ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1094
Скачиваний: 2
31
эти
оставшиеся
векторы
являются
ли
линейно
зависимыми
?
9.
Дайте
определение
базиса
системы
векторов
.
10.
Сколько
существует
способов
разложения
любого
вектора
из
системы
векторов
по
векторам
базиса
этой
системы
?
11.
Какая
линейно
независимая
часть
системы
векторов
является
базисом
этой
системы
?
12.
Какая
система
векторов
имеет
базис
?
13.
Какое
количество
векторов
может
быть
в
каждом
базисе
данной
системы
векторов
?
14.
Ранг
данной
системы
векторов
является
постоянной
или
переменной
величиной
?
15.
Каким
числом
определяется
размерность
векторного
пространства
?
16.
Какое
утверждение
дает
возможность
сформирвать
процедуру
отыскания
базиса
системы
векторов
?
Решить
самостоятельно
1.
Выяснить
,
является
ли
данная
система
векторов
линейно
зависимой
:
1)
А
1
= (5, 7, 12),
А
2
=(0, –1, 4),
А
3
=(2, 3, 4).
А
4
=(3, 5, 4),
А
5
=(8, 6, –3);
2)
А
1
= (2, 10, 12),
А
2
=(1, –6, –8),
А
3
=(3, 4, 4).
А
4
=(5, 3, 2),
А
5
=(8, 9, 0);
3)
А
1
= (–2, 9, –2),
А
2
=(–3, 2, –1),
А
3
=(5, 3, 2).
А
4
=(–4, 4, –3),
А
5
=(–1, 16, –3);
4)
А
1
= (5, 2, 4),
А
2
=(6, 9, 8),
А
3
=(1, 2, 2).
А
4
=(2, 5, 3),
А
5
=(1, 7, 4);
5)
А
1
= (0, 1, 1),
А
2
=(3, 1, 1),
А
3
=(2, 1, 0).
А
4
=(1, 0, 1),
А
5
=(3, 4, 2);
2.
Для
систем
векторов
п
.1
найти
все
базисы
.
Разложить
все
векторы
системы
по
векторам
одного
из
базисов
системы
.
Определить
ранг
каждой
системы
векторов
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
32
Приложение
А
Модель
«
затраты
–
выпуск
»
Рассмотрим
еще
одно
приложение
линейной
алгебры
в
экономике
.
Предположим
,
что
в
замкнутой
экономической
системе
функционируют
две
зависимые
друг
от
друга
отрасли
А
и
В
.
Характер
функционирования
и
связей
между
отраслями
задан
таблицей
«
затраты
выпуск
»:
Затраты
Отрасль
потребитель
Отрасль
производитель
А
В
(
С
)
Конечный
продукт
–
продукция
для
рынка
Общее
производство
(
выпуск
)
продукции
А
60 64
76
200
B 100 48
12
160
Производство
(
выпуск
)
продукции
(
С
)
Начальные
капитал
(
затраты
) 40 48
Общие
затраты
200 160
Эксперты
прогнозируют
,
что
через
Т
лет
спрос
на
продукцию
отрасли
А
упадет
до
70
ед
.,
а
на
продукцию
отрасли
В
возрастет
до
60
ед
.
Как
должно
измениться
функционирование
отраслей
(
без
учета
НТП
)
и
связь
между
ними
,
чтобы
удовлетворить
прогнозируемое
изменение
спроса
на
продукцию
,
производимую
отраслями
?
▲
Для
того
,
чтобы
выйти
на
прогнозируемый
объем
спроса
продукци
,
т
.
е
.
на
конечный
продукт
в
виде
вектора
D
T
= (70. 60),
отрасль
А
должна
выпускать
x
1
ед
.
продукции
,
а
отрасль
В
– x
2
ед
.
продукции
.
Из
таблицы
видно
,
что
сегодня
для
производства
200
ед
.
продукции
отрасль
А
использует
60
ед
.
продукции
,
произведенной
самой
отраслью
А
,
и
100
ед
.
продукции
,
произведенной
отраслью
В
.
Следовательно
,
для
производства
1
ед
.
продукции
отрасль
А
использует
60/200
ед
.
продукции
отрасли
А
и
100/200
ед
.
продукции
отрасли
В
.
Аналогично
,
для
производства
160
ед
.
продукции
отрасль
В
использует
64
ед
.
продукции
,
произведенные
отраслью
А
,
и
48
ед
.
продукции
,
произведенной
самой
отраслью
В
.
Следовательно
,
для
производства
1
ед
.
продукции
отрасль
В
использует
64/160
ед
.
продукции
отрасли
А
и
48/160
ед
.
продукции
отрасли
В
.
Таким
образом
,
через
Т
лет
для
производства
x
1
ед
.
продукции
отрасль
А
должна
использовать
(60/200)x
1
ед
.
