ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 837
Скачиваний: 1
В случае очень больших отличий распределений признака от
нормального вида следует применять непараметрические критерии, которые
в этой ситуации оказываются часто более мощными. В ситуациях, когда
варьирующие признаки выражается не числами, а условными знаками,
применение непараметрических критериев оказывается единственно
возможным.
Параметрические критерии
Из параметрических критериев в биометрии применяют
t-критерий
Стьюдента
и
F-критерий Фишера
. Первый используют для сравнительной
оценки средних величин, второй - для оценки дисперсий.
t-критерий Стьюдента
Использование формулы Гаусса-Лапласа для сравнительной оценки
средних величин затруднено тем, что в качестве аргументов в эту формулу
входят генеральные параметры
и
(которые, как правило, остаются
неизвестными), тогда как при обработке и сравнении выборочных групп
приходится
пользоваться
не
генеральными,
а
выборочными
характеристиками
x
и
s
x
2
.
Учитывая это обстоятельство, английский
математик В. Госсет (печатавшийся под псевдонимом Стьюдент), в 1908 г.
нашел закон распределения величины
x
t
n
,
в которой генеральный
параметр
заменен на его выборочную характеристику
s
х
,
т. е. нашел
закон
распределения значений:
/
x
t
s
n
.
(53)
Оказалось, что отношение разности между выборочной и генеральной
средними к ошибке выборочной средней непрерывно распределяется
согласно следующей формуле:
1
2
2
( )
(
)
1
n
t
f t
C
для
t
n
(54),
где С - константа, зависящая только от числа степеней свободы
k
=
n-
1.
Открытый Стьюдентом и теоретически обоснованный Р. Фишером
закон t-распределения
служит основой так называемой теории малой
выборки, которая характеризует распределение выборочных средних в
нормально распределяющейся совокупности в зависимости от объема
выборки.
t
-распределение зависит только от числа степеней свободы
k=п-
1,
причем с увеличением объема выборки
п
t
-распределение быстро
приближается к нормальному с параметрами
=0 и
=1 и уже при
n
30
не
отличается от него.
t
-распределение симметрично и отражает специфику распределения
средней арифметической в случае малой выборки в зависимости от ее объема
(
п
)
.
Для выборок, объем которых превышает 30 единиц, величина
t
-
распределяется нормально и не зависит от числа наблюдений. Если же
п
<30
,
характер
t
-распределения находится в зависимости от числа наблюдений
п.
Для практического использования
t
-распределения
составлена
специальная таблица, в которой содержатся критические точки (
t
st
) для
разных уровней значимости а и чисел степеней свободы
k.
Оценка разности средних.
Сравнивая друг с другом две независимые
выборки, взятые из нормально распределяющихся совокупностей с
параметрами
1
и
2
, можно предположить, что
1
-
2
= D
, а дисперсия этой
разности
2
D
.
Значения генеральных параметров неизвестны, однако
несложно найти величины выборочных средних и разность между ними
1
2
(
)
x
x
d
.
Нулевая гипотеза сводится к предположению, что
1
=
2
.
Критерием для проверки
Н
0
-гипотезы служит отношение
1
2
1
2
1
2
(
) (
)
x
x
x
x
t
s
(55),
где
t
- переменная величина, следующая
t
-распределению Стьюдента с
числом степеней свободы
k=(п
1
-1)+(
п
2
-1)=
п
1
+п
2
–
2, а
1
2
x
x
s
- ошибка
указанной разности, обозначаемая в дальнейшем символом
s
d
.
Так как, согласно
Н
0
-гипотезе,
1
-
2
=
0, то
t
-критерий выражается в
виде отношения разности выборочных средних к своей ошибке, т. е.
1
2
d
d
x
x
d
t
s
s
(56).
H
0
-гипотезу отвергают, если фактически установленная величина
t
-
критерия (обозначаемая символом
t
ф
) превзойдет или окажется равной
критическому (стандартному) значению
t
st
этой величины для принятого
уровня значимости
и числа степеней свободы
k=n
1
+n
2
- 2, т. е. при условии
t
ф
t
st
.
