ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1323
Скачиваний: 6
— 16 —
справедливого для произвольного сколь угодно малого
δ >
0
, следует
Z
0
−
1
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
=
Z
1
δ
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
= 0
.
Воспользуемся леммой 1. В результате, учитывая непрерывность функции
y
(
t
)
−
z
(
t
)
на
[
−
1
,
0]
∪
[
δ,
1]
, получим
z
(0) =
y
(0) = 0
и
z
(
δ
) =
y
(
δ
) = 1
.
Тогда
z
(+0) = lim
δ
→
0
z
(
δ
) = 1
. Итак,
z
(0)
6
=
z
(+0)
, то есть функция
z
(
t
)
разрывна в точке
t
= 0
. Это противоречие доказывает, что фундаментальная
последовательность
x
n
не сходится в пространстве
C
1
[
−
1
,
1]
.
♥
•
Задачи:
5.8. Доказать, что множество
N
натуральных чилел с расстоянием
ρ
(
n, m
) =
|
n
−
m
|
(
nm
)
−
1
является неполным метрическим пространством.
5.9. Пусть
X
и
Y
– метрические пространства с метриками
ρ
X
и
ρ
Y
соот-
ветственно. Доказать, что:
а) множество
X
×
Y
является метрическим пространством с расстоянием
ρ
((
x
1
, y
1
)
,
(
x
2
, y
2
)) =
ρ
X
(
x
1
, x
2
) +
ρ
Y
(
y
1
, y
2
)
;
б) если пространства
{
X, ρ
X
}
и
{
Y, ρ
Y
}
полные, то
{
X
×
Y, ρ
}
– полное
метрическое пространство.
§
6. Точки прикосновения и замыкание множеств
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Точка
x
∈
X
называется
точкой
прикосновения
множества
M
⊂
X
, если
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
6
=
∅
]
.
Mножество всех точек прикосновения множества
M
называется
замыка-
нием множества
M
и обозначается
M
.
Теорема 1.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Для любых мно-
жеств
M, M
1
, M
2
⊂
X
выполняются следующие свойства:
1)
M
⊂
M,
2)
M
=
M,
3)
M
1
⊂
M
2
→
M
1
⊂
M
2
,
4)
M
1
∪
M
2
=
M
1
∪
M
2
.
Доказательство.
Пусть
x
∈
M
, тогда
(
∀
ε >
0)[
x
∈
B
(
x, ε
)
∩
M
]
. Следова-
тельно,
x
∈
M
и доказано 1).
2) Из 1) следует включение
M
⊂
M
. Покажем, что
M
⊂
M
.
Возьмем
x
∈
M
, тогда
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
6
=
∅
]
. Поэтому найдется
y
∈
B
(
x, ε
)
∩
M
. Обозначим
δ
=
ρ
(
x, y
)
< ε
. Покажем, что
B
(
y, ε
−
δ
)
⊂
B
(
x, ε
)
.
Действительно, если
z
∈
B
(
y, ε
−
δ
)
, то
ρ
(
z, x
)
≤
ρ
(
z, y
)+
ρ
(
y, x
)
< ε
−
δ
+
δ
=
ε
.
Следовательно,
z
∈
B
(
x, ε
)
. Далее воспользуемся тем, что
y
∈
M
, тогда
B
(
y, ε
−
δ
)
∩
M
6
=
∅
. Тем более
B
(
x, ε
)
∩
M
6
=
∅
, то есть
x
∈
M
.
3) Пусть
x
∈
M
1
. Тогда
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
1
6
=
∅
]
, следовательно,
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
2
6
=
∅
]
. Таким образом,
x
∈
M
2
, то есть
M
1
⊂
M
2
.
— 17 —
4) Так как
M
1
⊂
M
1
∪
M
2
и
M
2
⊂
M
1
∪
M
2
, то по третьему свойству
M
1
⊂
M
1
∪
M
2
и
M
2
⊂
M
1
∪
M
2
. Отсюда
M
1
∪
M
2
⊂
M
1
∪
M
2
.