продукции
,
произведенной
самой
отраслью
А
,
и
(64/160)x
2
ед
.
продукции
,
произведенной
отраслью
В
.
Тогда
общий
объем
производства
продукции
отрасли
А
через
Т
лет
можно
выразить
соотношением
:
x
1
= (60/200)x
1
+ (64/160)x
2
+70.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
33
Аналогично
рассуждая
о
производстве
продукции
отрасли
В
через
Т
лет
,
придем
к
выводу
,
что
для
производства
x
2
ед
.
продукции
отрасль
В
должна
использовать
(100/200)x
1
ед
.
продукции
,
произведенной
отраслью
А
,
и
(48/160)x
2
ед
.
продукции
,
произведенной
самой
отраслью
В
.
Тогда
общий
объем
производства
продукции
отрасли
В
через
Т
лет
можно
выразить
соотношением
:
x
2
= (100/200)x
1
+ (48/160)x
2
+60.
Таким
образом
,
функционирование
и
взаимосвязь
отраслей
А
и
В
через
Т
лет
можно
описать
системой
двух
линейных
уравнений
с
двумя
неизвестными
:
x
1
= (60/200)x
1
+ (64/160)x
2
+70.
x
2
= (100/200)x
1
+ (48/160)x
2
+60.
с
матрицей
условий
А
=
3
,
0
5
,
0
4
,
0
3
,
0
,
вектором
неизвестных
Х
=
2
1
x
x
и
вектором
конечного
продукта
D =
60
70
.
Запишем
теперь
СЛУ
в
матричной
форме
,
т
.
е
.
Х
=
АХ
+D
Х
–
АХ
=D
(
Е
–
А
)
Х
=D
(
Е
–
А
)
–1
(
Е
–
А
)
Х
=(
Е
–
А
)
–1
D
Х
=(
Е
–
А
)
–1
D.
Следовательно
,
чтобы
найти
вектор
производства
продукции
через
Т
лет
необходимо
решить
уравнение
Х
=(
Е
–
А
)
–1
D.
Для
этого
находим
матрицу
Е
–
А
=
1
0
0
1
–
3
,
0
5
,
0
4
,
0
3
,
0
=
7
,
0
5
,
0
4
,
0
7
,
0
.
Затем
методом
Гаусса
находим
матрицу
(
Е
–
А
)
–1
.
Далее
вычисляем
вектор
производства
продукции
в
отраслях
А
и
В
,
а
именно
:
Х
=
29
/
70
29
/
50
29
/
40
29
/
70
60
70
=
29
/
7700
29
/
7300
.
Для
нового
набора
конечного
продукта
D
=(70, 60)
определим
новые
затраты
начального
капитала
.
Так
как
сегодня
отрасль
А
для
производства
200
ед
.
продукции
использует
40
ед
.
начального
капитала
,
т
.
е
.
на
производство
1
ед
.
продукции
используется
40/200
ед
.
начального
капитала
,
то
через
Т
лет
для
производства
x
1
=7300/29
ед
.
продукции
отрасли
А
потребуется
(40/200)(7300/29) = 1460/29
ед
.
начального
капитала
.
Аналогично
,
сегодня
отрасль
В
для
производства
160
ед
.
продукции
использует
48
ед
.
начального
капитала
,
т
.
е
.
на
производство
1
ед
.
продукции
используется
48/160
ед
.
начального
капитала
.
Поэтому
через
Т
лет
для
производства
x
2
= 7700/29
ед
.
продукции
отрасли
В
потребуется
(48/160)(7700/29) = 2310/29
ед
.
начального
капитала
.
Следовательно
,
функционирование
и
взаимосвязь
отраслей
А
и
В
через
Т
лет
можно
представить
в
виде
таблицы
«
затраты
выпуск
»
вида
:
0,7 –0,4 1 0
–0,5 0,7 0
1
1 –4/7 10/7 0
0
29/70 5/7 1
1 0
70/29 40/29
0 1
50/29 70/29
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
34
Затраты
Отрасль
потребитель
Отрасль
производитель
А
В
(
С
)
Конечный
продукт
–
продукция
для
рынка
Общее
производство
(
выпуск
)
продукции
А
2190/29 3080/29
70
7300/29
B 3650/29 2310/29
60
7700/29
Производство
(
выпуск
)
продукции
(
С
)
Начальные
капитал
(
затраты
)
1460/29 2310/29
Общие
затраты
7300/29 7700/29
где
:
2190/29=(60/200)(7300/29) –
количество
ед
.
продукции
,
произведенное
отраслью
А
и
использованное
этой
отраслью
для
производства
7300/29
ед
.
продукции
через
Т
лет
;
3650/29=(100/200)(7300/29) –
количество
ед
.
