Файл: Казанский государственный университет.pdf

0
t t
≥ ), можно было однозначно определить как состояние системы
, так и выходной сигнал в любой момент времени
. Иначе говоря, состояние системы
X (
в любой момент времени должно определяться начальными условиями
X ( t )
Y( t )
0
t t
>
t )
0
X и входным сигналом
U(
:
t )
(
)
0
X ( t ) F t, X ( t ), U( t )
=
, (5.2.1) выходной сигнал
– состоянием системы и входным сигналом
:
Y( t )
X ( t )
U( t )
(
)
Y( t ) Q t, X ( t ), U( t )
=
(5.2.2)
Здесь
F( )
⋅
и
Q(
– некоторые функции.
)
⋅
Уравнение (5.2.1) называется уравнением состояния системы и описывает состояние системы в конце некоторого интервала времени.
Уравнение (5.2.2) называется выходным уравнением системы и описывает выходной сигнал системы.
Указанные два уравнения представляют собой однозначные функции и полностью определяют динамическую систему.
Для непрерывных систем обычно удобнее представлять уравнение состояния (5.2.1) в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. В этом случае некоторую динамическую систему можно описать уравнениями
(
)
(
)
0
d
X ( t )
f t, X ( t ), X ( t ), U( t ) ,
dt
Y( t ) q t, X ( t ), U( t ) .
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
(5.2.3)
Уравнения (5.2.3), записанные в общем виде, справедливы для систем линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных. Но в случае линейности динамических систем уравнения (5.2.3) можно значительно упростить.
Как известно, для линейных систем справедлив принцип суперпозиции.
Применительно к методу пространства состояний требования к линейным системам можно сформулировать следующим образом: пусть начальному состоянию
10 0
X ( t ) и входному сигналу соответствует выходной сигнал
, а начальному состоянию
1
U ( t )
1
Y ( t )
20 0
X ( t ) и входному сигналу соответствует выходной сигнал
; тогда для линейной системы начальному состоянию
2
U ( t )
2
Y ( t )
[
]
10 0
20 0
X ( t ) K X ( t ) X ( t )
=
+
и входному сигналу соответствует выходной сигнал системы
[
1 2
U( t ) K U ( t ) U ( t )
=
+
]
132

[
]
1 2
Y( t ) K Y ( t ) Y ( t )
=
+
,
где
K const
=
Это условие будет выполняться, если функции
f ( )
⋅
и
q( )
⋅
в уравнениях (5.2.3) будут линейными. В этом случае уравнения линейной динамической системы можно записать следующим образом:
d
X ( t ) A( t )X ( t ) B( t )U( t )
dt
=
+
, (5.2.4)
Y( t ) C( t )X ( t ) D( t )U( t )
=
+
. (5.2.5)
Матрицы коэффициентов
A( t )
,
B( t )
,
, определяются струк- турой и параметрами конкретной динамической системы. Если эти матрицы являются функциями времени, то уравнения (5.2.4) и (5.2.5) описывают линейную нестационарную систему.
C( t ) D( t )
Если динамическая система стационарная, т.е. ее параметры не зависят от времени, то матрицы коэффициентов
A, B, C, D
– постоянные. В этом случае уравнения линейной стационарной динамической системы можно записать в следующем виде
d
X ( t ) AX ( t ) BU( t )
dt
=
+
, (5.2.6)
Y( t ) CX ( t ) DU( t )
=
+
. (5.2.7)
В этих уравнениях матрицы коэффициентов имеют следующие размеры:
(
)
A
n n
−
×
,
(
)
B
n m
−
×
,
(
)
C
k n
−
×
,
(
)
D
k m
−
×
,
11 12 1
11 12 1
21 22 2
21 22 2
1 2
1 2
n
m
n
m
n
n
nn
n
n
nm
a
a
... a
b
b
... b
a
a
... a
b
b
... b
A
,
B
...
...
...
...
...
... ...
...
a
a
... a
b
b
... b
,
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
=
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
.
11 12 1
11 12 1
21 22 2
21 22 2
1 2
1 2
n
m
n
m
k
k
kn
k
k
km
c
c
... c
d
d
... d
c
c
... c
d
d
... d
C
,
D
...
... ... ...
...
...
...
...
c
c
... c
d
d
... d
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
=
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
Векторы имеют размеры:
(
)
1
X ( t )
n
−
×
,
(
)
1
U( t )
m
−
×
,
(
)
1
Y( t )
k
−
×
Уравнения линейной стационарной системы (5.2.6) и (5.2.7), которые ранее были приведены в матричной форме, можно представить в обычном
133

