Файл: Тике в школе Организация элективного курса по математике для изучения приложений производной.docx

, стоит отметить их важнейшую роль в развитии базового курса математики и получении дополнительной подготовки. Помимо этого, они способствуют развитию кругозора и интеллектуальных способностей школьников, способствуют совершенствованию аналитического мышления.

---

Глава 2. Методические аспекты организации элективного курса по математике для изучения приложений производной

2.1 Понятие производной и её приложения

Производная функции – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке [8].

Определяется производная как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:



Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Физический смысл производной заключается в том, что, если функция и ее аргумент являются физическими величинами, то производная – это скорость изменения величины относительно величины [17].

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции (рисунок 4) в точке , где [8].



Рисунок 2. Геометрический смысл производнойи функции

На рисунке 3 представлена таблица производных элементарных функций.



Рисунок 3. Таблица производных

Одним из важнейших приложений дифференциального исчисления является разработка общих методов исследования функции. Производная используется также при решении экстремальных задач, которые сводятся к нахождению наибольших или наименьших значений функции в области её определения. Такие задачи возникают в различных областях знаний, в том числе в физике и экономике. В каждой конкретной задаче, прежде чем приступить к её решению, надо выяснить, существует ли наибольшее или наименьшее значение рассматриваемой функции. Ответ на этот вопрос даёт теорема Карла Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает хотя бы раз своего наибольшего или наименьшего значений на этом отрезке. На эту теорему опирается ряд других теорем, которые служат теоретической основой многих приложений производной [23].

---

Большинство функций на разных промежутках области определения ведут себя по-разному, на одних возрастают, на других убывают. Рассмотрим поведение функции на интервале .

Так, если для любых двух точек и х₂ из интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для будет , то функция называется возрастающей на ; если для будет , то функция называется убывающей на .

Функция, которая на интервале только возрастает или только убывает, называется монотонной. Узнать, является ли функция возрастающей или убывающей, можно используя некоторые теоремы. Рассмотрим их.

Теорема 1. Если функция дифференцируема на и возрастает, то её первая производная неотрицательна во всех точках этого интервала, то есть на .

Теорема 2. Если функция убывает на , то , то есть производная первого порядка неположительна на [17].

Эти теоремы определяют необходимые признаки возрастания и убывания функции на интервале. Для обоснования этих теорем сошлёмся на геометрический смысл производной. Производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в каждой её точке, где производная существует. Легко видеть (рисунок 6), что если функция возрастает, то угол наклона касательной острый (в точках А, С) или, в крайнем случае, равен нулю (в точке В), но тангенс острого угла положительный, а угла нулевой величины равен нулю. Таким образом, для возрастающей на

---

функции .



Рисунок 4. График возрастающей функции

Аналогично, если функция дифференцируема на и убывает, то углы наклона касательных к положительному направлению оси абсцисс тупые (или равны нулю) (рисунок 7). Но тангенсы тупых углов отрицательны, а нулевых — равны нулю. Следовательно, .



Рисунок 5. График убывающей функции

Обратные теоремы определяют достаточные признаки возрастания и убывания функции:

Если на , то функция возрастает на .

Если на , то функция убывает на [1].

Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727) отметил, что понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора – перемещения точки за промежуток времени. Простейший случай — движение точки по прямой. При прямолинейном движении точки ее положение, перемещение, скорость, ускорение и другие характеристики, которые имеют векторный смысл, можно задать числом, то есть считать скалярными величинами. Ускорение произвольного движения определяется как скорость изменения скорости, то есть как производная скорости по времени: [17].

Так как скорость есть производная координаты

---

, а ускорение есть производная скорости, то ускорение называют второй производной координаты и обозначают так: .

Через координату точки и ее производные можно выразить другие механические величины:

– сила , где m — масса;

– импульс .

В математике производные имеют широкое применение. Они используются во многих ситуациях, например: нахождение максимумов или минимумов функции, нахождение угла наклона кривой и точек перегиба. Наиболее распространенное использование применения производных заключается в:

– нахождении скорости изменения величины;

– нахождении значения аппроксимации;

– нахождении уравнения касательной и нормали к кривой;

– нахождении точек максимума, минимума и перегиба;

– определении возрастающих и убывающих функций [10].

Производную функции можно применить там, где есть неравномерное протекание процесса: переменный ток, радиоактивный распад и другие химические реакции, неравномерное механическое движение и другие [38]. Например, в таких областях:

1. 
   В физике: при решении задач на скорость движения материальной точки в некоторый момент времени, а также для вычисления наибольшего и наименьшего значения какой-либо величины;
   
2. 
   В химии: для построения математических моделей химических реакций, для описания их свойств. Скорость реакции выражают производной по времени концентрации реагирующих веществ, так как она непрерывно изменяется в ходе процесса;
   
3. 
   В экономике: для нахождения производительности труда, максимальной выпуска и прибыли, минимальных издержек. Каждый из этих показателей представляет функцию от одной или нескольких переменных, нахождение которых сводится к нахождению производной.
   

---