборок существенно
не отличаются друг от друга, то число плюсовых и минусовых разностей
окажется совершенно одинаковым; если же заметно преобладают плюсы или
минусы, это будет указывать на положительное или отрицательное действие
изучаемого фактора на результативный признак. Большее число однозначных
разностей служит в качестве фактически найденной величины
z
-критерия
знаков. При этом нулевые разности, т. е. случаи, не давшие ни
положительного, ни отрицательного результата, обозначаемые цифрой 0, в
расчет не принимают и число парных наблюдений соответственно
уменьшается.
Как и всякий другой выборочный показатель,
z
-критерий знаков
является величиной случайной; он служит для проверки
H
0
-гипотезы, т. е.
предположения о том, что совокупность или совокупности, из которых взяты
сравниваемые выборки, имеют одну и ту же или одинаковые функции
распределения.
H
0
-гипотеза отвергается, если
z
ф
>
z
st
для принятого уровня
значимости
и числа парных наблюдений
п
, взятых без нулевых разностей.