ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1096
Скачиваний: 2
21
например
,
а
*
kj
≠
0
и
выполняем
преобразование
Жордана
.
Очевидно
,
что
после
k-
го
шага
в
СЛУ
содержится
не
меньше
,
чем
k
уравнений
.
Причем
каждое
из
первых
k
уравнений
содержит
хотя
бы
одно
разрешенное
неизвестное
(
уравнения
с
разрешенными
неизвестными
всегда
можно
записать
выше
уравнений
,
не
имеющих
разрешенных
неизвестных
).
Если
после
k-
го
шага
система
содержит
ровно
k
нетривиальных
уравнений
,
то
процесс
решения
останавливается
.
Если
же
система
содержит
более
,
чем
k
нетривиальных
уравнений
,
то
необходимо
выполнить
k+1
шаг
и
т
.
д
.
Не
более
,
чем
через
m
шагов
(m –
число
уравнений
в
исходной
системе
)
мы
или
убедимся
,
что
исходная
СЛУ
несовместна
,
или
получим
СЛУ
,
каждое
уравнение
которой
содержит
хотя
бы
одно
разрешенное
неизвестное
,
т
.
е
.
получим
разрешенную
систему
,
равносильную
исходной
системе
.
При
этом
число
сделанных
при
решении
шагов
не
больше
числа
уравнений
в
исходной
системе
(k
≤
m).
Так
как
число
уравнений
в
разрешенной
системе
не
превосходит
числа
неизвестных
этой
системы
,
то
число
шагов
,
сделанных
при
решении
СЛУ
(1),
не
превосходит
числа
неизвестных
(k
≤
n).
Таким
образом
:
СЛУ
(1)
является
несовместной
,
если
на
каком
-
то
шаге
мы
получим
систему
,
содержащую
противоречивые
уравнения
.
В
противном
случае
СЛУ
(1)
является
совместной
;
совместная
СЛУ
(1)
будет
определенной
,
если
при
ее
решении
будет
сделано
ровно
n
шагов
(k = n),
и
–
неопределенной
,
если
количество
выполненных
шагов
меньше
числа
неизвестных
(k < n).
Замечание
.
Число
общих
решений
у
СЛУ
с
m
уравнениями
и
с
n
неизвестными
не
превосходит
числа
сочетаний
из
n
по
m ,
т
.
е
. C
m
n
=
)!
(
!
!
m
n
m
n
.
Определение
.
СЛУ
с
нулевыми
свободными
членами
,
т
.
е
.
В
=
Ө
,
называется
однородной
.
Следствие
.
Система
АХ
=
Ө
(*)
однородных
линейных
уравнений
,
в
которой
число
уравнений
меньше
числа
неизвестных
(m < n),
всегда
имеет
ненулевое
решение
.
▲
Любая
система
однородных
линейных
уравнений
совместна
,
т
.
к
.
обладает
нулевым
решением
–
Ө
= (0, … , 0),
при
чем
число
шагов
,
при
решении
такой
системы
методом
Гаусса
,
не
больше
числа
уравнений
системы
(k
≤
m).
Так
как
по
условию
число
уравнений
меньше
числа
неизвестных
в
системе
(m < n),
то
(k < n)
и
система
(*)
является
неопределенной
,
т
.
е
.
имеет
более
одного
решения
,
в
том
числе
и
ненулевое
.
■
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
22
Ответьте
на
вопросы
1.
Напишите
СЛУ
в
матричной
и
векторной
формах
.
2.
Может
ли
некоторое
число
быть
решением
СЛУ
с
числом
переменных
более
одного
?
3.
Когда
несовместная
СЛУ
является
определенной
?
4.
В
каком
случае
две
СЛУ
являются
равносильными
?
5.
Что
общего
и
чем
отличаются
тривиальное
и
противоречивое
уравнения
?
6.
Что
утверждает
теорема
о
СЛУ
с
тривиальным
уравнением
?
7.
Разрешенная
неизвестная
и
разрешающий
элемент
–
это
одно
и
то
же
понятие
?
8.
Как
называют
СЛУ
,
в
каждом
уравнении
которой
имеется
хотя
бы
одна
разрешенная
неизвестная
?
9.
Что
утверждает
теорема
о
свободных
неизвестных
?
10.
Докажите
существование
решения
у
разрешенной
СЛУ
,
если
свободным
неизвестным
придать
определенные
значения
.
11.
Докажите
существование
единственного
решения
у
разрешенной
СЛУ
,
если
свободным
неизвестным
придать
определенные
значения
.
12.
При
каких
условиях
разрешенная
СЛУ
является
определенной
и
при
каких
неопределенной
?
13.
Перечислите
преобразования
,
переводящие
СЛУ
в
равносильную
СЛУ
.
14.
Докажите
,
что
СЛУ
равносильна
этой
же
СЛУ
при
замен
в
ней
некоторого
уравнения
суммой
этого
уравнения
с
другим
уравнением
.
15.
