Файл: Линейная_алгебра_УП_очная_ЭлРес.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.07.2021

Просмотров: 1137

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

36

 

Задание

  2

Решить

 

систему

 

линейных

 

уравнений

 

методом

 

Гаусса

Найти

 

базисное

 

решение

 

и

 

неравное

 

ему

 

частное

 

решение

Для

 

частного

 

решения

 

сделать

 

проверку

1.    x

1

 +x

2

 +3x

3

 –2x

4

 +3x

5

  = 1,           2.    2x

1

 +x

2

 –6x

3

 +4x

4

 +x

5

  = –14, 

     2x

1

 +2x

2

 +4x

3

 –x

4

 +3x

5

  = 2,               – 2x

1

 +6x

2

 –8x

3

 +x

4

 –3x

5

  = 13, 

     3x

1

 +3x

2

 +5x

3

 –2x

4

 +3x

5

  = 1.               – x

1

 +x

2

 +2x

3

 +2x

4

 +2x

5

  =–2. 

3.   –9x

1

 +3x

2

 –2x

3

 +x

4

 –3x

5

  = 22,       4. 13x

1

 –21x

2

 +47x

3

 +5x

4

 +4x

5

 =7, 

      –3x

1

 +3x

2

 +2x

3

 +4x

4

       = 67,               9x

1

 –9x

2

 +27x

3

 +3x

4

 +2x

5

 = –1, 

        7x

1

     +3 x

3

 +2x

4

 +3x

5

  =  32.                x

1

 –21x

2

 +23x

3

 +2x

4

 +3x

5

 = 6. 

5. 3x

1

 +4x

2

 +x

3

 +2x

4

  = 3,                     6.  2x

1

 +x

2

 +4x

3

 +3x

4

   = –3, 

    3x

1

 +5x

2

 +3x

3

 +5x

4

  = 6,                         5x

1

 +3x

2

 +5x

3

 +3x

4

  = –6, 

    6x

1

 +8x

2

 +x

3

 +5x

4

   =  8,                         5x

1

 +x

2

 +8x

3

 +6x

4

   = –8, 

    3x

1

 +5x

2

 +3x

3

 +7x

4

  = 8.                         7x

1

 +3x

2

 +5x

3

 +3x

4

 = –8. 

7.   2x

1

 +x

2

 –5x

3

 +14x

4

 +4x

5

 = 0,          8.   5x

1

 +7x

2

 +3x

3

 –31x

4

 +19x

5

 =11, 

    –3x

1

 +2x

2

 +39x

3

 –7x

4

 –13x

5

  = –7,       –3x

1

 +2x

2

 +x

3

             + x

5

  = 8, 

      4x

1

 +3x

2

 –x

3

 +32x

4

 +6x

5

 = –2.              3x

1

 +4x

2

 +2x

3

 –18x

4

 +11x

5

 =7. 

9.  5x

1

 +7x

2

 +2x

3

 +7x

4

 +14x

5

 = 6,      10.   –2x

1

 +5x

2

 +3x

3

 +7x

4

 +15x

5

 =10, 

     2x

1

 –3 x

3

 –6x

4

 +4x

5

  = –9,                        4x

1

 –7x

2

 –5x

3

 –9x

4

 –23x

5

 = –7, 

     2x

1

 +3x

2

 +x

3

 +4x

4

 +6x

5

  = 3.                   5x

1

 +19x

2

 +3x

3

 +35x

4

 +36x

5

 =4. 

11. –13x

1

 +25x

2

 +x

3

 +2x

4

 +3x

5

 =0,      12.   6x

1

 –8x

2

 –x

3

 +2x

4

 +3x

5

  = –5,.  

          2x

2

   –2 x

4

 +3x

5

  = –5,                          2x

2

 +x

3

 +4x

4

 +3x

5

  = –1, 

      –13x

1

 +27x

2

 +5x

3

 +4x

4

 –2x

5

 =11.        –7x

1

 +13x

2

 +3x

3

 +5x

4

 +2x

5

 = 4. 