виде:
1 11 1 12 2 1
11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
21 1 22 2 2
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ),
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ),
n n
m m
n n
m m
dx t
a x t
a x t
a x t
b u t
b u t
b u t
dt
dx t
a x t
a x t
a x t
b u t
b u t
b u t
dt
=
+
+ +
+
+
+ +
=
+
+ +
+
+
+ +
1 1 2 2 1 1 2 2
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ),
n
n
n
nn n
n
n
nm m
dx t
a x t
a x t
a x t
b u t
b u t
b u t
dt
=
+
+ +
+
+
+ +
1 11 1 12 2 1
11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
21 1 22 2 2
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ),
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ),
n n
m m
n n
m m
y t
c x t
c x t
c x t
d u t
d u t
d u t
y t
c x t
c x t
c x t
d u t
d u t
d u t
=
+
+ +
+
+
+ +
=
+
+ +
+
+
+ +
1 1 2 2 1 1 2 2
( )
( )
( ) ...
( )
( )
( ) ...
( ).
k
k
k
kn n
k
k
km m
y t
c x t
c x t
c x t
d u t
d u t
d u t
=
+
+ +
+
+
+ +
Таким образом, в пространстве состояний динамическая система описывается системой из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка системой из k алгебраических уравнений.
Другая запись матричных уравнений (5.2.6) и (5.2.7) имеет вид
1 11 12 1
1 11 12 1
2 21 22 2
2 21 22 2
1 2
1 2
n
m
n
m
n
n
nn
n
n
n
nm
1 2
m
x
a
a
a
x
b
b
b
u
x
a
a
a
x
b
b
b
u
d
dt
x
a
a
a
x
b
b
b
u
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
(5.2.8)
Здесь и далее для краткости опущены аргументы t у переменных
i
x
,
j
u , , хотя они и подразумеваются:
l
y
1 11 12 1
1 11 12 1
2 21 22 2
2 21 22 2
1 2
1 2
n
m
n
m
k
k
k
kn
n
k
k
km
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
...
...
... ... ...
...
...
...
...
...
...
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
⎡ ⎤
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
+
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
1 2
m
. (5.2.9)
Уравнениям модели (5.2.6) и (5.2.7) соответствует структурная схема на рис.5.2.1.
Постоянная квадратная матрица
A
, входящая в описание системы, харак- теризует внутреннюю струк- туру системы и ее собст- венную динамику (свободное движение).
Рис.5.2.1.Структурная схема модели (5.2.7)-(5.2.8)
134

Постоянная матрица
, входящая в данное описание системы, характеризует структуру входного устройства системы, а постоянная матрица – структуру выходного устройства системы.
B
C
Отметим то обстоятельство, что уравнения (5.2.6) и (5.2.7) и другие до сих пор описывали так называемые многомерные динамические системы, где было несколько входов (точнее,
m входов) и несколько выходов (точнее, k
выходов) (рис.5.2.3). В англоязычной литературе для таких систем используется аббревиатура MIMO (multi-input-multi-output).
Рис. 5.2.2. Скалярная система Рис 5.2.3. Многомерная система
В случае, когда динамическая система имеет один вход и один выход
(английская аббревиатура SISO (single-input-single-output)) (рис.5.2.2), такая система называется одномерной или скалярной динамической системой.
Иначе говоря, в скалярных системах
1
m
=
и
1
k
= .
В этом случае уравнения (5.2.8) и (5.2.9) примут вид:
1 11 12 1
1 1
2 21 22 2
2 2
1 2
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a
a
... a
x
b
x
a
a
... a
x
b
d
U
...
...
...
...
...
...
...
dt
x
a
a
... a
x
b
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
[ ]
+
, (5.2.10)
[
]
1 2
1 2
0
n
n
x
x
Y
c
c
... c
d U
...
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
. (5.2.11)
Таким образом, любая скалярная динамическая система может быть описана в пространстве состояний.

элементному составу матрицам
A
, , , .
B
C
D
В связи с тем, что в технических приложениях метода пространства состояний, как правило, решаются задачи анализа, синтеза, идентификации и оптимизации динамических систем, чрезвычайно желательно, чтобы все переменные состояния можно было непосредственно наблюдать и измерять.
Правило первое. При выборе переменных состояния очень важно выбирать в качестве переменных состояния измеряемые переменные или, по крайней мере, чтобы большинство переменных состояния динамической системы были измеряемыми.
Часто в качестве переменных состояния выбирают фазовые координаты динамической системы.
Определение 5.3.1.
Фазовые координаты
динамической системы –
это переменные, соответствующие выходной координате,
скорости изменения выходной координаты, ускорению выходной
координаты и т.д.
В этом случае пространство состояний совпадает с фазовым пространством динамической системы. Примером описания динамической системы в фазовом пространстве могут служить уравнения (5.2.18).
Правило второе. В качестве переменных состояния целесообразно использовать те обобщенные переменные системы, для которых выполняются законы сохранения и которые не претерпевают разрыва непрерывности при скачкообразном изменении входных воздействий.
Это условие приводит к тому, что за координаты вектора состояния следует принимать выходные сигналы динамических элементов, обладающих физическим свойством накапливать кинетическую, потен- циальную, электрическую и другую энергию, положение и т.п.
5.3.1. Особенности составления уравнений состояния для
механических систем
Выбор переменных состояния для механических систем в общем случае подчиняется указанным выше рекомендациям. Как правило, при рассмотрении механических систем в качестве переменных состояния используются такие переменные как линейные перемещение, скорость перемещения, ускорение перемещения, угол поворота вала, угловая
136

