ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1330
Скачиваний: 6
— 46 —
базисом
линейного многообразия, а число
n
называют
размерностью
линей-
ного многообразия
L
, что обозначается
dim
L
=
n
.
Пусть
L
=
L
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
и
{
x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
– базис в
L
. Если
x
∈
L
, то
x
=
P
n
k
=1
c
k
x
k
. Числа
c
1
, c
2
, ..., c
n
называются
координатами
элемента
x
в
базисе
{
x
1
, x
2
, . . . , x
n
}
. Легко видеть, что координаты элемента в заданном
базисе определяются однозначно.
Если
L
– линейное многообразие такое, что в нем для любого
n
∈
N
суще-
ствует
n
линейно независимых элементов, то
L
называют
бесконечномерным
линейным многообразием, что обозначается
dim
L
=
∞
.
Замечание.
Если
E
– линейное пространство, то можно считать, что
E
– линейное многообразие в
E
. Поэтому все определения и понятия, связан-
ные с линейными многообразиями, справедливы и в отношении к линейным
пространствам.
•
Задача.
19.10. Показать, что пространства
l
2
, m
и
C
[
a, b
]
бесконечномерны.
Пусть
E
– линейное пространство и
L
1
, L
2
, ..., L
n
– линейные многообра-
зия в
E
. Предположим, что всякий
x
∈
E
однозначно представим в виде
x
=
x
1
+
x
2
+
...
+
x
n
, где элементы
x
i
∈
L
i
(
i
= 1
, n
)
. В таком случае ли-
нейное пространство
E
называют
прямой суммой
линейных многообразий
L
1
, L
2
, ..., L
n
. При этом используют обозначения
E
=
L
1
L
L
2
L
...
L
L
n
=
P
n
i
=1
L
L
i
.
•
Задачи:
19.11. Пусть линейное пространство
E
=
L
1
⊕
L
2
, где
L
1
, L
2
– линейные
многообразия. Доказать, что
L
1
∩
L
2
=
{
Θ
}
.
19.12. Пусть
L
1
, L
2
– линейные многообразия в линейном пространстве
E
и
L
1
∩
L
2
=
{
Θ
}
. Пусть всякий
x
∈
E
допускает представление
x
=
x
1
+
x
2
,
где
x
1
∈
L
1
и
x
2
∈
L
2
. Доказать, что
E
=
L
1
⊕
L
2
.
19.13. В линейном пространстве
l
2
для фиксированного
n
∈
N
даны два
множества :
M
n
=
{
x
∈
l
2
|
[
x
= (
x
1
, x
2
, ...
)]
∧
(
P
n
k
=1
x
k
= 0)
}
,
N
n
=
{
x
∈
l
2
|
[
x
= (
x
1
, ..., x
n
,
0
,
0
, ...
)]
∧
(
x
1
=
x
2
=
...
=
x
n
)
}
.
Показать, что
M
n
и
N
n
– линейные многообразия в
l
2
и
l
2
=
M
n
⊕
N
n
.
19.14. В пространстве
l
2
дано множество
N
1
=
{
x
∈
l
2
|
x
= (
x
1
,
0
,
0
, ...
)
}
.
Показать, что
N
1
– линейное многообразие в
l
2
и
l
2
=
M
n
⊕
N
1
, где
M
n
из
задачи 19.13.
— 47 —
§
20. Фактор-пространство линейного пространства
Пусть
E
– линейное пространство и
L
0
– линейное многообразие в
E
. Рас-
смотрим на множестве
E
отношение
P
=
{
(
x, y
)
|
(
x, y
∈
E
)
∧
(
x
−
y
∈
L
0
)
}
.
Очевидно, что отношение
P
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Та-
ким образом,
P
является на
E
отношением эквивалентности. Это отношение
порождает разбиение множества
E
на классы эквивалентных элементов, ко-
торые здесь будем называть
классами смежности
по
L
0
. Множество этих
классов смежности называется
фактор-множеством
E
по
L
0
и обозначает-
ся
E/L
0
.
Очевидно, что два элемента
x, y
∈
E
принадлежат одному классу смеж-
ности, если
x
−
y
∈
L
0
. Для
x
∈
E
множество
[
x
] =
{
y
|
x
−
y
∈
L
0
}
будем
называть классом смежности, порожденным элементом
x
. Заметим, что для
L
∈
E/L
0
и
x
∈
L
выполняется
L
= [
x
]
.
Определим в фактор-множестве
E/L
0
операции сложения и умножения на
число. Для
L
1
, L
2
∈
E/L
0
и чисел
α, β
определим класс смежности
αL
1
+
βL
2
.
Для этого выберем произвольные элементы
x
1
∈
L
1
и
x
2
∈
L
2
. По опреде-
лению положим
αL
1
+
βL
2
= [
αx
1
+
βx
2
]
. Покажем однозначность этого
определения. Возьмем
y
1
∈
L
1
и
y
2
∈
L
2
. Заметим, что
(
αx
1
+
βx
2
)
−
(
αy
1
+
βy
2
) =
α
(
x
1
−
y
1
) +
β
(
x
2
−
y
2
)
∈
L
0
.
