ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 836
Скачиваний: 1
для
=84 % случаев будет принята нулевая гипотеза, хотя она не верна
(ошибка второго рода). При снижении же уровня значимости нулевой
гипотезы до
=1 %, чувствительность критерия к различиям падает до 9 %
подмножеств, а ошибка второго рода соответственно возрастает до 91 %.
Если теперь повторить вышеуказанную процедуру для другой
совокупности измерений, которая отличается по своему среднему значению
М
3
от М
1
, на величину 2
, то получим функцию распределения
t
-значений,
еще больше сдвинутую вправо (рис. 35в). Тогда при
=5 % уже для 55 %
подмножеств будет принята альтернативная гипотеза, т. е. чувствительность
критерия повысится. Если же затем увеличить еще и объем извлекаемых
подмножеств вдвое (до 20 элементов) и повторить процедуру, то получим
функцию распределения, еще более сдвинутую вправо (рис. 35г), и для
=5
% получим чувствительность в 87 % от всех пар сравниваемых подмножеств.
Если же теперь взять другие совокупности, дисперсия которых в два
раза меньше рассмотренных, то все функции распределения по сравнению с
рис. 35 сожмутся в 1,44 раза относительно своих линий симметрии
(«колокола»
уменьшат
свой
разброс).
Критические
границы
соответственно сдвинутся влево, а зачерненные области принятия
альтернативных гипотез расширятся с уменьшением ошибок второго рода.
Аналогичный эффект будет наблюдаться для подмножеств в 10
элементов, если мы применим другой критерий сравнения различий,
обладающий большей чувствительностью.
Такая простая, но трудоемкая процедура извлечения подмножеств из
совокупности (метод Монте-Карло) часто используется для табулирования
критических значений критериев. Только исходная совокупность в этом
случае составляет не 200 элементов, а десятки тысяч. Для многих
статистических критериев рассчитаны и построены номограммы (графики
зависимостей) чувствительности критерия от объема выборок, уровня
значимости и дисперсии, по которым для каждого конкретного случая можно
определить вероятность ошибки второго рода.
Критерий значимости. Уровень значимости. Критическая область
Выбор
- дело договорное, иногда достаточно выбрать 100
= 10%, в
отдельных случаях практически должна быть исключена возможность
ошибочного решения (например, при оценке токсического действия
фармацевтического препарата). Тогда проверяемая гипотеза отбрасывается,
как только число возможных ошибок I рода достигает такого
пренебрежительно малого уровня, как, например, 100
=0,1%.
В
биомедицинской статистике обычно выбирают уровень значимости
,
равный 0,05 или 0,01.
Обычно придерживаются следующих правил.
1. Проверяемая гипотеза отбрасывается, если ошибка I рода может
появиться в менее чем 100
=1 % всех случаев (т.е.
0,01). Тогда
рассматриваемое различие считается значимым.
2. Проверяемая гипотеза принимается, когда ошибка I рода возможна в
более чем 100
=5 % всех случаев (
0,05). Тогда рассматриваемое различие
считается незначимым.
3. Рассматриваемую гипотезу надо обсуждать дальше, если число
возможных ошибок I рода лежит в интервале между 5 % и 1 % (0,01
0,05).
Обнаруженная
разность
интерпретируется
как
спорная.
Часто
дополнительные измерения могут прояснить ситуацию. Если по каким-либо
причинам дополнительных измерений окажется недостаточно, то
полученные данные следует интерпретировать в расчете на самый
неблагоприятный случай.
После того, как задались уровнем значимости, находят правило, в
соответствии с которым принимается или отклоняется данная гипотеза.
Такое правило называется
статистическим критерием.
Статистический критерий
- правило, в соответствии с которым
принимается или отклоняется нулевая гипотеза.
Построение критерия заключается в выборе подходящей функции
Т
=
Т
(
x
1
, …, x
n
) от результатов наблюдений
x
1
, …, x
n
, которая служит мерой
расхождения между опытными и гипотетическими значениями.
Эта функция, являющаяся случайной величиной, называется
статистикой критерия.
Статистика критерия
- специально выработанная случайная
величина, функция распределения которой известна.
