Файл: Портфельные инвестиции_Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф_МФПА 2005 -62с.pdf

21

3.

Оптимизация

инвестиционного

портфеля

Решение

проблемы

оптимального

распределения

долей

капитала

между

ценными

бумагами

, 

сводящего

общий

риск

к

минимальному

уровню

, 

и

составление

оптимального

портфеля

было

предложено

в

 50-

е

годы

ХХ

века

американским

ученым

Г

. 

Марковицем

. 

Формализованная

модель

Г

. 

Марковица

, 

а

также

разработанная

в

начале

 60-

х

годов

модель

В

Шарпа

, 

позволяет

добиваться

формирования

такого

инвестиционного

портфеля

, 

который

бы

отвечал

потребностям

и

целям

каждого

индивидуального

инвестора

. 

Как

любая

формализованная

модель

, 

указанные

модели

имеют

ряд

допущений

и

могут

быть

реализованы

только

при

определенных

условиях

 (

на

отечественном

фондовом

рынке

не

все

есть

условия

). 

В

 1952 

г

. 

американский

экономист

Г

. 

Марковиц

опубликовал

статью

 “Portfolio Selection”, 

которая

легла

в

основу

теории

инвестиционного

портфеля

1

. 

Г

. 

Марковиц

исходил

из

предположения

о

том

, 

что

инвестирование

рассматривается

как

однопериодовый

процесс

, 

т

.

е

. 

полученный

в

результате

инвестирования

доход

не

реинвестируется

. 

Другим

важным

исходным

положением

в

теории

Г

. 

Марковица

является

идея

об

эффективности

рынка

ценных

бумаг

. 

Под

эффективным

рынком

понимается

такой

рынок

, 

на

котором

вся

имеющаяся

информация

трансформируется

в

изменение

котировок

ценных

бумаг

; 

это

рынок

, 

который

практически

мгновенно

реагирует

на

появление

новой

информации

. 

В

своих

теоретических

исследованиях

Марковиц

полагал

, 

что

значения

доходности

ценных

бумаг

являются

случайными

величинами

, 

распределенными

по

нормальному

 (

Гауссовскому

) 

закону

. 

В

этой

связи

Марковиц

считал

, 

что

инвестор

формируя

свой

портфель

, 

оценивает

лишь

два

показателя

 E(r) – 

ожидаемую

доходность

и

σ

 - 

стандартное

отклонение

как

меру

риска

  (

только

эти

два

показателя

определяют

плотность

вероятности

случайных

чисел

при

нормальном

распределении

). 

Следовательно

, 

инвестор

должен

оценить

доходность

и

стандартное

отклонение

каждого

портфеля

и

выбрать

наилучший

портфель

, 

который

больше

всего

удовлетворяет

его

желания

 – 

обеспечивает

максимальную

доходность

r

при

допустимом

значении

риска

σ

. 

Какой

при

этом

конкретный

портфель

предпочтет

инвестор

, 

зависит

от

его

оценки

соотношения

 “

доходность

-

риск

”. 

1

За

ее

рзработку

Г

. 

Марковиц

получил

Нобелевскую

премию

.

22

3.1

Эффективные

портфели

Ключ

к

решению

проблемы

выбора

оптимального

портфеля

лежит

в

теореме

о

существовании

эффективного

набора

портфелей

, 

так

называемой

границы

эффективности

. 

Суть

теоремы

сводится

к

выводу

о

том

, 

что

любой

инвестор

должен

выбрать

из

всего

бесконечного

набора

портфелей

такой

портфель

, 

который

: 

1.

Обеспечивает

максимальную

ожидаемую

доходность

при

каждом

уровне

риска

. 

2.

Обеспечивает

минимальный

риск

для

каждой

величины

ожидаемой

доходности

. 

Набор

портфелей

, 

которые

минимизируют

уровень

риска

при

каждой

величине

ожидаемой

доходности

, 

образуют

так

называемую

границу

эффективности

. 

Э

ффективный

портфель

 – 

это

портфель

, 

который

обеспечивает

минимальный

риск

при

заданной

величине

 E(r) 

и

максимальную

отдачу

при

заданном

уровне

риска

. 