Следовательно,
[
αx
1
+
βx
2
] = [
αy
1
+
βy
2
]
. В частности, определено сложение
L
1
+
L
2
∈
E/L
0
и умножение на число
λL
∈
E/L
0
. Для определения нулевого
элемента
Θ
∈
E/L
0
заметим, что
(
∀
L
∈
E/L
0
)(
∀
x
∈
L
) [ Θ = 0
·
L
= [0
·
x
] = [Θ] =
L
0
]
.
Итак,
L
0
= Θ
∈
E/L
0
. Непосредственная проверка аксиом линейного про-
странства показывает, что все они выполняются. Таким образом, фактор-
множество
E/L
0
является линейным пространством и далее будет называть-
ся
фактор-пространством
.
Лемма 4.
Пусть
E
– линейное пространство и
L
0
– линейное многообразие
в
E
. Пусть
L
1
, L
2
∈
E/L
0
и числа
α, β
такие, что
(
α
6
= 0)
∨
(
β
6
= 0)
. Тогда
множество
M
опр.
=
{
αx
1
+
βx
2
|
(
x
1
∈
L
1
)
∧
(
x
2
∈
L
2
)
}
=
αL
1
+
βL
2
.
Доказательство.
Пусть
αx
1
+
βx
2
∈
M
. Тогда
αx
1
+
βx
2
∈
[
αx
1
+
βx
2
] =
αL
1
+
βL
2
, то есть
M
⊂
αL
1
+
βL
2
.
Пусть теперь
z
∈
αL
1
+
βL
2
= [
αx
1
+
βx
2
]
, где
x
1
∈
L
1
и
x
2
∈
L
2
. Тогда
z
−
(
αx
1
+
βx
2
) =
y
∈
L
0
. Предположим, что
α
6
= 0
. Тогда получим
z
= (
αx
1
+
βx
2
) +
y
=
α
(
x
1
+
y/α
) +
βx
2
.
— 48 —
Заметим, что
x
1
+
y/α
∈
L
1
, так как
(
x
1
+
y/α
)
−
x
1
=
y/α
∈
L
0
. Итак,
z
∈
M
,
что означает
αL
1
+
βL
2
⊂
M
.
♥
§
21. Определения и примеры нормированных пространств
Линейное пространство
E
называется линейным
нормированным
простра-
нством, если для любого
x
∈
E
определено вещественное число, обозначаемое
k
x
k
, такое, что для всех
x, y
∈
E
и всех чисел
λ
(соответственно вещественных
или комплексных) выполняются следующие аксиомы:
1)
k
x
k
>
0
,
k
x
k
= 0
←→
x
= Θ
;
2)
k
λx
k
=
|
λ
| k
x
k
;
3)
k
x
+
y
k ≤ k
x
k
+
k
y
k
.
При этом, число
k
x
k
называется нормой элемента
x
∈
E
.
Линейное нормированное пространство
E
называют
вещественным (ком-
плексным)
, если соответствующее линейное пространство
E
вещественное
(комплексное).
В линейном нормированном пространстве можно определить расстояние
ρ
(
x, y
) =
k
x
−
y
k
. При этом, выполнение аксиом метрики следует из акси-
ом нормы. Таким образом, на нормированные пространства переносятся все
свойства и утверждения, установленные ранее для метрических пространств.
Отметим два новых свойства определенной выше метрики:
а)
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
x
+
z, y
+
z
)
– инвариантность относительно сдвига;
b)
ρ
(
λ x, λ y
) =
|
λ
|
ρ
(
x, y
)
– положительная однородность.
Нетрудно показать, что любая метрика на линейном пространстве, обла-
дающая свойствами a) и b), порождена некоторой нормой.
Сходимость последовательности
{
x
n
} ⊂
E
– линейного нормированного
пространства к элементу
x
∈
E
по определенной выше метрике, а именно
ρ
(
x
n
, x
) =
k
x
n
−
x
k →
0
при
n
→ ∞
, называется
сходимостью по норме
пространства
E
.
Отметим некоторые
простейшие свойства
в линейном нормирован-
ном пространстве:
1)
¯
¯
¯
k
x
k − k
y
k
¯
¯
¯
≤ k
x
−
y
k
;
2)
(
x
n
→
x
)
−→
(
k
x
n
k → k
x
k
)
;
3)
(
x
n
→
x
)
∧
(
λ
n
→
λ
)
−→
(
λ
n
x
n
→
λ x
)
;
4)
(
x
n
→
x
)
∧
(
y
n
→
y
)
−→
(
x
n
+
y
n
→
x
+
y
)
.
Линейное многообразие
L
⊂
E
– линейного нормированного пространства
называется
подпространством
пространства
E
, если
L
замкнуто в
E
.
— 49 —
Нормированное пространство, полное в смысле сходимости по норме, на-
зывается
банаховым
пространством.
