Файл: Портфельные инвестиции_Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф_МФПА 2005 -62с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2021
Просмотров: 728
Скачиваний: 13
26
а
поскольку
E(
ε
i
) = 0,
то
окончательно
имеем
:
i
1
n
1
i
i
n
W
)
r
(
E
α
=
∑
+
=
(17)
Итак
,
ожидаемую
доходность
портфеля
E(r
n
)
можно
представить
состоящей
из
двух
частей
:
а
)
суммы
взвешенных
параметров
α
i
каждой
ценной
бумаги
–
W
1
α
1
+ W
2
α
2
+ .... + W
n
α
n
,
что
отражает
вклад
в
E(r
n
)
самих
ценных
бумаг
,
и
б
)
компоненты
)
r
(
E
W
W
m
i
n
1
i
i
1
n
1
n
β
=
α
∑
=
+
+
,
то
есть
произведения
портфельной
беты
и
ожидаемой
рыночной
доходности
,
что
отражает
взаимосвязь
рынка
с
ценными
бумагами
портфеля
.
4.2
Дисперсия
портфеля
Дисперсия
портфеля
в
модели
Шарпа
представляется
в
виде
:
∑
+
=
ε
σ
=
σ
1
n
1
i
2
i
,
2
i
2
n
W
(18)
При
этом
только
необходимо
иметь
в
виду
,
что
∑
=
+
β
=
n
1
i
i
i
1
n
W
W
то
есть
(W
n+1
)
2
=(W
1
β
1
+ W
2
β
2
+ .... + W
n
β
n
)
2
,
а
2
m
2
1
n
,
σ
=
σ
+
ε
.
Значит
,
дисперсию
портфеля
,
содержащего
n
ценных
бумаг
,
можно
представить
состоящей
из
двух
компонент
:
а
)
средневзвешенных
дисперсий
ошибок
∑
=
ε
σ
n
1
i
2
i
,
2
i
W
,
где
весами
служат
W
i
,
что
отражает
долю
риска
портфеля
,
связанного
с
риском
самих
ценных
бумаг
(
собственный
риск
)
б
)
2
2
m
n
σ
β
-
взвешенной
величины
дисперсии
рыночного
показателя
2
m
σ
,
где
весом
служит
квадрат
портфельной
беты
,
что
отражает
долю
риска
портфеля
,
определяемого
нестабильностью
самого
рынка
(
рыночный
риск
)
В
модели
Шарпа
цель
инвестора
сводится
к
следующему
:
необходимо
найти
минимальное
значение
дисперсии
портфеля
∑
+
=
ε
σ
=
σ
1
n
1
i
2
i
,
2
i
2
n
W
(19)
при
следующих
начальных
условиях
:
*
i
1
n
1
i
i
E
W
=
α
∑
+
=
(20)
1
W
n
1
i
i
=
∑
=
(21)
27
1
n
i
n
1
i
i
W
W
+
=
=
β
∑
(22)
Итак
,
отметим
основные
этапы
,
которые
необходимо
выполнить
для
построения
границы
эффективных
портфелей
в
модели
Шарпа
:
1)
Выбрать
n
ценных
бумаг
,
из
которых
формируется
портфель
,
и
определить
исторический
промежуток
в
N
шагов
расчета
,
за
который
будут
наблюдаться
значения
доходности
r
i,t
каждой
ценной
бумаги
.
2)
По
рыночному
индексу
(
например
, AK&M)
вычислить
рыночные
доходности
r
m,t
для
того
же
промежутка
времени
.
3)
Определить
величину
дисперсии
рыночного
показателя
2
m
σ
,
а
также
значения
ковариаций
σ
i,m
доходностей
каждой
ценной
бумаги
с
рыночной
нормой
отдачи
и
найти
величины
β
i
:
2
m
m
,
i
i
σ
σ
=
β
4)
Найти
ожидаемые
доходности
каждой
ценной
бумаги
E(r
i
)
и
рыночной
доходности
E(r
m
)
и
вычислить
параметр
α
i
:
α
i
= E(r
i
) -
β
i
E(r
m
)
5)
Вычислить
дисперсии
σ
2
ε
,
і
ошибок
регрессионной
модели
6)
Подставить
эти
значения
в
соответствующие
уравнения
После
такой
подстановки
выяснится
,
что
неизвестными
величинами
являются
веса
W
i
ценных
бумаг
.
