ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2021
Просмотров: 805
Скачиваний: 2
11
Ука за ние
.
В
п ри ве де нном
фраг ме нте
250
вы бороч ны х
знач е ни й
сохране ны
в
масси ве
с
и ме не м
ξ
.
П ре ж де
ч е м
п ри ступ ать
к
г руп п и ровк е
вы борк и
,
не обходи мо
уп орядоч и ть
вы бороч ны е
знач е ни я
в
п орядк е
и х
возрастани я
.
Эту
оп е раци ю
вы п олняе т
функ ци я
sort(
ξ
).
Груп п и ровк а
п рои зводи тся
с
п омощ ью
функ ци и
hist(x,
ξ
),
г де
х
–
масси в
,
соде рж ащ и й
знач е ни я
се ре ди н
и нте рвалов
г руп п и ровк и
.
П ре ж де
ч е м
обрати ться
к
функ ци и
hist(x,
ξ
),
не обходи мо
вы ч и сли ть
се ре ди ны
и нте рвалов
г руп п и ровк и
и
п ри свои ть
и х
знач е ни я
эле ме нтам
масси ва
x.
З нач е ни я
функ ци и
hist(x,
ξ
)
–
ве к тор
,
к омп оне нты
к оторог о
равны
к оли ч е ству
эле ме нтов
масси ва
ξ
,
п оп авши х
в
и нте рвал
П ри ме р
вы п олне ни я
задани я
П ри ме рны й
вари ант
вы п олне ни я
задани я
для
все й
вы борк и
для
m =
10, 20,
100
п ри ве де н
вы ше
.
2.2
Ч и словы е
хар актер и сти ки
вы бор ки
П оказатели
полож ени я
.
Сре дне е
знач е ни е
вы борк и
вы ч и сляе тся
п о
формуле
1
1
.
n
i
i
x
x
n
=
=
∑
В
Mathcad
для
вы ч и сле ни я
вы бороч ног о
сре дне г о
знач е ни я
вы борк и
,
сохране нной
в
матри це
А
,
п ре дназнач е на
функ ци я
mean(A).
Выбо ро ч но й
ква нт илью
уровня
р
назы вае тся
ре ше ни е
уравне ни я
F x
p
n
( )
,
=
г де
F
n
(x)
—
вы бороч ная
функ ци я
расп ре де ле ни я
.
В
ч астности
,
выбо ро ч на я
медиа на
е сть
ре ше ни е
уравне ни я
F
n
(x) = 0.5,
т
.
е
.
вы бороч ная
ме ди ана
—
это
вы бороч ная
к ванти ль
уровня
0.5.
В ы бороч ная
ме ди ана
разби вае т
вы борк у
п оп олам
:
сле ва
и
сп рава
от
не е
ок азы вае тся
оди нак овое
ч и сло
эле ме нтов
вы борк и
.
Е сли
ч и сло
эле ме нтов
вы борк и
ч е тно
,
n = 2k
,
то
вы бороч ную
ме ди ану
оп ре де ляю т
п о
формуле
:(x
k
+x
k+1
)/2,
г де
x
k
, x
k+1
–
k-
е
и
(k+1)-
е
вы бороч ны е
знач е ни я
и з
вари аци онног о
ряда
.
П ри
не ч е тном
объ е ме
вы борк и
(n=2k+1)
в
к ач е стве
знач е ни я
ме ди аны
п ри ни маю т
ве ли ч и ну
x
k+1
.
В
Mathcad
для
вы ч и сле ни я
вы бороч ной
ме ди аны
вы борк и
,
сохране нной
в
матри це
А
,
п ре дназнач е на
функ ци я
median(A).
К
п ок азате лям
п олож е ни я
относятся
ми ни мальны й
и
мак си мальны й
эле ме нты
вы борк и
,
а
так ж е
ве рхняя
и
ни ж няя
к варти ли
(
они
ог рани ч и ваю т
зону
,
в
к оторой
сосре доточ е ны
50%
эле ме нтов
вы борк и
)
Для
вы ч и сле ни я
ми ни мальног о
и
мак си мальног о
эле ме нтов
вы борк и
,
разме щ е нной
в
матри це
А
,
в
Mathcad
п ре дназнач е ны
соотве тстве нно
функ ци и
min(A)
и
max(A).
П оказатели
р азбр оса
.
К
п ок азате лям
разброса
относятся
ди сп е рси я
вы борк и
(
вы бороч ная
ди сп е рси я
),
стандартное
отк лоне ни е
,
размах
вы борк и
,
ме ж к варти льны й
размах
,
к оэффи ци е нт
эк сце сса
(
вы бороч ны й
эк сце сс
).
Выбо ро ч но й
дис персией
назы вае тся
ве ли ч и на
2
1
1
(
) .
n
i
i
x
x
n
=
−
∑
О днак о
в
стати сти к е
ч ащ е
в
к ач е стве
вы бороч ной
ди сп е рси и
12
и сп ользуе тся
ве ли ч и на
2
2
1
1
(
) .
