ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1095
Скачиваний: 2
26
Из
таблицы
видно
,
что
эта
СЛУ
имеет
единственное
нулевое
решение
,
т
.
е
.
не
имеет
ненулевых
решений
,
а
поэтому
система
единичных
векторов
является
линейно
независимой
.
■
2.
Система
m–
мерных
векторов
А
1
,
А
2
, … ,
А
n
является
линейно
зависимой
,
если
число
векторов
превышает
размерность
векторов
, n > m.
▲
Так
как
системы
линейных
уравнений
А
1
х
1
+…+
А
n
x
n
=
Ө
содержит
m
уравнений
и
n
неизвестных
,
а
по
условию
n > m.,
то
по
следствию
из
метода
Гаусса
система
имеет
ненулевые
решения
и
,
следовательно
,
система
векторов
А
1
,
А
2
, … ,
А
n
является
линейно
зависимой
.
■
3.
Система
,
состоящая
из
одного
ненулевого
вектора
,
является
линейно
независимой
.
▲
Пусть
вектор
А
≠
Ө
.
Тогда
из
соотношения
Ak =
Ө
имеем
,
что
k = 0,
и
по
определению
система
,
состоящая
из
одного
ненулевого
вектора
,
является
линейно
независимой
.
■
4.
Система
векторов
Ө
,
А
1
, … ,
А
n
является
линейно
зависимой
при
любых
векторах
А
1
, … ,
А
n
.
▲
Так
как
,
соотношение
Ө
1+
А
1
0+ … +
А
n
0 =
Ө
выполняется
при
К
≠
Ө
,
то
по
определению
система
векторов
Ө
,
А
1
, …,
А
n
является
линейно
зависимой
.
■
5.
Любые
три
3–
х
мерные
ненулевых
вектора
А
1
,
А
2
,
А
3
,
не
лежащие
в
одной
плоскости
,
образуют
линейно
независимую
систему
векторов
.
▲
Предположим
противное
,
т
.
е
.
данная
система
векторов
А
1
,
А
2
,
А
3
является
линейно
зависимой
.
Тогда
по
определению
найдется
такой
вектор
К
=
(k
1
, k
2
, k
3
)
≠
Ө
,
для
которого
будет
выполняться
соотношение
А
1
k
1
+
А
2
k
2
+
А
3
k
3
=
Ө
.
Пусть
k
1
≠
0.
Тогда
вектор
А
1
можно
представить
в
виде
диагонали
А
1
=
А
2
(–k
2
/k
1
)+
А
3
(–k
3
/k
1
)
параллелограмма
,
построенного
на
векторах
А
2
(–k
2
/k
1
)
и
А
3
(–k
3
/k
1
).
Откуда
следует
,
что
векторы
А
1
,
А
2
,
А
3
лежат
в
одной
плоскости
.
Это
противоречит
условию
.
Поэтому
предположение
о
линейной
зависимости
данных
векторов
не
является
верным
.
Следовательно
,
данная
система
векторов
линейно
независима
.
■
Свойства
системы
векторов
1.
Из
определения
линейной
зависимости
векторов
следует
,
что
любая
система
векторов
либо
линейно
зависима
,
либо
линейно
независима
.
2.
Если
часть
данной
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
линейно
зависима
,
то
и
вся
данная
система
векторов
линейно
зависима
.
▲
Пусть
А
1
, … ,
А
ℓ
линейно
зависимая
часть
системы
векторов
А
1
, …,
Е
1
Е
2
Е
3
…
Е
n
В
1 0 0 … 0 0
0 1 0 … 0 0
… … … … … …
0 0 0 … 1 0
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
27
А
n
,
где
ℓ
< n.
По
определению
найдется
такой
вектор
К
= (k
1
, …, k
ℓ
)
≠
Ө
,
что
будет
выполняться
соотношение
А
1
k
1
+…+
А
ℓ
k
ℓ
=
Ө
.
Тогда
соотношение
вида
А
1
k
1
+…+
А
ℓ
k
ℓ
+
А
ℓ
+1
k
ℓ
+1
+…+
А
n
k
n
=
Ө
будет
выполняться
при
К
= (k
1
, …,
k
ℓ
,0, …, 0)
≠
Ө
.
Следовательно
по
определению
вся
система
векторов
А
1
, …,
А
n
является
линейно
зависимой
.
■
3.
Если
данная
система
векторов
линейно
независима
,
то
и
любая
ее
часть
линейно
независима
.
▲
От
противного
.