Установим обратное включение. Возьмем
x
∈
M
1
∪
M
2
, что означает
B
(
x, ε
)
∩
(
M
1
∪
M
2
)
6
=
∅
для любого
ε >
0
. Справедливо равенство
B
(
x, ε
)
∩
(
M
1
∪
M
2
) = (
B
(
x, ε
)
∩
M
1
)
∪
(
B
(
x, ε
)
∩
M
2
)
.
Поэтому
[
B
(
x, ε
)
∩
M
1
6
=
∅
]
∨
[
B
(
x, ε
)
∩
M
2
6
=
∅
]
и тогда
(
x
∈
M
1
)
∨
(
x
∈
M
2
)
.
Следовательно,
x
∈
M
1
∪
M
2
.
♥
•
Задача.
6.1. Доказать, что для любых множеств
A
и
B
в метрическом пространстве
выполняется
A
∩
B
⊂
A
∩
B
. Привести пример строгого включения.
Теорема 2.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Точ-
ка
x
∈
M
тогда и только тогда, когда существует последовательность
{
x
n
} ⊂
M
такая, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
.
Доказательство.
Пусть
x
∈
M
. Возьмем последовательность
{
ε
n
}
та-
кую, что
ε
n
&
0
при
n
→ ∞
. Тогда
(
∀
n
) [
B
(
x, ε
n
)
∩
M
6
=
∅
]
. Выберем
x
n
∈
B
(
x, ε
n
)
∩
M
. Получили последовательность
{
x
n
} ⊂
M
такую, что вы-
полняется
ρ
(
x
n
, x
)
< ε
n
. Это означает, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
.
Пусть теперь последовательность
{
x
n
} ⊂
M
и
x
n
→
x
при
n
→ ∞
. То-
гда
(
∀
ε >
0)(
∃
n
)[
ρ
(
x
n
, x
)
< ε
]
. Следовательно,
x
n
∈
B
(
x, ε
)
∩
M
, то есть
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
6
=
∅
]
и
x
∈
M
.
♥
Точка
x
называется
предельной точкой
множества
M
, если
(
∀
ε >
0)(
∃
y
6
=
x
)[
y
∈
B
(
x, ε
)
∩
M
]
.
Точка
x
называется
изолированной точкой
множества
M
, если
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
=
{
x
}
]
.
Заметим, что всякая точка прикосновения множества является либо пре-
дельной точкой этого множества, либо его изолированной точкой. Таким об-
разом,
M
получается из множества
M
путем присоединения к нему всех его
предельных точек.
§
7. Замкнутые множества
Множество
F
в метрическом пространстве называется
замкнутым
, если
F
=
F
, то есть
F
содержит все свои точки прикосновения
(
F
⊂
F
)
. Так как
изолированные точки множества
F
принадлежат
F
, то, другими словами,
множество
F
замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Из второго свойства теоремы 1 следует, что для любого множества
M
его
замыкание
M
является замкнутым множеством. Приведем другие примеры
замкнутых множеств.
— 18 —
1.
Всякий замкнутый шар
B
[
x
0
, r
]
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
яв-
ляется замкнутым множеством.
Действительно, возьмем
x
∈
B
[
x
0
, r
]
. Тогда (теоремы 2) существует по-
следовательность
{
x
n
} ⊂
B
[
x
0
, r
]
такая, что
x
n
→
x
при
n
→ ∞
. Так
как
ρ
(
x
n
, x
0
)
≤
r
, то при
n
→ ∞
получим
ρ
(
x, x
0
)
≤
r
. Следовательно,
x
∈
B
[
x
0
, r
]
и
B
[
x
0
, r
]
⊂
B
[
x
0
, r
]
, то есть шар
B
[
x
0
, r
]
– замкнутое множество.
♥
Отсюда, в частности, следует, что всякий отрезок
[
a, b
] =
B
[
a
+
b
2
,
b
−
a
2
]
явля-
ется замкнутым множеством на прямой
R
1
.
2.
Пустое множество
∅
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
является за-
мкнутым множеством.
Действительно, возьмем
x
∈
X
. Тогда
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
∅
=
∅
]
. Следо-
вательно,
(
∀
x
∈
X
)[
x /
∈
∅
]
, то есть
∅
=
∅
.
♥
3.
Множество
X
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
является замкнутым
множеством.
Действительно, для любого множества
M
⊂
X
множество
M
⊂
X
. Поэто-
му и
X
⊂
X
. Следовательно,
X
– замкнутое множество.