1
n
i
i
s
x
x
n
=
=
−
−
∑
В
Mathcad
для
оп ре де ле ни я
ди сп е рси и
вы борк и
,
сохране нной
в
матри це
A,
п ре дназнач е на
функ ци я
var(A),
а
ве ли ч и ну
s
2
мож но
вы ч и сли ть
п о
формуле
:
Ст а нда рт но е
о т кло нение
рассч и ты вае тся
п о
формуле
:
Ра зма х
выбо рки
вы ч и сляе тся
п о
формуле
R= x
max
-x
min
М еж ква рт ильный
ра зма х
раве н
x
0.75
-x
0.25
г де
x
0.75
–
75%-
ная
к варти ль
,
ре ше ни е
уравне ни я
F
n
(x
0.75
) = 0.75, x
0.25
–
25%-
ная
к варти ль
,
ре ше ни е
уравне ни я
F
n
(x
0.25
) = 0.25.
В ы бороч ны й
эк сце сс
оп ре де ляе тся
сле дую щ и м
образом
.
Снач ала
оты ск и вае тся
ве ли ч и на
вы бороч ног о
це нтральног о
моме нта
4-
г о
п орядк а
А
зате м
п о
сле дую щ е й
формуле
вы ч и сляе тся
вы бороч ны й
эк сце сс
:
П оказатели
аси мметр и и
.
На
основани и
эти х
п ок азате ле й
и зуч аю т
и нформаци ю
о
си мме три и
расп ре де ле ни я
вы бороч ны х
данны х
ок оло
це нтра
вы борк и
.
Сю да
в
п е рвую
оч е ре дь
относи тся
к оэффи ци е нт
аси мме три и
,
к оторы й
вы ч и сляе тся
п о
формуле
г де
—
вы бороч ны й
це нтральны й
моме нт
3-
г о
п орядк а
,
а
σ
–
стандартное
отк лоне ни е
,
формула
для
вы ч и сле ни я
к оторог о
п ри ве де на
вы ше
.
2
1
var( ).
1
s
A
n
=
−
2
ˆ
.
s
σ
=
∑
=
−
=
n
i
i
x
x
n
1
4
4
.
)
(
1
ˆ
µ
2
2
4
ˆ
ˆ
( )
3.
E
s
µ
−
=
−
∑
=
−
=
n
i
i
x
x
n
1
3
3
)
(
1
ˆ
µ
13
З АДАН И Е
2
Для
вы борк и
,
сформи рованной
в
п ре ды дущ е м
задани и
,
вы ч и сли те
все
оп и санны е
вы ше
вы бороч ны е
харак те ри сти к и
.
П орядок
вы п олне ни я
задани я
1.
П роч ти те
сохране нны й
ране е
фай л
,
соде рж ащ и й
вы борк у
.
2.
В ы ч и сли те
мак си мальны й
и
ми ни мальны й
эле ме нты
и
размах
вы борк и
.
3.
Рассч и тай те
вы бороч ное
сре дне е
.
4.
Най ди те
ме ди ану
.
5.
В ы ч и сли те
вы бороч ную
ди сп е рси ю
и
стандартное
отк лоне ни е
.
6.
Най ди те
вы бороч ны е
моме нты
3-
г о
и
4-
г о
п орядк ов
.
7.
В ы ч и сли те
вы бороч ны й
эк сце сс
.
8.
О п ре де ли те
к оэффи ци е нт
аси мме три и
.
П р и мер
вы полнени я
зад ани я
Ни ж е
п ре дставле н
фраг ме нт
рабоч е г о
док уме нта
Mathcad,
соде рж ащ и й
вы ч и сле ни е
харак те ри сти к
вы бороч ны х
данны х
,
п ри ве дённы х
в
нач але
разде ла
.
Ука за ние
.
В
Mathcad
не т
встрое нны х
функ ци й
для
вы ч и сле ни я
вы бороч ны х
моме нтов
.
Для
оп ре де ле ни я
сре дне к вадрати ч ног о
отк лоне ни я
в
Mathcad
п ре дназнач е на
функ ци я
14
Рассч и ты вае мое
с
е е
п омощ ью
знач е ни е
сре дне к вадрати ч ног о
отк лоне ни я
отли ч но
от
оп ре де ле нног о
вы ше
,
п оэтому
сре дне к вадрати ч ное
отк лоне ни е
сле дуе т
вы ч и слять
к ак
2.3
О ценка
функци и
р аспр ед елени я
Рассмотри м
ме тоды
оце ни вани я
функ ци и
расп ре де ле ни я
F
ξ
(x)
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
о
к оторой
и зве стно
,
ч то
она
не п ре ры вна
.
П усть
x={x
1
,x
2
,..,x
n
}
–
совок уп ность
вы бороч ны х
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
т
.
е
.
вы борк а
и з
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
.
Расп олож и м
наблю де ни я
x
1
,x
2
,..,x
n
в
п орядк е
и х
возрастани я
.
О бознач и м
новую
уп орядоч е нную
п осле довате льность
–
вари аци онны й
ряд
- x`
1
,x`
2
,..,x`
n
, x`
1
<x`
2
<..<x`
n
.