Та

часть

риска

портфеля

, 

которая

может

быть

устранена

путем

диверсификации

, 

называется

дивесрифицируемым

, 

или

несистематическим

риском

. 

Доля

же

риска

, 

которая

не

устранятся

диверсификацией

, 

носит

название

недиверсифицируемого

, 

или

систематического

риска

. 

3.2

Общая

постановка

задачи

нахождения

границы

эффективных

портфелей

Если

портфель

состоит

из

более

чем

из

 2 

ценных

бумаг

, 

то

для

любого

заданного

уровня

доходности

существует

бесконечное

число

портфелей

, 

или

, 

иными

словами

, 

можно

сформулировать

бесконечное

количество

портфелей

, 

имеющих

одну

и

ту

же

доходность

. 

Тогда

задача

инвестора

сводится

к

следующему

: 

из

всего

бесконечного

набора

портфелей

с

ожидаемой

доходностью

 E(r

n

) 

необходимо

найти

такой

, 

который

обеспечивал

бы

минимальный

уровень

риска

. 

Иными

словами

, 

можно

задачу

инвестора

свести

к

следующему

:  

необходимо

найти

минимальное

значение

дисперсии

портфеля

j

i

j

,

i

j

n

1

i

n

i

n

j

i

2

i

2

i

2

n

p

W

W

W

σ

σ

+

σ

=

σ

∑

∑ ∑

=

 (9) 

при

заданных

начальных

условиях

: 

E(r

портфеля

) 

=

*

1

)

(

E

r

E

W

i

n

i

i

=

∑

=

 (10) 

1

W

n

1

i

i

=

∑

=

 (11) 

23

Для

решения

задачи

нахождения

оптимального

портфеля

, 

содержащего

 n 

ценных

бумаг

, 

необходимо

первоначально

вычислить

: 

а

) n 

значений

ожидаемой

доходности

 E(r

i

), 

где

 i = 1, 2,…, n 

каждой

ценной

бумаги

в

портфеле

; 

б

) n 

значений

дисперсий

σ

i

2

каждой

ценной

бумаги

; 

в

) n(n-1)/2 

значений

ковариации

σ

i

2

,j

, 

где

 i,j = 1, 2,…, n. 

Если

подставить

значения

 E(r

i

), 

σ

i

и

σ

i,j

в

выражения

 (9 – 11), 

то

выясняется

, 

что

в

этих

уравнениях

неизвестными

оказываются

только

величины

  W

i

 – “

веса

” 

каждой

ценной

бумаги

в

портфеле

. 

Следовательно

, 

задача

формирования

оптимального

портфеля

из

 n 

ценных

бумаг

по

сути

дела

сводится

к

следующему

: 

для

выбранной

величины

доходности

Е

*

инвестор

должен

найти

такие

значения

 W

i

, 

при

которых

риск

инвестиционного

портфеля

становится

минимальным

. 

Иначе

говоря

, 

для

выбранного

значения

Е

*

инвестор

должен

определить

, 

какие

суммы

инвестиционных

затрат

необходимо

направить

на

приобретение

той

или

иной

ценной

бумаги

, 

чтобы

риск

инвестиционного

портфеля

оказался

минимальным

. 

3.3

Нахождение

оптимального

портфеля

В

теории

Марковица

инвесторы

стремятся

сформировать

портфель

ценных

бумаг

, 

чтобы

максимизировать

получаемую

полезность

. 

Иными

словами

, 

каждый

инвестор

желает

таким

образом

сформировать

портфель

, 

чтобы

сочетание

ожидаемой

доходности

 E(r) 

и

уровня

риска

σ

портфеля

приносило

бы

ему

максимальное

удовлетворение

потребностей

и

минимизировало

риск

при

желаемой

доходности

. 

Разные

инвесторы

имеют

отличные

друг

от

друга

мнения

об

оптимальности

сочетания

 E(r) 

и

σ

, 

поскольку

отношение

одного

инвестора

к

риску

не

похоже

на

желание

рисковать

другого

инвестора

. 

