ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2471
Скачиваний: 1
1) х
0
=0
.
2
0
cos
2
)
0
(
f
;
2
)
x
2
(
lim
)
x
(
f
lim
;
2
0
cos
2
x
cos
2
lim
)
x
(
f
lim
0
x
0
0
x
0
x
0
0
x
Следовательно функция непрерывна в точке х
0
=0.
2) х
0
=0.
.
1
10
3
6
3
)
3
(
f
;
1
10
18
9
)
10
x
6
x
(
lim
)
x
(
f
lim
;
1
)
x
2
(
lim
)
x
(
f
lim
2
2
3
x
0
3
x
3
x
0
3
x
Следовательно функция разрывна в точке х
0
=3.
Сделаем чертеж
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции
4
x
при
3
x
4
x
0
при
1
tgx
2
0
x
при
x
2
1
)
x
(
f
.
Решение
Функция непрерывна в интервалах (-
, 0), (0,
/4), (
/4,+
). Проверим
функцию на непрерывность в точках х
0
=0 и
/4. Воспользуемся
определением непрерывности функции f(x) в точке х
0
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
0
x
x
0
0
.
1) х
0
=0
.
1
)
0
(
f
)
x
(
f
;
1
)
1
tgx
2
(
lim
)
x
(
f
lim
;
1
)
x
2
1
(
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
0
0
x
0
x
0
0
x
Следовательно функция непрерывна в точке х
0
=0.
2) х
0
=
/4.
.
3
4
)
4
(
f
)
x
(
f
;
3
4
)
3
x
(
lim
)
x
(
f
lim
;
3
)
1
tgx
2
(
lim
)
x
(
f
lim
0
4
x
0
4
x
4
x
0
4
x
Следовательно функция разрывна в точке х
0
=3.
Сделаем чертеж
3
2
1
0
1
2
3
4
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Задания для самосоятельного решения:
1. Доказать, что функция
)
(
x
f
непрерывна в точке
0
x
.
1.
.
6
,
1
5
)
(
0
2
x
x
x
f
2.
.
5
,
2
4
)
(
0
2
x
x
x
f
2. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции
4
x
при
3
x
4
x
0
при
1
tgx
2
0
x
при
x
2
1
)
x
(
f
.
3. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции
3
x
при
x
3
x
1
при
)
x
1
(
1
x
при
x
1
)
x
(
f
2
.
4. Доказать, что функция
)
(
x
f
непрерывна в точке
0
x
.
а).
.
4
,
3
3
)
(
0
2
x
x
x
f
б).
.
3
,
4
2
)
(
0
2
x
x
x
f
Дополнительные задания
1.Вычислить:
1).
.
sin
cos
1
lim
0
x
x
x
x
2).
.
1
)
ln(
2
arcsin
lim
0
x
e
x
x
3).
.
))
1
2
/
(
sin(
1
lim
4
0
x
e
x
x
4).
.
)
1
(
)
cos(
1
lim
2
3
0
x
x
e
x
5)
.
1
1
lim
4
3
1
x
x
x
6).
.
2
lim
2
x
x
tg
x
7).
.
)
2
/
sin(
1
lim
x
x
x
8).
.
3
cos
2
1
lim
3
/
x
x
x
9).
.
)
(cos
lim
)
sin
(
1
0
x
x
x
x
10).
.
)
3
sin
1
(
lim
cos
ln
1
2
0
x
x
x
11).
.
))
4
(
(
lim
0
ctgx
x
x
tg
12).
.
)
sin
1
(
lim
)
1
ln(
1
2
0
3
x
x
x
x
13).
.
4
2
lim
cos
0
x
x
x
x
14).
.
2
6
sin
lim
2
0
x
x
x
x
15).
.
1
lim
)
1
/(
6
2
0
2
x
x
x
x
e
16).
.
3
sin
2
sin
lim
2
0
x
x
x
x
2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции
а)
2
x
при
3
x
2
x
0
при
x
2
0
x
при
x
sin
3
)
x
(
f
2
. б)
2
x
при
3
x
2
x
0
при
x
2
0
x
при
x
sin
3
)
x
(
f
2
в)
3
x
при
8
x
6
x
3
x
0
при
x
2
0
x
при
x
cos
3
)
x
(
f
2
Производная функции в точке. Правила дифференцирования
1.Производная функции в точке. Ее геометрический и
физический смысл.
2.Правила дифференцирования.
Теоретическая часть:
Производной функции в точке
х
0
называется число, равное пределу
отношения приращения функции
у
к вызвавшему его приращению
аргумента
х
, при условии, что
х
0, т.е.
x
y
x
f
x
0
0
lim
)
(
'
.
Производная функции имеет несколько обозначений:
у’,f’(x)
. Процесс
нахождения производной функции называется
дифференцированием
этой
функции.
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной:
производная
f’(x
0
)
есть угловой коэффициент касательной, проведенной к
кривой у=f(x) в точке
х
0
)
x
(
'
f
k
кас
.
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=f
(x
0
)
(x-x
0
).
Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=
)
x
(
'
f
1
0
(x-x
0
).
Из задачи о мгновенной скорости следует механический смысл
производной: производная пути по времени
S’(t
0
)
есть скорость точки в
момент времени
t
0
.
Таблица производных элементарных функций
1)
1
/
k
k
x
k
x
2)
x
x
2
1
/
3)
x
x
1
ln
/
4)
a
a
a
x
x
ln
/
5)
x
x
e
e
/
6)
x
x
cos
sin
/
7)
x
x
sin
cos
/
8)
x
tgx
2
/
cos
1
9)
x
ctgx
2
/
sin
1
10)
2
/
1
1
arcsin
x
x
11)
2
/
1
1
arccos
x
x
12)
2
/
1
1
x
arctgx
13)
2
/
1
1
x
arcctgx
14)
a
x
x
a
ln
1
log
/
Кроме таблицы производных основных элементарных функций при
нахождении производных пользуются следующими правилами:
(с=const, u=u(x), v=v(x))
1) c′=0 2) (u±v)′=u′±v′ 3) (cu)′=c·u′ 4) (uv)′=u′v+uv′
5)
0
,
'
'
2
/
v
v
uv
v
u
v
u
Практическая часть:
1. Составить уравнения касательной и нормали к параболе у=х
2
-3х+5,
проведенной в точке М(2, 3). Найти угол, образованный касательной с
осью абсцисс.
Решение
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=f
(x
0
)
(x-x
0
).
Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке M(x
0
;y
0
) имеет вид
y-y
0
=
)
x
(
'
f
1
0
(x-x
0
).
Известно х
0
=2, у
0
=3. Найдем производную
у
=2х-3. Тогда при х=2 f
(x
0
)=f
(2)=4-3=1.
y-3=1
(x-2); у=х+1–уравнение касательной.
у-3=-1
(х-2); у=-х+5–уравнение нормали.
Производная функции в данной точке численно равна угловому
коэффициенту касательной, поэтому
tg
=1
=45
.
Сделаем чертеж. Для этого перепишем уравнение параболы в виде