Пусть
часть
А
1
, …,
А
k
данной
системы
векторов
А
1
,
…,
А
n
является
линейно
зависимой
.
Тогда
из
свойства
2
следует
,
что
вся
данная
система
векторов
линейно
зависима
.
Это
противоречит
условию
,
Следовательно
,
предположение
неверно
,
а
верно
то
,
что
.
любая
часть
линейно
независимой
системы
векторов
является
также
линейно
независимой
.
■
4.
Если
система
векторов
А
1
, …,
А
n
,
В
является
линейно
зависимой
,
а
ее
часть
А
1
, …,
А
n
–
линейно
независима
,
то
вектор
В
линейно
выражается
через
векторы
А
1
, …,
А
n
.
▲
Система
векторов
А
1
, …,
А
n
,
В
является
линейно
зависимой
.
Тогда
по
определению
найдется
такой
вектор
К
= (k
1
, …, k
n
, k
n+1
)
≠
Ө
,
что
выполняется
соотношение
А
1
k
1
+…+
А
n
k
n
+ Bk
n+1
=
Ө
.
Покажем
,
что
k
n+1
≠
0.
Если
бы
k
n+1
= 0.,
то
В
k
n+1
=
Ө
.
Тогда
А
1
k
1
+…+
А
n
k
n
=
Ө
,
а
так
как
система
векторов
А
1
, …,
А
n
по
условию
линейно
независима
,
то
k
1
= …= k
n
= 0,
а
следовательно
,
вектор
К
=
Ө
,
что
противоречит
,
тому
,
что
К
=(k
1
, …, k
n
, k
n+1
)
≠
Ө
.
Т
.
о
., k
n+1
≠
0.
Тогда
можно
записать
В
=
А
1
(–k
1
/ k
n+1
) +…+
А
n
(–k
n
/ k
n+1
) .
■
Базисы
системы
векторов
Определение
.
Базисом
данной
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
называется
такая
ее
часть
В
1
, …,
В
r
,
в
которой
каждый
из
векторов
есть
один
из
векторов
данной
системы
и
которая
удовлетворяет
следующим
условиям
:
1.
В
1
, …,
В
r
являются
линейно
независимой
системой
векторов
;
2.
каждый
вектор
А
j
данной
системы
векторов
линейно
выражается
через
вектора
В
1
, …,
В
r
,
т
.
е
. A
j
= B
1
k
1j
+…+ B
r
k
rj
(1).
Замечание
.
Любой
вектор
B
j
(j = 1,2, …, r)
также
линейно
выражается
через
векторы
В
1
, …,
В
r
,
например
,
В
2
=
В
1
0 +
В
2
1 +… +
В
r
0.
Пример
.
Дана
система
векторов
1 0 1 3 0
А
1
= 0 ,
А
2
= 1 ,
А
3
= 0 ,
А
4
= 2 ,
А
5
= –3 .
0 0 0 5 1
Доказать
,
что
система
векторов
А
1
,
А
2
,
А
3
является
базисом
для
данной
системы
.
▲
Так
как
векторы
А
1
,
А
2
,
А
3
образуют
единичную
матрицу
,
то
они
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
28
линейно
независимы
(
см
.
пример
1).
Вектор
А
j
(j=1,2,…,5)
линейно
выражается
через
векторы
А
1
,
А
2
,
А
3
:
Таким
образом
,
выполняются
оба
условия
определения
базиса
,
поэтому
векторы
А
1
,
А
2
,
А
3
являются
базисом
данной
системы
векторов
.
■
Теорема
.
Коэффициенты
k
1j
,…, k
rj
в
разложении
(1)
вектора
А
j
по
векторам
базиса
определены
однозначно
.
▲
Предположим
,
что
существует
еще
одно
разложение
вектора
А
j
по
векторам
базиса
,
а
именно
, A
j
= B
1
k
’
1j
+…+ B
r
k
’
rj
(2).
Вычтя
соотношение
(2)
из
соотношение
(1),
получим
Ө
= B
1
(k
1j
– k
’
1j
) +…+ B
r
(k
rj
– k
’
rj
) .
Так
как
векторы
В
1
, …,
В
r
линейно
независимы
,
то
из
последнего
соотношения
следует
,
что
k
1j
–
k
’
1j
= 0,…, k
rj
– k
’
rj
= 0.
Это
равносильно
тому
,
что
k
1j
= k
’
1j
,…, k
rj
= k
’
rj
,
т
.
е
.
разложение
по
векторам
базиса
единственно
.
