(9)

Таким образом,



, (10)

где , , – компоненты вектора , определяются выражением (6), а , , – выражением (9).

При этом управления определяются выражением (2):

,

где

,

.

5. Случай безразличного Центра.

Перейдем теперь к задаче Центра (1)-(2).(5)-(6).

Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:



(11)

при условиях , , , где

.

Уравнение(11) принимает вид:



. (12)

Функцию Беллмана в нашей ситуации мы считаем линейной:

.

Покажем, что , , . Приравнивая в (12) коэффициенты при первых степенях в левой и правой частях, получаем дифференциальные уравнения для :

,

совпадающее с дифференциальными уравнениями (4) с теми же граничными условиями

,

поэтому

, ,

---

. (13)

С учетом (13) мы можем переписать (12) в виде:

. (14)

Заметим, что безусловная максимизация выражения (14) дает величину ресурсов

.

Но в таком случае



В таком случае Центру невыгодно выделять агенту ресурсы в количестве

. (15)

В таком случае Центр выделяет агенту влияния столько ресурсов, сколько тот готов потратить на общие цели, т.е.



Поэтому, если

,

то Центр предоставляет каждому агенту влияния ресурсы в объеме (15). Остается только вопрос, как Центру распределить ресурсы между объектами влияния в случае, если ? Ответ на этот вопрос дает условная максимизация выражения (14).

Максимизируя правую часть выражения (14) по , ,при условии , получаем

.

Таким образом, в те моменты времени , когда

,

оптимальным управлением Центра является

, .

В те же моменты времени , когда

,

оптимальным управлением Центра является

, .

Записывая оба выражения для единой формулой, получаем оптимальное управление Центра:

---

, (16)

, ,

где

.

Зная вид управления (16), мы можем упростить (14), поскольку

,

а последнее слагаемое в (14)



,

Приравнивая свободные члены в левой и правой частях уравнения (14), получаем дифференциальное уравнение для :

, (17)

Решаем уравнение (17) методом вариации произвольной постоянной:

.

При имеем

,

Таким образом, максимальный гарантированный выигрыш Центра

(19)

где , , – компоненты вектора , определяются выражением (6), а , – выражением (18).

Вычислим индекс системной согласованности

. (20)

В нашем случае множество равновесных стратегий каждого агента влияния при заданной стратегии Центра одноточечно, поэтому числитель выражения (20) равен правой части формулы (19).

Чтобы вычислить знаменатель в выражении (20), предположим, что каждый агент влияния максимизирует не свою полезность, а полезность Центра при заданной стратегии Центра, т.е. решает задачу:

,

(4)-(6).

Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана

(21)

при условии .

Максимизируя по , ,

---

, получаем

,

и, естественно,

.

Поскольку функции Беллмана в нашей ситуации мы считаем линейными,

, (22)

можем записать уравнение (21) с учетом (22) в виде



.. (23)

Приравнивая коэффициенты при первых степенях xв левой и правой частях (23), получаем дифференциальные уравнения для коэффициентов :

, (24)

здесь , совпадающее с уравнением (4), решение которой

, (26)

в частности, при :

. (27)

Выбирая теперь максимальное значение правой части (23) в зависимости от суммы , имеем

,

что и было изначально понятно, коль скоро агенты влияния заботятся не о своей выгоде, а о выгоде Центра.

Итак, стратегии агентов влияния в данном случае:

, (28)

и, следовательно,

,

где , – компоненты вектора , который определяется выражением (26).

Перейдем к задаче Центра (1)-(2),(5), причем условие (29) с учетом (28) мы можем сразу записать в виде

. (30)

Выпишем уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана:



(31)

при условии , , .

Функцию Беллмана в нашей ситуации мы считаем линейной:

---

,

поэтому уравнение (31) принимает вид:



(32)

при условии , , .

Покажем, что , , . Приравнивая в (32) коэффициенты при первых степенях в левой и правой частях, получаем дифференциальные уравнения для :

,

совпадающее с дифференциальными уравнениями (4) с теми же граничными условиями

,

поэтому

, , . (33)

С учетом (33) мы можем переписать (32) в виде:

(34)

при условии , , .Заметим, что безусловная максимизация выражения (34) дает величину ресурсов

. (35)

Таким образом, Центр заинтересован в том, чтобы предоставить каждому агенту влияния i ресурсы в объеме (35). Поэтому, если

,

то Центр предоставляет каждому агенту влияния ресурсы в объеме (35). Остается только вопрос, как Центру распределить ресурсы между объектами влияния в случае, если ? Ответ на этот вопрос дает условная максимизация выражения (34).

Максимизируя правую часть выражения (34) по ,

---

Смотрите также файлы

• Автореферат бакалаврской работы.docx

• Экономика организации.3.docx

• Проверяемое задание 4 Глава Методы коррекционной работы. Составление программы психокоррекционной работы.docx

• Практические задания 1 3.docx

• Занятие здорово здоровым быть.docx