13.   2x

1

 +5x

2

 +7x

3

 +9x

4

 +7x

5

  = 14,     14.  –2x

1

 –3x

2

 +4x

3

 +6x

4

 +10x

5

 =–3, 

      –7x

1

 +2x

2

 +4x

3

 –3x

4

 –5x

5

  = –1,               3x

1

 +x

2

 –2x

3

 –4x

4

 –6x

5

  =10, 

      –5x

1

 +4x

2

 +3x

3

 –2x

4

 –x

5

  = 2.                   3x

1

 –4x

2

 +x

3

 –5x

4

 +4x

5

 = 7. 

15.    x

1

 +2x

2

 + x

4

   = 8,                          16.  x

1

 +2x

2

 +3x

3

 –4x

4

 +4x

5

 = 5, 

       2x

2

 +3x

3

 +7x

4

 +5x

5

  =18,                       2x

1

 +x

2

 +2x

3

 + 2x

5

  = 5,  

         x

1

 +2x

2

 +3x

3

 +8x

4

 +3x

5

 =20.               2x

1

 +3x

2

 +3x

3

 –2x

4

 +6x

5

 =5. 

17.   2x

1

 +3x

2

 –2x

3

 +12x

4

 +8x

5

 =3,        18. 2x

1

 +3x

2

 +x

3

 +13x

4

 +9x

5

 =8, 

        2x

1

 +2x

2

 +10x

4

 +6x

5

  =8,                        x

1

 –2x

2

 +4x

3

 –4x

4

 +x

5

  = –3, 

      –2x

1

 +3x

2

 –10x

3

 +4x

5

  = –9.                  –2x

1

 +2x

2

 –6x

3

 +2x

4

 –4x

5

 =2. 

19.   x

1

 +3x

2

 +2x

3

 +2x

4

 –2x

5

  = –1,         20. x

1

 +3x

2

 +2x

3

 +5x

4

 +8x

5

 = 15, 

      2x

1

 +2x

2

 +x

3

   = 3,                                   2x

1

 +2x

2

 +3x

3

 +7x

5

  = 13,  

      3x

1

 +x

2

 +2x

3

 –2x

4

 +2x

5

  = 1.                 –x

1

 –2x

2

 +x

3

 –8x

4

 –3x

5

 = 3.  

21.   x

1

 +2x

2

 –2x

3

 +3x

4

 –x

5

  = 3,             22. x

1

 –2x

2

 +3x

3

 –x

4

 +2x

5

 =10, 

      2x

1

 +3x

2

 –x

3

 +4x

4

 –x

5

  = 5,                   2x

1

 +2x

2

 –3x

3

 –2x

4

 –2x

5

 = –4,  

     –3x

1

 +x

2

 –15x

3

 +5x

4

 –4x

5

 = –2.           –3x

1

 +4x

2

 +2x

3

 +3x

4

 –4x

5

 = 26. 

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

37

23.  x

1

 +2x

2

 –2x

3

 +x

4

 +x

5

  = 0,              24.  x

1

 +2x

2

 +2x

3

 –4x

4

 –2x

5

 =0, 

      2x

1

+2x

2

 –2x

4

   = 7,                               2x

1

 –2x

2

 +x

3

 –2x

4

 +2x

5

 = –3, 

       x

1

 +3x

2

 –4x

3

 +3x

4

 +2x

5

 = –2.              x

1

 +2x

2

 –2x

3

 +4x

4

 –2x

5

 = 4. 

25. 2x

1

 +x

2

 –2x

3

 –3x

4

 +x

5

 = –1,           26.  2x

1

 – x

3

 +x

4

 +x

5

  = 4, 

      3x

1

 +3x

2

 +2x

3

 +2x

4

 +11x

5

 =4,               2x

1

 +x

2

 –x

3

 +5x

4

 –x

5

 = –6, 

      5x

1

 +4x

2

 +x

3

 +2x

4

 +15x

5

 = 5.                3x

1

 +5x

2

 +10x

4

 –2x

5

 = –1. 