■
Определение
.
Линейно
независимая
часть
В
1
, …,
В
m
данной
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
называется
максимально
линейно
независимой
частью
,
если
после
добавления
к
этой
части
любого
вектора
данной
системы
,
не
входящего
в
В
1
, …,
В
m
получается
линейно
зависимая
часть
данной
системы
векторов
.
Теорема
.
Любая
линейно
независимая
часть
С
1
, … ,
С
k
данной
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
может
быть
дополнена
до
базиса
этой
системы
.
▲
Если
С
1
, …,
С
k
не
является
максимально
линейно
независимой
частью
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
,
то
найдется
такой
вектор
С
k+1
(
А
1
, …,
А
n
) \ (
С
1
,
…,
С
k
),
что
система
векторов
С
1
, …,
С
k
,
С
k+1
будет
линейно
независимой
частью
системы
А
1
, …,
А
n
.
Если
и
система
С
1
, …,
С
k
,
С
k+1
не
является
максимально
линейно
независимой
частью
системы
А
1
, …,
А
n
то
найдется
такой
вектор
С
k+2
(
А
1
, …,
А
n
) \ (
С
1
, …,
С
k
,
С
k+1
),
что
система
векторов
С
1
, …,
С
k
,
С
k+1
,
С
k+2
будет
линейно
независимой
частью
системы
А
1
, …,
А
n
и
т
.
д
.
Через
ℓ
таких
шагов
получим
максимально
линейно
независимую
часть
С
1
, … ,
С
k+
ℓ
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
.
При
чем
полученная
система
С
1
, … ,
С
k+
ℓ
удовлетворяет
условиям
определения
базиса
,
т
.
к
.
она
линейно
независима
.
К
тому
же
,
если
А
j
(
С
1
, …,
С
k+
ℓ
),
то
из
определения
максимальной
линейной
независимости
следует
,
что
система
векторов
С
1
, …,
С
k+
ℓ
,
А
j
линейно
зависима
.
Тогда
по
4–
му
свойству
найдется
такой
вектор
К≠Ө
,
что
будет
выполняться
соотношение
С
1
k
1
+ … +
С
k+
ℓ
k
k+
ℓ
=
А
j
,
т
.
е
.
любой
вектор
системы
А
1
, …,
А
n
линейно
выражается
через
вектора
С
1
, …,
С
k+
ℓ
.
Следовательно
вектора
С
1
, …,
С
k+
ℓ
образуют
базис
системы
А
1
, …,
А
n
.
■
А
4
=
А
1
3 +
А
2
2 +
А
3
5,
А
5
=
А
1
0 +
А
2
(–3) +
А
3
4,
А
1
=
А
1
1 +
А
2
0 +
А
3
0.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
29
Следствие
.
Если
система
векторов
содержит
хотя
бы
один
ненулевой
вектор
,
то
эта
система
имеет
базис
.
▲
Пусть
А
1
≠
Ө
,
тогда
часть
данной
системы
А
1
, …,
А
n
,
состоящая
из
одного
вектора
А
1
,
будет
линейно
независима
.
По
доказанной
теореме
эту
линейно
независимую
часть
можно
дополнить
до
базиса
данной
системы
.
■
Замечания
1.
Система
векторов
может
иметь
несколько
различных
базисов
.
Например
,
в
рассмотренном
выше
примере
вектор
А
4
≠
Ө
.
Следовательно
его
можно
дополнить
до
базиса
,
который
не
будет
совпадать
с
базисом
А
1
,
А
2
,
А
3
.
2.
Любая
максимально
линейно
независимая
часть
системы
векторов
является
базисом
этой
системы
.
Возникает
вопрос
о
количестве
векторов
в
каждом
базисе
данной
системы
векторов
.
Ответ
на
этот
вопрос
дает
утверждение
теоремы
:
Все
базисы
данной
системы
векторов
состоят
из
одного
и
того
же
числа
векторов
.
Определение
.
Число
векторов
в
любом
базисе
данной
системы
векторов
называют
рангом
этой
системы
векторов
.
Определение
.
Данная
система
n-
мерных
линейно
независимых
векторов
называется
базисом
n-
мерного
векторного
пространства
,
если
каждый
вектор
этого
пространства
линейно
выражается
через
векторы
данной
системы
.
Например
,
одним
из
базисов
n-
мерного
векторного
пространства
является
система
из
n
единичных
векторов
Е
1
, …,
Е
n
.
Следовательно
,
любой
другой
базис
этого
пространства
состоит
также
из
n
векторов
.