продукции
,
произведенное
отраслью
В
и
использованное
отраслью
А
для
производства
7300/29
ед
.
продукции
через
Т
лет
;
3080/29=(64/160)(7700/29) –
количество
ед
.
продукции
,
произведенное
отраслью
А
и
использованное
отраслью
В
для
производства
7700/29
ед
.
продукции
через
Т
лет
;
2310/29=(48/160)(7700/29) –
количество
ед
.
продукции
,
произведенное
отраслью
В
и
использованное
этой
отраслью
для
производства
7700/29
ед
.
продукции
через
Т
лет
;
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
35
Приложение
В
Расчетное
задание
по
линейной
алгебре
Задание
1
.
Вычислить
определитель
матрицы
:
1 1 2 3 4
2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 0 3 1 2
0 2 3 1 2
0 3 2 1 2
0 2 3 2 1
4 5 6 7 1
5 4 6 7 1
5 6 4 7 1
5 6 7 4 2
0 0 1 2 3
0 0 1 2 3
0 1 2 3 2
0 1 2 0 3
1
3 0 3 2 2
2
0 3 3 2 2
3
0 3 3 2 2
4
0 3 2 3 2
2 3 4 5 1
1 3 2 4 5
1 3 4 2 5
1 3 4 5 2
0 3 1 2 2
2 1 3 2 2
2 0 0 6 4
2 1 4 0 0
4 5 6 2 1
4 4 2 1 3
3 3 1 2 0
3 3 2 2 1
2 1 0 0 2
3 3 0 0 2
4 4 2 9 0
1 1 0 0 4
5
0 3 0 3 4
6
1 0 0 6 1
7
2 2 1 0 6
8
2 4 0 4 1
3 0 3 2 2
5 4 6 7 1
0 1 2 0 3
0 3 3 2 2
0 0 1 2 3
0 0 1 2 3
2 3 1 4 5
6 5 4 2 3
2 3 2 1 1
2 1 3 4 5
0 1 0 2 1
0 1 3 0 2
1 1 2 3 4
0 2 2 3 3
5 5 4 0 3
2 3 1 4 0
9
3 3 0 2 2
10
5 5 0 0 4
11
1 2 2 0 1
12
3 4 0 0 1
2 1 3 5 4
3 2 1 5 4
5 4 1 0 0
1 1 4 3 2
0 5 2 0 1
3 3 0 0 3
2 0 3 3 1
3 1 0 2 0
1 6 5 0 0
0 2 2 1 5
3 3 2 2 0
2 2 0 0 1
6 6 1 1 1
4 4 0 2 1
7 2 1 1 0
0 1 4 4 0
13
2 2 0 3 3
14
1 1 2 1 1
15
3 2 3 3 3
16
3 4 4 0 1
0 1 0 1 2
1 0 1 0 2
0 2 0 2 1
4 4 0 0 2
2 2 6 6 5
0 3 4 2 1
2 7 2 2 0
2 1 6 5 4
0 0 2 2 1
4 3 3 0 0
1 2 0 0 1
2 1 1 1 1
6 6 5 6 1
2 1 0 4 4
9 2 2 2 3
1 4 4 4 4
17
0 2 1 1 1
18
4 0 2 1 0
19
0 0 1 1 1
20
5 5 0 2 0
0 0 2 2 2
1 2 1 2 1
3 4 3 4 3
3 2 3 2 4
8 0 8 0 8
0 4 0 4 6
2 2 2 2 2
4 0 4 4 0
2 2 0 0 1
3 3 0 2 2
0 0 1 1 1
0 2 2 1 2
3 3 2 1 3
2 1 2 1 2
1 0 2 1 2
6 4 0 0 1
21
5 0 4 2 0
22
0 0 2 2 3
23
0 4 4 4 0
24
4 2 3 1 1
2 2 0 3 3
1 1 1 1 1
3 4 2 0 0
3 4 0 4 1
1 0 1 0 1
2 0 0 2 2
1 1 2 2 2
2 0 2 2 2
3 0 3 3 3
1 3 0 0 5
1 0 2 0 1
0 5 4 0 5
5 5 5 5 0
0 4 4 4 4
0 3 2 3 3
2 0 1 1 1
25
1 1 1 0 1
26
1 1 1 1 0
27
2 2 1 4 0
28
6 6 0 0 6
0 0 1 1 1
0 0 2 1 3
0 0 3 3 3
0 0 4 4 2
3 2 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 2 2
2 3 1 2 3
2 0 2 0 2
1 0 2 0 3
4 0 2 0 4
1 0 2 0 1
4 4 0 5 4
5 4 0 2 6
0 3 3 3 0
4 5 0 6 0
29
1 1 1 1 0
30
2 1 2 1 2
31
4 1 4 1 0
32
2 3 0 1 1
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.