При этом предполагается, что распределение вероятностей
Т
=
Т
(
x
1
,…,x
n
)
может быть вычислено при допущении, что проверяемая гипотеза верна, и
что это распределение не зависит от характеристик гипотетического
распределения.
После выбора определенного критерия множество всех возможных
значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них
содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а
другая - при которых она принимается, т.е. на критическую область и область
принятия гипотезы.
Критическая область -
совокупность значений критерия, при которых
нулевую гипотезу отвергают.
Область принятия гипотезы -
совокупность значений критерия, при
которых нулевую гипотезу принимают.
Основной принцип проверки гипотез
можно сформулировать так: если
наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области -
гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы - гипотезу принимают.
Поскольку критерий
Т
=
Т
(
x
1
,…,x
n
) - одномерная случайная величина,
все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому
критическая область и область принятия гипотезы также являются
интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.
Такие точки называются критическими.
Критические значения критерия
- это точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.
Различают
одностороннюю
(правостороннюю или левостороннюю) и
двустороннюю
критическую области. Они определяются из следующих
выражений:
правосторонняя -
Р(Т>Т
кр
)
=
;
левосторонняя -
Р(Т<Т
кр
)
=
;
двусторонняя -
Р(Т<Т
кр
) + Р(Т>Т
кр
)=
Т
кр1
< Т
кр2
.
Критические точки находят по таблицам, соответствующим
распределению критерия.
Традиционная трактовка вычисленной значимости
Р
включает
следующие градации:
Р
>0,1 — принимается
Н
0
и делается вывод: «статистически
достоверные различия не обнаружены»;
Р
<0,1 — неопределенность в отношении
Н
0
с выводом: «возможны
различия на уровне статистической тенденции»;
Р
<0,05 — значимое отклонение
Н
0
с выводом: «обнаружены
статистически достоверные различия»;
Р
<0,01 — отклонение
Н
0
с выводом: «различия обнаружены на
высоком уровне статистической значимости»;
Критический уровень значимости
=0,05
рекомендуется для
небольших выборок, когда велика вероятность ошибки II рода. Для больших
выборок (более 100 элементов) порог отклонения
Н
0
полезно снизить до 0,01.
Общая схема проверки гипотез:
1. Исходя из содержания задачи формулируют нулевую и
альтернативную гипотезы.
2. Задают величину уровня значимости критерия
, т.е. вероятность
отвергнуть основную гипотезу, когда она верна.
3. Выбирают некоторую функцию - статистику от результатов
наблюдений - и при обеих гипотезах (основной и конкурирующей) находят
законы ее распределения. Это самый сложный этап с теоретической точки
зрения.
4. С помощью закона распределения на основе выбранного уровня
значимости область возможных значений статистики разбивают на две или
три части (на две части - при односторонней альтернативе, на три - при
двусторонней).
5. Делают выборку и по ее результатам вычисляют статистику.
Выясняют, в какую из областей попадает ее значение. Если величина
находится в области, где правдоподобна основная гипотеза, то считают, что
эксперимент не противоречит основной гипотезе.
Критерии достоверности оценок
В области биометрии применяют два вида статистических критериев:
параметрические,
построенные на основании параметров данной
совокупности (например,
x
и
s
x
2
)
и представляющие функции этих
параметров, и
непараметрические,
представляющие собой функции,
зависящие непосредственно от вариант данной совокупности с их частотами.
Первые служат для проверки гипотез о параметрах совокупностей,
распределяемых по нормальному закону, вторые - для проверки рабочих
гипотез независимо от формы распределения совокупностей, из которых
взяты сравниваемые выборки. Применение параметрических критериев
связано с необходимостью вычисления выборочных характеристик - средней
величины и показателей вариации, тогда как при использовании
непараметрических критериев такая необходимость отпадает.
При нормальном распределении признака параметрические критерии
обладают большей мощностью, чем непараметрические критерии. Они
способны с меньшей вероятностью ошибки отвергать нулевую гипотезу, если
она не верна. Поэтому во всех случаях, когда сравниваемые выборки взяты
из нормально распределяющихся совокупностей, следует отдавать
предпочтение параметрическим критериям.