♥
•
Задачи:
7.1. Показать, что в дискретном метрическом пространстве
X
с метрикой
ρ
(
x, y
) =
(
0
,
x
=
y
1
,
x
6
=
y
всякое множество замкнуто.
7.2. Показать, что замыкание открытого шара в метрическом простран-
стве содержится в соответствующем замкнутом шаре, но может с ним не
совпадать.
7.3. Доказать замкнутость в метрическом пространстве любого конечного
множества.
7.4. В
X
– МП даны две точки
a, b
∈
X
. Доказать замкнутость множества
{
x
∈
X
|
ρ
(
x, a
) =
ρ
(
x, b
)
}
.
7.5. Пусть
f
(
x
)
– непрерывная на
R
1
функция. Доказать, что для любого
a
∈
R
1
в
R
1
замкнуто множество
{
x
∈
R
1
|
f
(
x
)
≤
a
}
.
7.6. Доказать, что для любой функции
x
o
∈
C
[
a, b
]
в пространстве
C
[
a, b
]
замкнуто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
(
∀
t
∈
[
a, b
])[
x
(
t
)
≤
x
o
(
t
)]
}
.
7.7. Пусть
Q
– метрическое пространство рациональных чисел с метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
. Доказать, что в
Q
замкнуто множество
{
x
∈
Q
|
2
< x
2
<
3
}
.
— 19 —
7.8. Доказать, что в пространстве
C
[
a, b
]
замкнуто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
[
|
x
(
t
)
| ≤
1]
∧
[
x
(
a
) =
x
(
b
) = 0]
}
.
Теорема 3.
В метрическом пространстве объединение конечного числа и
пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутые множества.
Доказательство.
1. Пусть
F
=
S
n
k
=1
F
k
и
F
k
=
F
k
(
k
= 1
, n
)
. Из теоремы
1 (свойство 4) следует, что
F
=
S
n
k
=1
F
k
=
S
n
k
=1
F
k
=
S
n
k
=1
F
k
=
F
,
то есть
F
=
F
и множество
F
замкнуто.
2. Пусть
F
=
T
ξ
F
ξ
, где
(
∀
ξ
) [
F
ξ
=
F
ξ
]
. Возьмем
x
∈
F
, тогда
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
F
6
=
∅
]
. Следовательно,
(
∀
ε >
0)(
∀
ξ
)[
B
(
x, ε
)
∩
F
ξ
6
=
∅
]
. Та-
ким образом,
(
∀
ξ
)[
x
∈
F
ξ
=
F
ξ
]
, что означает
x
∈
F
. Следовательно,
F
⊂
F
и множество
F
замкнуто.
♥
•
Задача.
7.9. Построить счетную последовательность замкнутых множеств, объеди-
нение которых не является замкнутым.
8. Внутренние точки и внутренность множеств
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Точка
x
∈
X
называ-
ется
внутренней
точкой множества
M
, если
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
⊂
M
]
.
•
Задача.
8.1. В пространстве
C
[
−
1
,
1]
даны множество
A
и элемент
x
0
. Проверить,
что
x
0
является для
A
внутренней точкой:
а
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
x
(
t
)
≤
1]
}
,
x
0
(
t
) = sin
t
;
б
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
|
x
(
t
)
| ≤
1]
}
,
x
0
(
t
) =
t/
2;
в
)
A
=
{
x
|
(
∀
t
∈
[
−
1
,
1])[
x
(
t
)
< t
]
}
,
x
0
(
t
) =
t
−
1
.
Множество всех внутренних точек множества
M
называется
внутренно-
стью
множества
M
и обозначается
M
◦
.
Теорема 4.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Для любых мно-
жеств
M, M
1
, M
2
⊂
X
выполняются следующие свойства:
1)
M
◦
⊂
M,
2) (
M
◦
)
◦
=
M
◦
,
3)
M
1
⊂
M
2
→
M
◦
1
⊂
M
◦
2
,
4) (
M
1
∩
M
2
)
◦
=
M
◦
1
∩
M
◦
2
.
Доказательство.
Свойство 1) очевидно.
2) Из 1) следует, что
(
M
◦
)
◦
⊂
M
◦
. Покажем обратное включение.