Поэтому

, 

говоря

об

оптимальном

портфеле

, 

надо

иметь

в

виду

, 

что

эта

категория

сугубо

индивидуальна

, 

и

оптимальные

портфели

разных

инвесторов

теоретически

отличаются

друг

от

друга

. 

Тем

не

менее

каждый

оптимальный

портфель

непременно

является

эффективным

, 

то

есть

инвесторы

выбирают

удовлетворяющий

их

  (

оптимальный

) 

портфель

из

эффективных

портфелей

. 

На

практике

конкретный

инвестор

, 

построив

границу

эффективных

портфелей

, 

должен

задать

себе

вопрос

 – 

какую

доходность

он

ожидает

от

портфеля

? 

После

этого

по

кривой

границы

эффективных

он

определяет

уровень

σ

такого

портфеля

. 

Затем

инвестор

должен

оценить

, 

удовлетворяет

ли

его

такой

уровень

риска

. 

Если

инвестор

готов

к

более

высокому

уровню

риска

, 

то

ему

целесообразно

выбрать

портфель

с

более

высокой

 E(r). 

Тот

портфель

, 

который

при

установленной

инвестором

доходности

 E(r) 

даст

наилучшее

сочетание

E(r) 

и

σ

, 

будет

оптимальным

, 

для

данного

инвестора

. 

24

4.

Оптимизация

инвестиционного

портфеля

по

методу

Шарпа

В

 1963 

г

. 

американский

экономист

У

. 

Шарп

 (William Sharpe) 

предложил

новый

метод

построения

границы

эффективных

портфелей

, 

позволяющий

существенно

сократить

объемы

необходимых

вычислений

. 

В

дальнейшем

этот

метод

модифицировался

и

в

настоящее

время

известен

как

одноиндексная

модель

Шарпа

 (Sharpe single-index 

model). 

В

основе

модели

Шарпа

лежит

метод

линейного

регрессионного

анализа

, 

позволяющий

связать

две

переменные

величины

 – 

независимую

Х

и

зависимую

 Y 

линейным

выражением

типа

 Y = 

α

+

β

Х

. 

В

модели

Шарпа

независимой

считается

величина

какого

-

то

рыночного

индекса

. 

Таковыми

могут

быть

, 

например

, 

темпы

роста

валового

внутреннего

продукта

, 

уровень

инфляции

, 

индекс

цен

потребительских

товаров

и

т

.

п

. 

Сам

Шарп

в

качестве

независимой

переменной

рассматривал

норму

отдачи

 r

m

, 

вычисленную

на

основе

индекса

 Standart and Poor’s (S&P500). 

В

качестве

зависимой

переменной

берется

отдача

 r

i

какой

-

то

 i-

ой

ценной

бумаги

. 

Поскольку

зачастую

индекс

 S&P500 

рассматривается

как

индекс

, 

характеризующий

рынок

ценных

бумаг

в

целом

, 

то

обычно

модель

Шарпа

называют

рыночной

моделью

 (Market Model),

а

норму

отдачи

 r

m

 – 

рыночной

нормой

отдачи

. 

Пусть

норма

отдачи

 r

m

принимает

случайные

значения

и

в

течение

N 

шагов

расчета

наблюдались

величины

  r

m1

, r

m2

, ... , r

mN

. 

При

этом

доходность

 r

i

какой

-

то

 i-

ой

ценной

бумаги

имела

значения

 r

i1

, r

i2

, ... , r

iN

. 