П о
этому
вари аци онному
ряду
п острои м
сле дую щ ую
не убы ваю щ ую
ступ е нч атую
функ ци ю
:
1
n
k 1
k
n
0, x
x
k
ˆ
F (x)
, x
x
x , k
1, 2,..., n,
n
1, x
x
−
′
≤
′
′
=
≤ ≤
=
′
>
И з
п ри ве де нной
вы ше
формулы
ви дно
,
ч то
функ ци я
)
(
ˆ
x
F
n
п ре те рп е вае т
в
к аж дой
точ к е
вари аци онног о
ряда
ск ач ок
,
равны й
п о
ве ли ч и не
1/n.
Е сли
к ак ая
-
ни будь
точ к а
вари аци онног о
ряда
п овторяе тся
т
раз
(
т
точ е к
вари аци онног о
ряда
совп адаю т
),
то
ск ач ок
функ ци и
)
(
ˆ
x
F
n
в
этой
точ к е
раве н
т
/
п
.
Функ ци я
F
n
(x)
назы вае тся
эмпирич ес ко й
функцией
ра с пределения
.
За меч а ние
.
Эмп и ри ч е ск ая
функ ци я
расп ре де ле ни я
)
(
ˆ
x
F
n
зави си т
не
тольк о
от
x,
но
и
от
все й
вы борк и
x
.
Ч тобы
обрати ть
вни мани е
на
этот
фак т
,
буде м
обознач ать
эмп и ри ч е ск ую
функ ци ю
расп ре де ле ни я
ч е ре з
)
ˆ
,
(
x
x
F
n
.
И ме нно
)
ˆ
,
(
x
x
F
n
п ри ни маю т
за
оце нк у
те оре ти ч е ск ой
функ ци и
расп ре де ле ни я
F(x).
О стае тся
вы ясни ть
,
наск ольк о
хорошо
эмп и ри ч е ск ая
функ ци я
расп ре де ле ни я
ап п рок си ми руе т
те оре ти ч е ск ую
функ ци ю
расп ре де ле ни я
.
Е сли
F
ξ
(x)
–
те оре ти ч е ск ая
функ ци я
расп ре де ле ни я
, a F
n
(x)
—
эмп и ри ч е ск ая
функ ци я
расп ре де ле ни я
,
п острое нная
п о
заданной
вы борк е
x
ˆ
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
то
в
к ач е стве
ме ры
расхож де ни я
те оре ти ч е ск ой
и
эмп и ри ч е ск ой
функ ци й
расп ре де ле ни я
возьме м
ве ли ч и ну
:
ˆ
( )
( )
( ) .
sup
n
n
x
D x
F x
F x
ξ
=
−
Эта
функ ци я
от
вы бороч ны х
знач е ни й
х
назы вае тся
с т а т ис т ико й
К о лмо го ро ва
.
Сле дуе т
п омни ть
,
ч то
)
ˆ
(
x
D
n
случ ай ная
ве ли ч и на
и
ч то
е е
расп ре де ле ни е
не
зави си т
от
не и зве стной
те оре ти ч е ск ой
функ ци и
2
.
s
15
расп ре де ле ни я
F
ξ
(x),
е сли
она
не п ре ры вна
.
Б оле е
тог о
,
сп раве дли ва
те оре ма
К олмог орова
:
е сли
функ ци я
расп ре де ле ни я
F
ξ
(x)
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
не п ре ры вна
, a F
n
(x)
–
е е
вы бороч ная
функ ци я
расп ре де ле ни я
,
то
п ри
n
→
∞
>
−
≤
=
→
<
−
∑
∞
−∞
=
−
.
0
,
)
1
(
,
0
,
0
)
(
)
(
)
(
ˆ
sup
2
2
2
z
e
z
z
K
n
z
x
F
x
F
P
k
z
k
k
n
n
x
Функ ци я
K(z)
п ре дставляе т
собой
функ ци ональны й
ряд
,
к оторы й
сле дуе т
п ротабули ровать
.
Сразу
обрати м
вни мани е
на
то
,
ч то
этот
ряд
сходи тся
абсолю тно
для
все х
z>0
,
но
не равноме рно
на
п роме ж утк е
[0, +
∞
].
Это
означ ае т
,
ч то
для
дости ж е ни я
заданной
точ ности
п ри
вы ч и сле ни и
K(z)
ч и сло
N
ч ле нов
в
соотве тствую щ е й
ч асти ч ной
сумме
зави си т
от
z
.
Е сли
ε
–
тре буе мая
точ ность
вы ч и сле ни я
К
(z),
то
ч и сло
N
вы ч и сляе тся
п о
формуле
1
1
ln
2
1
1
+
=
ε
z
N
,
г де
си мволом
[ ]
обознач е на
це лая
ч асть
ч и сла
.
Ни ж е
п ри ве де н
фраг ме нт
рабоч е г о
док уме нта
Mathcad,
соде рж ащ и й
п ри бли ж е нное
оп ре де ле ни е
функ ци и
K(z)
для
ε
=
0.001,
N =
3,
и
соотве тствую щ и е
г рафи к и
.