27.  –3x

1

 +4x

2

 +x

3

 +3x

4

 –2x

5

 = 26,      28.  4x

1

 +2x

2

 +3x

3

 +x

4

 +23x

5

 = –10, 

       –3x

1

 +3x

2

 +x

3

 +2x

4

 +2x

5

 = 20,           –5x

1

 +2x

2

 –3x

3

 +2x

4

 +9x

5

 = –7, 

         7x

1

 +x

2

 – 2x

4

 +3x

5

  = 3.                         x

1

 –2x

2

 +2x

3

 –x

4

 –8x

5

 = 5. 

29.  –5x

1

 +8x

2

 +3x

3

 +4x

4

 +25x

5

 = 2,    30.  4x

2

 –3x

3

 +2x

4

 +14x

5

  = 7, 

       –4x

1

 +6x

2

 +2x

3

 +3x

4

 +18x

5

 = 0,           2x

1

 –2x

2

 +2x

3

 +2x

4

   = 1, 

       –5x

1

 +6x

2

 +x

3

 +3x

4

 +15x

5

  = –6.        –6x

1

 +2x

2

 –3x

3

 –8x

4

 +10x

5

 = 2.  

31. 2x

1

 –3x

2

 +5x

3

 +7x

4

   = 1,                32. 9x

1

 –3x

2

 +5x

3

 +6x

4

  = 4, 

      4x

1

 –6x

2

 +2x

3

 +3x

4

   = 2,                      6x

1

 –2x

2

 +3x

3

 +x

4

   = 5, 

      2x

1

 –3x

2

 –11x

3

 –15x

4

  = 1,                    3x

1

 –x

2

 +3x

3

 +14x

4

  = –3. 

      

Задание

  3

Является

 

ли

 

данная

 

система

 

векторов

 

линейно

 

зависимой

Найти

 

базис

 

данной

 

системы

 

векторов

Разложить

 

вектора

 

системы

 

по

 

найденному

 

базису

Перейти

 

к

 

новому

 

базису

 

и

 

разложить

 

по

 

нему

 

вектора

 

системы

1.

 

А

1

=(1,–1,0), 

А

2

=(–5, 4,–2), 

А

3

=(2, 2, 2), 

А

4

=(–1,–1,1), 

А

5

=(3, 0, 3); 

2.

 

А

1

=( 2,3,4 ), 

А

2

=(–4,–6,–8 ), 

А

3

=(5,4,17), 

А

4

=(3,2,11 ), 

А

5

=(4,7,5 ); 

3.

 

А

1

=(6,9,6), 

А

2

=(–2,–3,–2), 

А

3

=(2,4,6), 

А

4

=(5,8,7), 

А

5

=(7,9,1); 

4.

 

А

1

=(2,–3,4), 

А

2

=(–4,6,–8), 

А

3

=(5,–7,3), 

А

4

=(–20,–28,12), 

А

5

=(4,3,8); 

5.

 

А

1

=(5,2,7), 

А

2

=(6,3,9), 

А

3

=(–2,–1,–3), 

А

4

=(7,4,5), 

А

5

=(4,2,6); 

6.

 

А

1

=(1,3,2), 

А

2

=(–1,2,3), 

А

3

=(6,9,3), 

А

4

=(–3,–9,–6), 

А

5

=(2,–4,–6); 

7.

 

А

1

=(3,2,4), 

А

2

=(2,3,1), 

А

3

=(1,1,–1), 

А

4

=(2,2,–2), 

А

5

=(5,5,–5); 

8.

 

А

1

=(–3,–5,2), 

А

2

=(–2,–3,2), 

А

3

=(2,3,–2), 

А

4

=(4,7,3), 

А

5

=(1,2,3); 

9.

 

А

1

=(2,6,4), 

А

2

=(–1,–3,–2), 

А

3

=(1,1,–1), 

А

4

=(7,4,2), 

А

5

=(5,7,7); 

10.

 

А

1

=(2,–2,2), 

А

2

=(3,3,–2), 

А

3

=(4,5,3), 

А

4

=(2,1,3), 

А

5

=(4,7,9); 

11.

 

А

1

=(2,5,7), 

А

2

=(3,1,3), 

А

3

=(4,5,8), 

А

4

=(–3,8,8), 

А

5

=(–6,–2,–6); 

12.