скорость, угловое ускорение, сила, момент силы и т.д. Именно через эти переменные выражаются потенциальная и кинетическая энергии механической системы.
Подробнее эти вопросы рассматривались в разделе 2.4.2.
Для иллюстрации рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины с коэффициентом упругости k, груза с массой
m и демпфера с коэффициентом демпфирования
f.
Требуется найти уравнения состояния, описывающие движение системы под воздействием внешней силы P.
Целесообразно в качестве переменных состояния выбрать линейное перемещение
1
x ( t ) x( t )
=
и скорость перемещения
2
x ( t ) x( t )
=
, так как через эти переменные можно выразить все силы, воздействующие на рассматриваемую динамическую систему. Силы, взаимодействующие в этой системе, можно представить так:
Рис. 5.3.1 1
F ( t ) kx( t )
=
– сила воздействия пружины;
2
F ( t ) mx( t )
=
– сила воздействия груза (элемента массы);
3
F ( t )
fx( t )
=
– сила воздействия демпфера.
Очевидно, что
, где
– внешняя сила,
1 2
3
F ( t ) F ( t ) F ( t ) P( t )
+
+
=
P( t )
или mx( t ) fx( t ) kx( t ) P( t )
+
+
=


Последнее уравнение при использовании введенных переменных состояния и учета того, что
2
d
1
x
x
dt
=
, можно представить так:
1 2
2 1
2
,
1
( ),
x
x
k
f
x
x
x
P
m
m
m
=
⎧
⎪
⎨
= −
−
+
⎪⎩


t
или
1 1
2 2
0 1
0
( )
1
x
x
d
P t
k
f
x
x
dt
m
m
m
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣ ⎦
Последние уравнения представляют собой искомое описание состояния механической системы, изображенной на рис.5.3.1.
137

5.3.2. Особенности составления уравнений состояния для
электрических цепей
Применительно к электрическим цепям можно сформулировать следующие рекомендации по выбору переменных состояния.
Состояние электрической системы можно характеризовать парамет- рами, определяющими энергию, запасенную в элементах системы. В общем случае это заряд и магнитный поток
Ф
, связанные с током и напряжением следующими формулами:
q
[
]
[
]
c
c
L
c
dq
d
i ( t )
C( t, U ) U ( t ) ,
dt
dt
dФ
d
U ( t )
L( t, i ) i ( t ) .
dt
dt
=
=
⋅
=
=
⋅
c
L
(5.3.1)
Положим далее, что рассматриваемая система является линейной и стационарной, т.е. будем полагать, что значения сопротивлений , емкостей
i
R
j
C и индуктивностей
k
L
не изменяются с течением времени.
Тогда выражения (5.3.1) упрощаются
[
]
[
]
c
c
c
L
L
L
d
d
i ( t )
C U ( t )
C
,
dt
dt
d
d
U ( t )
L i ( t )
L
.
dt
dt
=
⋅
=
=
⋅
=
U ( t )
i ( t )
(5.3.2)
В этом случае в качестве переменных состояния можно выбрать напряжения на конденсаторах и токи через катушки индуктивности
, а для составления уравнений состояния можно воспользоваться законами Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.
c
U ( t )
L
i ( t )
Из соотношений (5.3.2) в этом случае необходимо выразить токи через конденсаторы и напряжения на катушках индуктивности через выбранные переменные состояния (напряжения и токи
) и выходные сигналы, т.е. получить уравнения вида
c
U ( t )
L
i ( t )
[
]
[
]
L
L
L
L
c
d
U ( t )
L i ( t )
i ( t ), U ( t ), U ( t ), i ( t )
dt
φ
=
⋅
=
c
, (5.3.3)
[
] [
c
c
L
L
c
d
i ( t )
C U ( t )
i ( t ), U ( t ), U ( t ), i ( t )
dt
ϕ
=
⋅
=
]
c
. (5.3.4)
Если электрическая цепь содержит катушек индуктивности и конденсаторов, то в электрической цепи определяется соответствующее число напряжений и токов на реактивных элементах цепи, которые в совокупности подчиняются законам Кирхгофа. Эти напряжения и токи могут
m
n
138