Ошибку разности средних
s
d
. определяют по следующим формулам:
а
)
для равночисленных выборок, т. е. при
п
1
=п
2
:
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1)
(
1)
(
1)
i
i
i
i
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
s
s
s
n n
n n
n n
(57);
б
)
для неравночисленных выборок, т. е. при
п
1
п
2
:
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
(
)
(
)
(
1)
(
1)
(
)
(
)
2
i
i
d
x
x
x
x
n
s
n
s
n
n
n
n
s
n
n n
n
n
n n
(58)
В этой формуле вместо
1
2
1 2
(
)
n
n
n n
можно использовать
1
2
1
1
(
)
n
n
.
Неопровержение
H
о
-гипотезы нельзя рассматривать как доказательство
равенства между неизвестными параметрами совокупностей, из которых
извлечены сравниваемые выборки. В таких случаях вопрос о преимуществе
одной статистической совокупности перед другой остается открытым. Ведь
не исключено, что при повторных испытаниях
H
о
-гипотеза может оказаться
несостоятельной. Более того, и в тех случаях, когда
H
о
-гипотеза
опровергается, не следует спешить с окончательным выводом.
Следует заметить, что вышеизложенное применение
t
-критерия
предполагает, что дисперсии сравниваемых групп одинаковы:
2
1
=
2
2
. Если
это не так, то величину критерия находят по формуле:
1
2
2
2
1
1
2
2
/
/
x
x
t
s
n
s
n
(59),
а число степеней свободы — по следующим формулам:
при
n
1
=n
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
/
/
n
k
n
s
s
s
s
(60),
при
n
1
n
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
/
)
(
/
)
/
2
1
1
s
s
s
n
s
n
k
n
n
n
n
(61).
Правильное применение
t
-критерия
предполагает нормальное
распределение совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки,
и равенство генеральных дисперсий. Если эти условия не выполняются, то
t
-
критерий применять не следует. В таких случаях более эффективными будут
непараметрические критерии.
Оценка средней разности между выборками с попарно связанными
вариантами
. Сравниваемые выборки нередко представляют собой ряды
попарно связанных вариант, т. е. являются
зависимыми выборками.
В таких
случаях оценкой разности между генеральными средствами
1
-
2
=D
будет
средняя разность,
определяемая из суммы разностей между попарно
связанными вариантами сравниваемых групп, т. е.
i
d
d
n
(62)
Оценкой генеральной дисперсии
2
разности средних
1
-
2
=D
будет
выборочная дисперсия:
2
2
(
)
1
i
d
d
s
n
(63).
В формулах (63) и (64)
n
- число парных наблюдений;
d
i
=x
i
– y
i
;
величина
d
идентична разности средних, т. е.
1
2
(
)
i
d
d
x
x
n
(64)
Ошибку средней разности
d
, обозначаемую символом
s
d
,
определяют
по формулам:
2
2
2
(
)
(
)
(
1)
(
1)
i
i
i
d
d
d
d
d
n
s
n n
n n
(65)
или
2
2
1
1
i
d
d
s
d
n
n
(66).
Если члены генеральной совокупности распределяются нормально, то и
разности между ними будут распределяться нормально и случайная величина
t
=(
d
-D)/
d
s
будет иметь распределение Стьюдента с
k=п—
1 степенями
свободы. H
0
-гипотеза сводится к предположению, что
1
-
2
= D
=0. Отсюда
t
-критерий выразится в виде отношения средней разности к своей ошибке, т.
е.
/
d
t
d s
(67).
Если
t
ф
t
st
для принятого уровня значимости и числа степеней
свободы
k=п—
1, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута.
Оценку средней разности можно произвести по доверительному
интервалу, построенному на основании полученной разности
d
и ее ошибки
d
s
. Если нижняя граница доверительного интервала окажется с
положительным знаком, это будет свидетельствовать о достоверности
разницы. Если же нижняя граница доверительного интервала будет с
отрицательным знаком, это будет служить указанием на случайный характер
наблюдаемой средней разности.
F-критерий Фишера
Для проверки
H
0
-гипотезы о равенстве генеральных дисперсий
(
2
1
=
2
2
) нормально распределяющихся генеральных совокупностей
t
-
критерий оказывается недостаточно точным, особенно при оценке разности
дисперсий малочисленных выборок. В поисках лучшего критерия Р. Фишер