Что
представляют
собой
Жордановы
преобразования
СЛУ
?
16.
Чем
отличается
базисное
решение
СЛУ
от
других
частных
решений
той
же
СЛУ
?
17.
На
какие
особенности
СЛУ
необходимо
обращать
внимание
на
каждом
шаге
решения
ее
методом
Гаусса
?
18.
В
каких
случаях
прекращается
процесс
решения
СЛУ
методом
Гаусса
?
19.
Если
k –
число
шагов
,
проделанных
при
решении
СЛУ
с
m
уравнениями
методом
Гаусса
,
то
,
какие
из
соотношений
: m < k, m = k, m > k
невозможны
?
20.
Если
k –
число
шагов
,
проделанных
при
решении
определенной
СЛУ
с
n
переменными
методом
Гаусса
,
то
,
какие
из
соотношений
: n < k, n = k, n > k
невозможны
?
21.
Если
k –
число
шагов
,
проделанных
при
решении
неопределенной
СЛУ
с
n
переменными
методом
Гаусса
,
то
,
какие
из
соотношений
: n < k, n = k, n >
k
невозможны
?
22.
Укажите
наибольшее
число
возможных
общих
решений
СЛУ
с
m
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
23
уравнениями
и
n
переменными
?
23.
Если
однородная
СЛУ
с
m
уравнениями
и
n
переменными
имеет
ненулевое
решение
,
то
какие
из
соотношений
: n < m, n = m, n > m
невозможны
?
24.
Как
,
используя
метод
Гаусса
,
найти
матрицу
,
обратную
к
данной
матрице
?
Решите
самостоятельно
1.
Акции
двух
корпораций
конкурируют
на
рынке
.
Зависимость
спроса
на
акции
первой
корпорации
х
’
1
и
на
акции
второй
корпорации
x
’
2
от
цены
p
’
1
, p’
2
на
эти
акции
выражается
уравнениями
:
х
’
1
= 17 – 2 p
’
1
+ 0,5 p’
2
,
х
’
2
= 20 – 3 p
’
2
+ 0,5 p’
1
,
а
зависимость
предложения
этих
акций
х
”
1
, x
”
2
и
цен
на
них
выражается
уравнениями
:
р
1
= 2 +
х
”
1
+ (1/3) x”
2
,
p
2
= 2 + 0,5 x”
1
+0,25x”
2
.
Рыночное
равновесие
представляет
собой
равенство
спроса
и
предложения
.
Найдите
равновесные
величины
х
’
1
, x
’
2
,
х
”
1
, x
”
2
, p
’
1
, p’
2
.
2.
Гонорар
в
20000
руб
.,
полученный
за
опубликованную
книгу
,
автор
решил
положить
на
счет
в
банке
.
При
этом
часть
гонорара
автор
положил
на
один
год
под
6%
годовых
,
вторую
часть
–
на
3
года
под
8%
годовых
,
а
остатки
,
вдвое
превосходящие
сумму
,
вложенную
на
один
год
, –
на
5
лет
под
10%
годовых
.
Определите
величину
каждого
вклада
,
если
суммарная
прибыль
от
всех
вложений
составил
1624
руб
.
3.
Решить
СЛУ
методом
Гаусса
.
Выписать
базисное
решение
и
не
равное
ему
частное
решение
.
1)
.
2
2
4
2
,
3
3
2
9
4
,
2
2
7
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2)
.
22
4
2
13
3
,
16
3
12
2
,
14
11
3
6
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)
.
1
2
3
3
4
,
1
2
2
8
6
,
5
3
2
7
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)
.
6
8
3
4
7
,
5
7
3
3
5
,
1
3
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5)
,
0
4
4
,
5
5
,
2
2
,
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6)
,
2
3
3
2
3
,
5
4
2
2
,
10
11
4
5
,
0
6
2
4
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.
Найти
хотя
бы
одну
матрицу
перестановочную
с
матрицей
А
=
4
3
2
1
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
24
5.
Найти
матрицу
,
обратную
к
матрице
:
а
)
1
2
3
4
;
в
)
4
3
5
6
;
с
)
4
3
6
2
1
2
2
2
3
,
д
)
1
2
3
1
2
2
1
1
1
6.
Найти
матрицу
С
,
если
АС
=
В
,
А
=
5
3
2
1
,
В
=
10
4
7
3
1
2
.
7.
С
помощью
обратной
матрицы
решить
СЛУ
:
5
3
2
4
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
8.
Платежи
С
i
(t)
через
t
лет
,
обещанные
по
облигации
B
i
с
биржевой
ценой
Р
i
,
номинальной
стоимостью
А
i
,
годовой
ставкой
купона
f
i
и
сроком
погашения
n
i
приведены
в
таблице
.
Необходимо
облигацию
В
6
заменить
эквивалентным
(
арбитражным
)
портфелем
из
облигаций
В
1
–
В
5
с
теми
же
платежами
от
портфеля
,
что
и
по
облигации
В
6
.