 

А

1

=(4,1,3), 

А

2

=(–2,–1,3), 

А

3

=(1,–2,2), 

А

4

=(5,–3,0), 

А

5

=(7,3,–1); 

13.

 

А

1

=(1,2,7), 

А

2

=(7,5,4), 

А

3

=(2,3,9), 

А

4

=(3,2,1), 

А

5

=(6,4,2); 

14.

 

А

1

=(3,5,3), 

А

2

=(–9,–8,–5), 

А

3

=(2,1,1), 

А

4

=(9,8,7), 

А

5

=(5,6,5); 

15.

 

А

1

=(5,2,–11), 

А

2

=(2,4,2), 

А

3

=(7,3,–15), 

А

4

=(–3,–6,–3), 

А

5

=(1,2,1); 

16.

 

А

1

=(1,1,2), 

А

2

=(2,1,1), 

А

3

=(4,4,8), 

А

4

=(6,3,3), 

А

5

=(5,5,10); 

17.

 

А

1

=(2,4,5), 

А

2

=(3,3,4), 

А

3

=(3,2,5), 

А

4

=(–3,4,2), 

А

5

=(–6,–1,–2); 

18.

 

А

1

=(2,1,3), 

А

2

=(1,3,5), 

А

3

=(2,3,1), 

А

4

=(1,1,–1), 

А

5

=(3,3,–3); 

19.

 

А

1

=(1,3,5), 

А

2

=(2,4,6), 

А

3

=(3,5,7), 

А

4

=(–1,2,5), 

А

5

=(–3,0,3); 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

38

20.

 

А

1

=(3,2,4), 

А

2

=(4,3,5), 

А

3

=(6,9,3), 

А

4

=(–4,–6,–2), 

А

5

=(3,4,2); 

21.

 

А

1

=(1,0,2), 

А

2

=(2,0,3), 

А

3

=(3,0,4), 

А

4

=(1,1,0), 

А

5

=(2,2,0); 

22.

 

А

1

=(2,1,3), 

А

2

=(3,2,4), 

А

3

=(4,3,5), 

А

4

=(5,4,6), 

А

5

=(5,3,7); 

23.

 

А

1

=(–2,2,3), 

А

2

=(–1,1,2), 

А

3

=(–3,3,4), 

А

4

=(2,–1,1), 

А

5

=(1,1,1); 

24.

 

А

1

=(2,2,0), 

А

2

=(0,2,2), 

А

3

=(2,0,2), 

А

4

=(2,4,2), 

А

5

=(2,2,4); 

25.

 

А

1

=(2,2,1), 

А

2

=(3,2,1), 

А

3

=(5,4,2), 

А

4

=(–2,0,0), 

А

5

=(9,8,4); 

26.

 

А

1

=(4,3,2), 

А

2

=(3,2,1), 

А

3

=(5,4,2), 

А

4

=(2,0,–2), 

А

5

=(0,3,4); 

27.

 

А

1

=(1,1,2), 

А

2

=(2,2,3), 

А

3

=(3,3,4), 

А

4

=(4,4,5), 

А

5

=(–1,–1,0); 

28.

 

А

1

=(–3,–2,1), 

А

2

=(–2,0,2), 

А

3

=(–3,2,2), 

А

4

=(2,3,5), 

А

5

=(–1,1,6); 

29.

 

А

1

=(2,2,3), 

А

2

=(1,–1,2), 

А

3

=(3,1,1), 

А

4

=(4,0,–1), 

А

5

=(5,–1,–3); 

30.

 

А

1

=(1,1,–1), 

А

2

=(2,3,–2), 

А

3

=(1,2,–1), 

А

4

=(3,5,–3), 

А

5

=(5,8,–5); 

31.

 

А

1

=(2,1,4), 

А

2

=(3,3,1), 

А

3

=(2,–2,3), 

А

4

=(–1,2,2), 

А

5

=(5,2,4); 

32.

 

А

1

=(0,1,1), 

А

2

=(–1,1,4), 

А

3

=(–4,2,1), 

А

4

=(2,2,–4), 

А

5

=(8,7,6). 