•
Задачи:
21.1. Показать, что для любой пары элементов
x
и
y
из линейного норми-
рованного пространства выполняется неравенство
k
x
k ≤
max
{k
x
+
y
k
,
k
x
−
y
k}
.
21.2. Показать, что множество
M
⊂
E
– линейного нормированного про-
странства ограничено тогда и только тогда, когда
(
∃
C
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
k
x
k ≤
C
)
.
21.3. Пусть
E, F
– линейные нормированные пространства. Определим
в линейном пространстве
E
×
F
(зад. 19.2) норму
k
(
x, y
)
k
=
k
x
k
E
+
k
y
k
F
.
Показать, что тогда:
a)
E
×
F
– линейное нормированное пространство;
б) если
E, F
– полные пространства, то и
E
×
F
– полное пространство.
21.4. Пусть
E
– линейное нормированное пространство и задано множество
M
⊂
E
. Тогда
(
∀
λ
−
числа
)[
λM
=
λM
]
.
21.5. Пусть
M
– линейное многообразие в линейном нормированном про-
странстве
E
. Показать, что замыкание
M
– подпространство
E
.
21.6. Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание
выпуклого множества есть выпуклое множество.
21.7. Показать, что всякий шар в линейном нормированном пространстве
есть выпуклое множество.
21.8. Пусть
E
– линейное нормированное пространство и шар
B
[
x, r
]
⊂
E
.
Тогда
(
∀
λ
−
числа
)[
λB
[
x, r
] =
B
[
λx,
|
λ
|
r
] ]
.
21.9. Пусть
E
– линейное нормированное пространство и шар
B
[
x, r
]
⊂
E
.
Тогда
B
[
x, r
]
−
B
[
x, r
] =
B
[Θ
,
2
r
]
.
21.10. Показать, что замыкание открытого шара в линейном нормирован-
ном пространстве есть соответствующий замкнутый шар.
21.11. Пусть для двух замкнутых шаров в линейном нормированном про-
странстве выполнено включение
B
[
a
1
, r
1
]
⊂
B
[
a
2
, r
2
]
. Доказать, что
r
1
≤
r
2
и
k
a
1
−
a
2
k ≤
r
2
−
r
1
.
21.12. Показать, что внутренность замкнутого шара в линейном нормиро-
ванном пространстве есть соответствующий открытый шар.
21.13. Показать, что аксиому 3) в определении нормы можно заменить
условием выпуклости единичного шара
B
[
θ,
1] =
{
x
| k
x
k ≤
1
}
.
21.14. Пусть
A
и
B
– множества в линейном нормированном пространстве.
— 50 —
Доказать, что :
1) если множества
A
и
B
ограничены, то множество
A
+
B
ограничено ;
2) если множество
A
открыто, то для произвольного множества
B
множество
A
+
B
открыто ;
3) если множество
A
замкнуто, а множество
B
компактно, то множество
A
+
B
замкнуто ;
4) если множества
A
и
B
компактны, то и множество
A
+
B
компактное.
Примеры нормированных пространств.
1.
R
1
– множество вещественных чисел (либо
C
1
– множество комплексных
чисел) с нормой
k
x
k
=
|
x
|
.
2.
R
n
p
, где
1
≤
p <
∞
, – множество
n
-мерных векторов
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
с вещественными координатами (либо
C
n
p
– множество
n
-мерных векторов с
комплексными координатами) с нормой
k
x
k
p
= (
P
n
k
=1
|
x
k
|
p
)
1
/p
.
3.
R
n
∞
– множество
n
-мерных векторов
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
с вещественны-
ми координатами (либо
C
n
∞
– множество
n
-мерных векторов с комплексными
координатами) с нормой
k
x
k
∞
= max
1
≤
k
≤
n
|
x
k
|
.
4.
C
[
a, b
]
– множество непрерывных на отрезке
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
.
5.
C
1
[
a, b
]
– множество непрерывных на отрезке
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
=
R
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
.
6.
C
k
[
a, b
]
, где
k
∈
N
, – множество
k
раз непрерывно дифференцируемых
на
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
+
...
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
k
)
(
t
)
|
.
7.
l
p
, где
1
≤
p <
∞
, – множество числовых последовательностей
x
=
(
x
1
, ..., x
k
, ...
)
, суммируемых с
p
-ой степенью, с нормой
k
x
k
p
= (
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
)
1
/p
.
8.
m
– множество ограниченных числовых последовательностей
x
=
(
x
1
, x
2
, ..., x
k
, ...
)
с нормой
k
x
k
= sup
k
|
x
k
|
.
Проверку аксиом норм рекомендуется провести самостоятельно.
Обратим внимание, что все указанные здесь линейные нормированные
пространства, кроме
C
1
[
a, b
]
, являются банаховыми.
•
Задачи:
21.15. Можно ли в пространстве
C
1
[
a, b
]
непрерывно дифференцируемых
на
[
a, b
]
функций принять за норму следующие выражения :
а)
|
x
(
a
)
−
x
(
b
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
б)
|
x
(
a
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,