В

таком

случае

линейная

регрессионная

модель

позволяет

представить

взаимосвязь

между

величинами

  r

m

и

  r

i

в

любой

наблюдаемый

момент

времени

в

виде

: 

r

i,t

 = 

α

i

 + 

β

i

r

m,t

 + 

ε

i,t  

(12) 

где

: r

i,t

 - 

доходность

 i-

ой

ценной

бумаги

в

момент

времени

 t; 

α

i

 - 

параметр

, 

постоянная

составляющая

линейной

регрессии

, 

показывающая

, 

какая

часть

доходности

 i-

ой

ценной

бумаги

не

связана

с

изменениями

доходности

рынка

ценных

бумаг

 r

m 

; 

β

i

 - 

параметр

линейной

регрессии

, 

называемый

бета

, 

показывающий

чувствительность

доходности

 i-

ой

ценной

бумаги

к

изменениям

рыночной

доходности

; 

r

m,t

 - 

доходность

рыночного

портфеля

в

момент

 t; 

ε

i,t

 - 

случайная

ошибка

, 

свидетельствующая

о

том

, 

что

реальные

, 

действующие

значения

  r

i,t

и

  r

m,t

порою

отклоняются

от

линейной

зависимости

. 

Особое

значение

необходимо

уделить

параметру

β

i

, 

поскольку

он

определяет

чувствительность

доходности

 i-

ой

ценной

бумаги

к

изменениям

рыночной

доходности

. 

25

В

общем

случае

, 

если

β

i

>1, 

то

доходность

данной

ценной

бумаги

более

чувствительная

, 

подвержена

большим

колебаниям

, 

чем

рыночная

доходность

 r

m

. 

Соответственно

, 

при

β

j 

< 1 

ценная

бумага

имеет

меньший

размах

отклонений

доходности

  r

j

от

средней

арифметической

(

ожидаемой

) 

величины

 E(r)

j

, 

чем

рыночная

норма

отдачи

. 

В

этой

связи

ценные

бумаги

с

коэффициентом

β

 > 1 

классифицируются

как

более

рискованные

, 

чем

рынок

в

целом

, 

а

с

β

 < 1 - 

менее

рискованными

. 

Как

показывают

исследования

, 

для

большинства

ценных

бумаг

β

 > 

0, 

хотя

могут

встретиться

ценные

бумаги

и

с

отрицательной

величиной

β

. 

4.1

Определение

ожидаемой

доходности

и

дисперсии

портфеля

Ожидаемая

доходность

портфеля

, 

состоящего

из

 n 

ценных

бумаг

, 

вычисляется

по

формуле

)

r

(

E

W

)

r

(

E

i

n

1

i

i

n

∑

=

=

(13) 

где

 W

i

 - 

вес

каждой

ценной

бумаги

в

портфеле

. 

Подставим

в

эту

формулу

выражение

для

 r

i

из

формулы

 (12): 

)

r

(

E

W

)

(

W

)

r

(

E

W

)

r

(

E

m

i

n

1

i

i

i

i

n

1

i

i

i

m

i

n

1

i

i

i

n

⋅

β

⋅

+

ε

+

α

=

ε

+

β

+

α

=

∑

∑

∑

=

=

=

 (14) 

Для

придания

этой

формуле

компактности

, 

Шарп

предложил

считать

рыночный

индекс

как

характеристику

условной

 (n+1)-

ой

ценной

бумаги

в

портфеле

. 

В

таком

случае

, 

второе

слагаемое

уравнения

(14)

можно

представить

в

виде

: 

)

(

E

W

)

r

(

E

W

1

n

1

n

1

n

m

i

n

1

i

i

+

+

+

=

ε

+

α

=

β

∑

    (15)  

где

: 

∑

=

+

β

=

n

1

i

i

i

1

n

W

W

; (15a) 

m

1

n

1

n

r

=

ε

+

α

+

+

. 

при

этом

считается

, 

что

дисперсия

 (n+1)-

ой

ошибки

равна

дисперсии

рыночной

доходности

: 

2

m

2

1

n

,

σ

=

σ

+

ε

. 

Выражение

 (15a) 

представляет

собой

сумму

взвешенных

величин

  “

беты

” (

β

i

) 

каждой

ценной

бумаги

 (

где

весом

служат

 W

i

) 

и

называется

портфельной

бетой

(

β

n

). 

С

учетом

выражений

 (14) 

и

 (15) 

формулу

 (13) 

можно

записать

так

: 

)

(

E

W

)

r

(

E

1

n

1

i

i

i

i

n

∑

+

=

ε

+

α

=

  (16)