 

Задание

  4

Найти

 

обратную

 

матрицу

 

А

–1

 

к

 

данной

 

матрице

 

А

Сделать

 

проверку

 

умножением

 

найденной

 

матрицы

 

на

 

исходную

 

матрицу

 

слева

 

и

 

справа

Матрицу

  

А

  

получить

 

из

 

матрицы

 

в

 

1-

м

 

задании

вычеркиванием

 

первой

 

и

 

пятой

 

строк

а

 

также

 

первого

 

и

 

пятого

 

столбца

.  

 

Задание

 5.

 

Найти

 

матрицу

 «

затраты

  

выпуск

» 

для

 

конечного

 

спроса

 

продукции

 

отраслей

 – 

А

В

, (

С

народного

 

хозяйства

   

через

 

Т

 

лет

Конечный

 

спрос

 

продукции

 

отраслей

   

задан

 

матрицей

  D

k

где

 

индекс

    k   

соответствует

 

номеру

 

варианта

Исходная

 

годовая

 

зависимость

 

между

 

отраслями

 

А

В

. (

С

задана

 

матрицей

 «

затраты

 

выпуск

» 

в

 

таблице

 

вида

 

 

Затраты

 

          

Отрасль

 

потребитель

 

Отрасль

 

производитель

 

А

 

В

(

С

)

Конечный

 

продукт

 – 

продукция

для

 

рынка

Общее

 

производство

 

(

выпуск

продукции

 

А

       

 

 

 

 

B    

 

 

Производство

 

(

выпуск

продукции

  

(

С

)     

 

 

Начальные

 

капитал

 

(

затраты

 

 

 

 

 

Общие

 

затраты

 

 

 

 

 

 

 
 

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

39

 

Исходные

 

данные

 

 

 

 

 

  D

D

 

 

 

 

 

 

  D

D

8  52 20 80     58  41  120 384 96 600

   140 160

56 26 48 130     79  49  420 280 252 952

   287 220

16 52   

 

   

 

 

 60 288

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

  D

D

 

 

 

 

 

 

  D

D

4  12  3  1  20   1  8   80  16  80  44 220  50  80 
8  9  6  7  30  10  3   60  48  20  32 160  60  50 
2  3  3  7  15   7  3   40  32  60  68 200  80  70 
6 6 3          40 64 40         

 

 

 

 

 

  D

D

10 

 

 

 

 

 

 

  D

11 

D

12 

16 30 20 14  80  20  25  20  40  30  10 100  150 95 
32 15 80 23 160  50  40  30  20  90  60 200  280 200
24 75 40 61 200  70  75  40 100 60 100 300  420 200

8 30 

60         10 40 

120

       

 

 

 

 

 

  D

13 

D

14 

 

 

 

 

 

 

  D

15 

D

16 

20 48 18 14 100  24 30  22 80 76 42 220  68 50 
30 12 64 24 130  33 40  88 40 38 34 200  51 50 
30 36 36 78 180  75 80  66 60 57  7 190  17 20 
20 

34 

62         44 20 19         

 

 

 

 

 

  D

17 

D

18 

 

 

 

 

 

 

  D

19 

D

20 

20  0  40 40 100  70  50  10  5  40  45 100  100 90 
40 40 100 20 200  50  50  30  0  30  40 100  50  70 

0  80 40 80 200  120 100  20 40  0  40 100  80 90 

40 

80 

20         40 55 30         

 

 

 

 

 

  D

21 

D

22 

 

 

 

 

 

 

  D

23 

D

24 

30 60 20 20 130  40 30  11 40 38 21 110  30 15 
35 15 70 30 150  50 45  44 20 19 17 100  30 30 
25 40 45 90 200  60 120  32 30 28  5  95  10 20 
40 

35 

65         23 10 10         

 

 

 

 

 

  D

25 

D

26 

 

 

 

 

 

 

  D

27 

D

28 

60  75  65 200     104 100  240 220 90  600

    63  80 

80  30  40 150     172 150  300 90  60  450

   105 100

60 

45           60 90           

 

 

 

 

 

  D

29 

D

30 

 

 

 

 

 

 

  D

31 

D

32 

30 56 24 110     74  50  240 750 210 1200

   312 300

50 8 22 80     37 50  720 450 330 1500

   299 300

30 

16           

240 300

         

  

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.


background image

 

40

Раздел

 2. 