Определение
.
Размерностью
n-
мерного
векторного
пространства
называют
число
векторов
в
его
базисе
.
Для
отыскания
базиса
системы
векторов
используется
утверждение
следующей
теоремы
:
Пусть
дана
СЛУ
:
А
1
х
1
+… +
А
n
x
n
=
Ө
(1)
и
некоторое
ее
общее
решение
:
Е
1
х
1
+…+
Е
r
x
r
+
А
’
r+1
х
r+1
+…+
А
’
n
x
n
=
Ө
.
Тогда
векторы
коэффициентов
при
неизвестных
в
данной
СЛУ
,
соответствующие
набору
разрешенных
неизвестных
данного
общего
решения
СЛУ
,
образуют
базис
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
.
Таким
образом
,
чтобы
найти
базис
системы
векторов
А
1
, …,
А
n
выписываем
систему
однородных
линейных
уравнений
А
1
х
1
+…+
А
n
x
n
=
Ө
.
Находим
общее
решение
и
выписываем
векторы
из
системы
А
1
, …,
А
n
,
соответствующие
набору
разрешенных
неизвестных
в
общем
решении
.
Пример
.
Найти
базис
системы
векторов
:
А
1
= (5,2,–3,1),
А
2
= (4,1,–2,3),
А
3
= (1,1,–1,–2),
А
4
= (3,4,–1.2).
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
30
▲
Выпишем
СЛУ
в
виде
таблицы
и
найдем
ее
общее
решение
.
Неизвестные
х
2
,
х
3
,
х
4
образуют
набор
разрешенных
неизвестных
,
а
соответствующие
им
векторы
А
2
,
А
3
,
А
4
образуют
базис
данной
системы
векторов
.
Векторы
данной
системы
можно
разложить
по
векторам
базиса
следующим
образом
:
А
1
=
А
2
1 +
А
3
1 +
А
4
0,
А
2
=
А
2
1 +
А
3
0 +
А
4
0,
А
3
=
А
2
0 +
А
3
1 +
А
4
0,
А
4
=
А
2
0 +
А
3
0 +
А
4
1.
Переход
к
другому
базису
можно
осуществить
,
введением
в
базис
вектор
А
1
и
исключением
из
базиса
,
например
,
вектора
А
3
,
для
чего
выбираем
за
разрешающий
элемент
а
11
=1
и
проводим
преобразование
Жордана
.
Очевидно
,
что
число
базисов
у
системы
векторов
не
превосходит
числа
сочетаний
из
n (
число
векторов
в
системе
)
по
m (
размерность
векторов
системы
)
С
m
n
= n!/m!(n–m)!
Для
данного
примера
это
число
равно
С
3
4
=4!/3!(4–3)!=4
■
Ответьте
на
вопросы
1.
Является
линейно
зависимой
или
линейно
независимой
система
векторов
,
из
которых
состоит
матрица
условий
однородной
СЛУ
,
имеющей
единственное
решение
?
2.
Является
линейно
зависимой
или
линейно
независимой
система
векторов
,
из
которых
состоит
матрица
условий
однородной
СЛУ
,
имеющей
более
одного
решения
?
3.
Почему
система
единичных
векторов
является
линейно
независимой
?
4.
Почему
система
из
n
ненулевых
m-
мерных
векторов
не
является
линейно
независимо
,
а
система
из
одного
ненулевого
m-
мерного
вектора
(m> 2)
является
линейно
независимой
?
5.
Какой
вектор
нужно
добавить
в
любую
систему
векторов
,
чтобы
полученная
таким
образом
система
векторов
стала
линейно
зависимой
?
6.
Что
можно
сказать
о
линейной
зависимости
системы
векторов
,
если
часть
этой
системы
векторов
линейно
независима
?
7.
Что
можно
сказать
о
линейной
зависимости
части
системы
векторов
,
если
вся
эта
системы
векторов
линейно
зависима
?
8.
Если
один
из
векторов
системы
векторов
можно
представить
,
как
линейную
комбинацию
остальных
векторов
рассматриваемой
системы
,
то
А
1
А
2
А
3
А
4
В
5 4 (1) 3 0
2 1 1 4 0
–3 –2 –1 –1 0
1 3 –2 2 0
5 4 1 3
–3 –3 0 (1)
2 2 0 2
11 11 0 8
14 13 1 0
–3 –3 0 1
8 (8) 0 0
35 35 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
1 1 0 0
0 0 0 0
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.