Пусть
x
∈
M
◦
. Тогда
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
⊂
M
]
. Возьмем
y
∈
B
(
x, ε
)
. Пусть
ρ
(
y, x
) =
δ < ε
, тогда
B
(
y, ε
−
δ
)
⊂
B
(
x, ε
)
⊂
M
. Итак,
y
∈
M
◦
и
B
(
x, ε
)
⊂
— 20 —
M
◦
. Следовательно,
x
∈
(
M
◦
)
◦
и
M
◦
⊂
(
M
◦
)
◦
.
3) Пусть
x
∈
M
◦
1
. Тогда
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
⊂
M
1
]
. Но
M
1
⊂
M
2
, поэтому
B
(
x, ε
)
⊂
M
2
. Таким образом,
x
∈
M
◦
2
и
M
◦
1
⊂
M
◦
2
.
4) Заметим, что
M
1
∩
M
2
⊂
M
1
и
M
1
∩
M
2
⊂
M
2
. Из свойства 3) следует, что
(
M
1
∩
M
2
)
◦
⊂
M
◦
1
и
(
M
1
∩
M
2
)
◦
⊂
M
◦
2
. Следовательно,
(
M
1
∩
M
2
)
◦
⊂
M
◦
1
∩
M
◦
2
.
Покажем обратное включение. Пусть
x
∈
M
◦
1
∩
M
◦
2
. Тогда
(
x
∈
M
◦
1
)
∧
(
x
∈
M
◦
2
)
. Это означает, что
(
∃
ε
1
>
0)[
B
(
x, ε
1
)
⊂
M
1
]
∧
(
∃
ε
2
>
0)[
B
(
x, ε
2
)
⊂
M
2
]
.
Возьмем
ε
= min
{
ε
1
, ε
2
}
. Тогда
B
(
x, ε
)
⊂
M
1
∩
M
2
. Таким образом, доказали
x
∈
(
M
1
∩
M
2
)
◦
и
M
◦
1
∩
M
◦
2
⊂
(
M
1
∩
M
2
)
◦
.
♥
•
Задача.
8.2. Доказать, что для любых множеств
A
и
B
в метрическом пространстве
выполняется
A
o
∪
B
o
⊂
(
A
∪
B
)
o
. Привести пример строгого включения.
Теорема 5.
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство и
M
⊂
X
. Тогда
выполняются следующие свойства:
1)
X
\
M
◦
=
X
\
M,
2)
X
\
M
= (
X
\
M
)
◦
.
Доказательство.
Свойства 1) и 2) следуют из соответствующих цепочек
равносильных утверждений.
1) (
x
∈
X
\
M
◦
)
←→
(
x /
∈
M
◦
)
←→
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
6⊂
M
]
←→
(
∀
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
(
X
\
M
)
6
=
∅
]
←→
(
x
∈
X
\
M
)
.
2) (
x
∈
X
\
M
)
←→
(
x /
∈
M
)
←→
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
∩
M
=
∅
]
←→
(
∃
ε >
0)[
B
(
x, ε
)
⊂
X
\
M
]
←→
(
x
∈
(
X
\
M
)
◦
)
.
♥
§
9. Открытые множества
Множество
A
в метрическом пространстве называется
открытым
, если
A
=
A
◦
, то есть всякая точка множества
A
является внутренней (
A
⊂
A
◦
).
Из второго свойства теоремы 4 следует, что для любого множества
A
его
внутренность
A
◦
является открытым множеством. Приведем другие примеры
открытых множеств.
1.
Всякий открытый шар
B
(
x
0
, r
)
в метрическом пространстве
{
X, ρ
}
яв-
ляется открытым множеством.
Действительно, пусть
x
∈
B
(
x
0
, r
)
. Тогда
ρ
(
x, x
0
) =
λ < r
. Выполняется
включение
B
(
x, r
−
λ
)
⊂
B
(
x
0
, r
)
, что и означает
B
(
x
0
, r
)
⊂
B
◦
(
x
0
, r
)
.
♥
Отсюда, в частности, следует, что всякий интервал
(
a, b
) =
B
(
a
+
b
2
,
b
−
a
2
)
является открытым множеством на прямой
R
1
.