ЭЛЕМЕНТЫ

 

ЛИНЕЙНОЙ

 

ОПТИМИЗАЦИИ

 

2. 1. 

Введение

 

в

 

линейную

 

оптимизацию

 

Из

 

курса

 

математического

 

анализа

 [4] 

известно

что

 

для

 

непрерывных

 

функций

 

нескольких

 

переменных

 f

(X), i

M=(1,2,…,m), 

где

 

Х

=(

х

1

, … , 

х

j

, … , 

х

n

), 

множество

 

вида

 W = { X 

 R

n

 : f

(X) 

 0,  i 

I;  f

i  

(X) = 0,  i

M\I} 

является

 

замкнутым

т

.

е

оно

 

содержит

 

все

 

свои

 

предельные

 

точки

Если

 

при

 

этом

 

множество

 W 

является

 

еще

 

и

 

ограниченным

т

.

е

это

 

множество

 

можно

 

поместить

 

в

 n-

мерный

 

параллелепипед

то

 

непрерывная

 

на

 

этом

 

множестве

 

функция

  f

 

(X) 

достигает

 

как

 

глобального

 

минимума

так

 

и

 

глобального

 

максимума

Если

 

при

 

этом

 

все

 

указанные

 

функции

 

зависят

 

от

 

двух

 

переменных

то

 

нахождение

 

глобального

 

экстремума

 (

минимума

 

или

 

максимума

функции

 f

 

(X)  

на

 

множестве

 W 

можно

 

осуществить

 

графически

Пусть

 

необходимо

 

найти

 

наибольшее

  (

наименьшее

значение

   

линейной

 

функции

                               f(x

1

, x

2

) = 

γ

1

 x

1

 + 

γ

2

 x

2

 +

γ

0

                       (1) 

на

  

множестве

 W, 

принадлежащем

 

плоскости

 

и

 

заданном

 

системой

 

линейных

 

неравенств

:                          a

i1

 

х

1

 + a

i1

 

х

2

 

  b

i

 , i=1,2, … , n.             (2) 

Для

 

решения

 

поставленной

 

задачи

 

вспомним

что

 

скалярное

 

произведение

 

двух

 

векторов

 

Г

 = ( 

γ

1

γ

2

и

 

Х

 = (x

1

, x

2

) (

где

 

вектор

 

Х

 

есть

 

радиус

– 

вектор

 

точки

 

Х

(

х

1

х

2

))  

определяется

либо

 

как

 (

Г

,

Х

) = 

γ

1

 x

1

 + 

γ

2

 x

2

либо

  

как

 

(

Г

,

Х

) = 

Г Х

 Cos

φ

где

 

φ

 – 

угол

 

между

 

данными

 

векторами

Последнее

 

определение

 

эквивалентно

 

соотношению

  (

Г

Х

) = 

Г

 

Пр

Г

Х

 , 

где

 

Пр

Г

 

Х

– 

проекция

 

вектора

 

Х

 

на

 

вектор

 

Г

Абсолютная

 

величина

 

этой

 

проекции

 

равна

 

расстоянию

 

от

 

начала

 

координат

 

до

 

прямой

 

линии

 L, 

задаваемой

 

уравнением

 

вида

  

γ

1

 x

γ

2

 x

+ [

γ

0  

– f(x

1

,

х

2

)] = 0  (

рис

.1). 

 
 
 
 

                x

                                                       

grad f(X) 

 

             L

 

 

                                                                    

X(x

1

,x

2

)

    

                    

Пр

Г

Х

                                                                       

                                                                     

 

                0                                                                                         

х

                         

 

                                                                              

Рис

.1           

γ

1

x

1

γ

2

x

2

=0

 

Для самостоятельной работы

студентов ЧОУ ВПО МБИ

Москва 2013г.