Выбрав
определенную
величину
ожидаемой
доходности
портфеля
E
*
,
можно
найти
веса
ценных
бумаг
в
портфеле
,
построить
границу
эффективных
портфелей
и
определить
оптимальный
портфель
.
28
5.
Портфель
облигаций
Прежде
чем
перейти
к
исследованию
собственно
проблем
формирования
портфеля
облигаций
,
необходимо
раскрыть
основные
факторы
,
влияющие
на
колебания
цен
облигаций
.
5.1
Волатильность
цены
облигации
Текущая
рыночная
цена
Po
облигации
,
имеющей
m
купонных
выплат
в
год
,
определяется
по
формуле
:
m
n
m
n
1
t
t
t
0
)
m
/
i
1
(
Mn
)
m
/
i
1
(
m
/
C
P
×
×
=
+
+
+
=
∑
(23)
где
-
i/m
величина
доходности
к
погашению
;
C
t
/m
-
купонные
выплаты
;
Mn
-
номинал
;
n
-
число
лет
до
погашения
облигации
.
Под
волатильностью
цены
облигации
понимается
реакция
цены
облигации
на
мгновенное
,
скачкообразное
изменение
ее
доходности
к
погашению
при
прочих
равных
условиях
.
Свойства
волатильности
:
1)
Зависимость
между
доходностью
к
погашению
i
и
рыночной
ценой
облигации
носит
обратный
нелинейный
характер
.
При
этом
,
с
понижением
величины
i
приращения
цены
∆
Po
при
одних
и
тех
же
снижениях
доходности
к
погашению
∆
i
увеличиваются
.
2)
Для
одного
и
того
же
срока
погашения
облигации
,
чем
выше
купонная
ставка
,
тем
слабее
реагирует
цена
облигации
на
одни
и
те
же
изменения
доходности
к
погашению
.
Соответственно
,
чем
ниже
купонная
ставка
,
тем
сильнее
реакция
цены
Po
на
одни
и
те
же
изменения
доходности
к
погашению
.
3)
Если
купонная
ставка
процента
не
меняется
,
то
увеличение
срока
погашения
облигации
вызывает
более
сильную
реакцию
цены
Po
облигации
на
одни
и
те
же
изменения
ее
доходности
к
погашению
i
.
4)
Небольшие
изменения
доходности
к
погашению
приводят
к
одинаковым
изменениям
цены
облигации
в
обоих
направлениях
.
Иными
словами
,
если
доходность
i
возрастает
на
незначительную
величину
,
то
это
приводит
к
такому
процентному
уменьшению
цены
Po
,
которое
приблизительно
будет
равно
процентному
повышению
Po
при
таком
же
незначительном
снижении
i
.
5)
Значительные
изменения
доходности
к
погашению
i
вызывают
асимметричную
реакцию
цен
облигации
:
если
доходность
к
погашению
возрастет
на
несколько
процентов
(
например
, 2%),
то
вызванное
этим
снижение
цены
облигации
будет
в
процентном
отношении
меньше
по
абсолютной
величине
процентного
приращения
цены
облигации
при
снижении
доходности
к
погашению
на
те
же
2%.
6)
При
заданном
уровне
изменения
доходности
к
погашению
∆
i
,
чем
ниже
исходная
доходность
к
погашению
,
тем
выше
реакция
цены
на
изменения
i
.
29
5.2
Дюрация
(
длительность
)
облигаций
Суммируя
все
6
свойств
волатильности
цены
облигации
,
можно
заметить
,
что
на
волатильность
большое
влияние
оказывают
пять
факторов
:
а
)
уровень
доходности
к
погашению
б
)
размах
изменений
доходности
к
погашению
в
)
направления
этих
изменений
г
)
величина
купонной
ставки
д
)
срок
погашения
При
формировании
портфеля
из
облигаций
инвестор
может
воздействовать
только
на
последние
два
фактора
,
поскольку
первые
три
формируются
рыночными
условиями
и
определяются
на
макроэкономическом
уровне
.
В
этой
связи
важным
становится
найти
способ
,
с
помощью
которого
можно
было
оценить
влияние
купонной
ставки
и
срока
погашения
облигации
на
изменения
ее
цены
.
Подобные
оценки
удается
сделать
с
использованием
категории
длительности
(
дюрации
)
облигаций
.
Категория
длительности
(
дюрации
)
была
введена
в
экономическую
теорию
и
практику
в
1938
году
американским
экономистом
Ф
.
Маколи
(Freder
i
ck R.Macauley).