Провести
сравнение
стоимости
облигации
В
6
и
стоимости
сформированного
арбитражного
портфеля
.
Для
решения
поставленной
задачи
введите
вектор
Х
= (
х
1
,
х
2
,
х
3
,
х
4
,
х
5
),
где
х
i
–
доля
облигации
i-
го
вида
в
арбитражном
портфеле
,
решите
систему
линейных
уравнений
СХ
Т
=
С
0
Т
,
где
матрица
С
=
)
5
(
)
5
(
...
...
...
)
1
(
...
)
1
(
5
1
5
1
C
C
C
С
,
а
С
0
= (
С
6
(1), …,
С
6
(5)).
Затем
сравните
стоимость
облигации
В
6
и
стоимость
Р
А
=
РХ
Т
арбитражного
портфеля
,
где
Р
= (
Р
1
, …,
Р
5
)
вектор
цен
облигаций
портфеля
.
Облигация
В
i
параметр
В
1
В
2
В
3
В
4
В
5
В
6
n
i
[
год
] 5 4 3 2 1 5
P
i
[
руб
.]
118,42 103,47 110,69 111,00 102,83 121,07
A
i
[
руб
.] 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
100,00
f
i
%
8 7 10 12 9 11
C
i
(1) [
руб
.]
8,00
7,00
10,00
12,00
109,00 11,00
C
i
(2) [
руб
.]
8,00
7,00
10,00
112,00 0
11,00
C
i
(3) [
руб
.]
8,00
7,00
110,00 0
0
11,00
C
i
(4) [
руб
.]
8,00
107,00 0
0
0
11,00
C
i
(5) [
руб
.]
108,00 0
0
0
0
111,00
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
25
1.4.
Системы
векторов
Определение
. n-
мерным
вектором
(
матрицей
строкой
или
столбцом
)
называют
упорядоченную
систему
из
n
действительных
чисел
(a
1
, a
2
, … , a
n
)
и
обозначают
А
= (
а
1
,
а
2
, … ,
а
n
),
где
n
называют
размерность
вектора
.
Определение
.
Совокупность
всевозможных
n-
мерных
векторов
после
введен
e
я
операций
сложения
векторов
и
умножение
вектора
на
действительное
число
называют
n-
мерным
векторным
пространством
.
Операции
сложения
векторов
и
умножение
вектора
на
действительное
число
были
рассмотрены
в
разделе
«
матрицы
и
действия
над
ними
».
Умножение
двух
векторов
называют
скалярным
произведением
этих
векторов
,
которое
можно
использовать
для
нахождения
длины
вектора
по
формуле
n
j
j
a
A
1
2
,
где
А
=(
а
1
, … ,
а
j
, … ,
а
n
).
Пусть
дана
система
из
n
векторов
размерности
m.
Определение
1.
Система
m-
мерных
векторов
А
1
,
А
2
, … ,
А
n
называется
линейно
зависимой
,
если
система
линейных
уравнений
А
1
х
1
+…+
А
n
x
n
=
Ө
(1)
имеет
не
нулевые
решения
,
Если
же
система
(1)
не
имеет
ненулевых
решений
,
то
данная
система
векторов
А
1
,
А
2
, … ,
А
n
называется
линейно
независимой
.
Замечание
.
Существование
ненулевого
решения
у
системы
линейных
уравнений
А
1
х
1
+…+
А
n
x
n
=
Ө
равносильно
существованию
такого
ненулевого
вектора
К
= (k
1
, … , k
n
)
≠
Ө
,
что
выполняется
линейное
соотношение
А
1
k
1
+…+
А
n
k
n
=
Ө
(2).
С
другой
стороны
,
отсутствие
ненулевого
решения
системы
линейных
уравнений
А
1
х
1
+…+
А
n
x
n
=
Ө
равносильно
тому
,
что
из
всякого
соотношения
вида
А
1
k
1
+…+
А
n
k
n
=
Ө
,
следует
,
что
К
=
Ө
.
Поэтому
определение
линейной
зависимости
и
линейной
независимости
векторов
можно
сформулировать
и
так
:
Определение
2
.
Система
m-
мерных
векторов
А
1
,
А
2
, …,
А
n
называется
линейно
зависимой
,
если
существует
такой
ненулевой
вектор
К
= (k
1
, … , k
n
)
≠
Ө
,
что
выполняется
линейное
соотношение
А
1
k
1
+…+
А
n
k
n
=
Ө
(2).
Если
же
из
всякого
соотношения
вида
(2)
следует
,
что
К
=
Ө
,
то
система
векторов
А
1
,
А
2
,
… ,
А
n
называется
линейно
независимой
.
Рассмотрим
примеры
.
1.
Система
единичных
векторов
линейно
независима
.
▲
Запишем
систему
линейных
уравнений
Е
1
х
1
+…+
Е
n
x
n
=
Ө
,
матрица
условий
которой
составлена
из
единичных
векторов
,
в
виде
таблицы
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.