Принято
считать
,
что
длительность
(
дюрация
)
характеризует
"
средний
срок
погашения
"
всего
потока
денежных
выплат
,
обеспечиваемых
облигацией
.
Сам
Маколи
определял
длительность
(
дюрацию
)
как
"
средний
взвешенный
срок
погашения
денежных
потоков
облигации
,
где
"
весами
"
служат
приведенные
стоимости
этих
потоков
денег
".
Длительность
(
дюрация
)
любой
облигации
высчитывается
по
формуле
:
+
×
=
∑
=
n
1
t
t
)
i
1
(
t
момент
в
поток
денежный
t
Po
1
D
где
:
Po
-
рыночная
цена
облигации
;
t
-
период
времени
,
в
течение
которого
поступает
денежный
поток
,
t=
1,2,...,n
лет
;
денежный
поток
в
момент
t
составляют
купонные
выплаты
C
t
и
номинал
Mn
;
n
-
количество
лет
,
в
течение
которых
поступают
купонные
выплаты
;
i
-
годовая
доходность
к
погашению
.
Иными
словами
,
+
×
+
+
×
+
+
+
×
+
+
×
+
+
×
=
n
n
n
3
3
2
2
1
)
i
1
(
Mn
n
)
i
1
(
C
n
)
i
1
(
C
3
)
i
1
(
C
2
)
i
1
(
C
1
Po
1
D
L
Если
начисление
купонных
выплат
производится
раз
в
полгода
,
то
в
этом
случае
величина
длительности
(
дюрации
)
удваивается
:
D
при
полугодичных
выплатах
= 2
D
при
годовых
выплатах
30
Оценим
длительность
(
дюрацию
)
бескупонных
облигаций
.
Поскольку
для
этих
облигаций
все
величины
C
t
=0,
то
:
n
)
i
1
(
Mn
n
Po
1
D
n
=
+
×
=
Следовательно
,
длительность
(
дюрация
)
бескупонных
облигаций
всегда
равняется
сроку
погашения
этой
облигации
-
n
лет
.
Вычисление
дюрации
купонной
облигации
.
Предположим
,
что
инвестор
желает
определить
длительность
купонной
облигации
номинальной
стоимостью
1000
рублей
,
сроком
погашения
5
лет
,
с
купонным
процентом
7%,
выплачиваемым
ежегодно
,
и
доходностью
к
погашению
i
=5%.
Цена
такой
облигации
:
.
уб
р
56
,
1086
)
05
,
1
(
1000
)
05
,
1
(
70
)
i
1
(
Mn
)
i
1
(
C
Po
5
5
1
t
t
n
n
1
t
t
t
=
+
=
+
+
+
=
∑
∑
=
=
Для
вычисления
D
найдем
факторы
дисконта
и
приведенные
стоимости
потоков
денег
,
обеспечиваемых
облигацией
(
в
таблице
1
данные
по
потокам
денег
в
рублях
):
Таблица
1.
Расчет
дюрации
купонной
облигации
Годовой
период
Поток
денег
Фактор
дисконта
PV
потока
денег
t
×
PV
потока
денег
1 2 3 4
5
1 70
0,9524
66,668
1
×
66,638=66,638
2 70
0,9070
63,490
2
×
63,490=126,980
3 70
0,8638
60,466
3
×
60,466=181,398
4 70
0,8227
57,589
4
×
57,589=230,356
5 1070
0,7835
838,345
5
×
838,345=4191,725
Итого
: 1086,558
4797,127
Длительность
D
= 4797,127/1086,558 = 4,415
годам
.
Свойства
длительности
(
дюрации
):
1)
длительность
D
бескупонных
(
чисто
дисконтных
)
облигаций
всегда
равна
их
сроку
погашения
;
2)
D
купонных
облигаций
всегда
ниже
их
срока
погашения
T
.
При
этом
,
если
величина
периодических
купонных
выплат
остается
неизменной
,
то
с
повышением
срока
погашения
T
=
n
×
t
различие
между
длительностью
D
и
сроком
T
возрастает
.
3)
как
правило
,
для
одного
и
того
же
срока
погашения
D
облигации
будет
тем
ниже
,
чем
выше
величина
купонных
выплат
(
и
наоборот
).
Данное
свойство
может
нарушаться
при
высоких
значениях
доходности
к
погашению
i
и
значительном
сроке
погашения
;
4)
если
величины
купонных
выплат
C
t
и
доходности
к
погашению
i
остаются
неизменными
,
то
длительность
D
облигации
как
правило