Файл: Казанский государственный университет.pdf

11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
k
k
km
W ( p ) W ( p ) ... W ( p )
W ( p ) W ( p ) ... W ( p )
W( p )
...
...
...
...
W ( p ) W ( p ) ... W ( p )
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(4.1.2)
Если система
S
конечномерна и физически реализуема, то скалярные
ПФ являются правильными рациональными дробями, причем для физически реализуемых систем степень числителя должна быть меньше степени знаменателя.
ij
W ( p )
Соотношение (4.1.1) описывает связь между входом и выходом системы в операторной форме. Связь между входными и выходными сигналами во временной области задается векторным интегралом свертки
0
y( t )
w( t
)U( )d
τ
τ τ
∞
=
−
∫
, который получается применением обратного преобразования Лапласа к обеим частям соотношения(4.1.1).
Входящая в эту формулу матрица является оригиналом матрицы и называется
матричной весовой функцией
системы. Она, как и матричная ПФ, полностью описывает многомерную линейную стационарную систему. Элементами этой матрицы являются скалярные весовые функции
, каждая из которых представляет собой сигнал на
i
-м выходе системы при подаче на его
j
-й вход импульсного воздействия
w( t )
W( p )
ij
w ( t )
j
u ( t )
( t )
δ
=
:
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
k
k
km
w ( t ) w ( t ) ... w ( t )
w ( t ) w ( t ) ... w ( t )
w( t )
...
...
...
...
w ( t ) w ( t ) ... w ( t )
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
. (4.1.3)
Если система
S
устойчива и физически реализуема, то с течением времени все компоненты экспоненциально стремятся к нулю.
w( t )
4.2. Полиномиально-матричное описание динамических
систем
Одним из недостатков описания с помощью матричной весовой и матричной передаточной функций является сложность перехода от них к
124

структурной реализации в моделях. По этим функциям нелегко даже определить порядок системы. В этом отношении более удобным является описание многомерных объектов с помощью системы дифференциальных уравнений, связывающих входные и выходные сигналы объекта и их производные. Стандартная форма такого описания для системы S (рис.4.0.1) имеет вид
1 1
1 1
1
i
is
s
i
ir
r
a ( p )y
... a ( p )y
b ( p )u
... b ( p )u ,
i
,s
+ +
=
+ +
=
, (4.2.1) где
p
– оператор дифференцирования,
,
– операторные полиномы.
ij
a ( p )
ij
b ( p )
Число s дифференциальных уравнений (4.2.1.) совпадает с числом неизвестных
1 2
s
y , y ,..., y , степени операторных полиномов зависят от структуры и размерности объекта.
Соотношения (4.2.1) удобно записать в полиномиально-матричной форме
A( p )y( t ) B( p )u( t )
=
(4.2.2) где
A( p )
,
B( p )
– полиномиальные матрицы,
– векторы соответствующих размеров.
( ), ( )
y t
u t
Пусть через
1 2
s
n ,n ,...,n обозначены порядки отдельных дифференциальных уравнений системы (4.2.1), а через
n
– общий порядок всей системы. Порядок определяется наивысшей из степеней полиномов
, входящих в
i
-е уравнение, а общий порядок
n
равен степени характеристического полинома системы
i
n
ij
a ( p )
0
n
n
A( p ) a p
... a
=
+ + ,
0 0
a
≠ .
Отметим, что определенный таким образом порядок системы (4.2.1)
n
в общем случае не совпадает с суммой порядков отдельных уравнений системы, а удовлетворяет неравенству
i
n
1
s
n n
... n
≤ + + .
Путем эквивалентных преобразований системы (4.2.1) (добавляя к отдельным уравнениям другие, домноженные на произвольные операторные полиномы) можно привести систему к так называемой правильной строчной форме, когда приведенное неравенство обращается в равенство.
Целые числа
1 2
s
n ,n ,...,n , характеризующие порядки отдельных уравнений правильной формы, называются структурными показателями наблюдаемости и играют важную роль в теории многомерных систем.
Существует второй вариант полиномиально-матричного описания, дуальный по отношению к рассмотренному. Он имеет вид
125

A( p )z u,
y B( p )z
=
=
. (4.2.3)
Первое из этих соотношений представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений для определения компонент
1
s
z ,...,z вектора вспомогательных переменных z, при этом в правые части этих уравнений не входят производные от входного сигнала. Второе уравнение представляет формулу перехода от вектора вспомогательных переменных z к вектору выходных сигналов y.
Следует иметь в виду, что квадратные матрицы
A( p )
в вариантах описания (4.2.2) и (4.2.3) имеют различные размеры (в первом случае s s
× , во втором –
r
). Размеры матриц
r
×
B( p )
в этих описаниях также различны.
Пусть через обозначены порядки столбцов матрицы
1
r
m ,...,m
A( p )
в описании (4.2.3), понимая под порядком столбца наибольшую из степеней входящих в него полиномов. Указанные порядки связаны с общим порядком системы неравенством
. Путем эквивалентных преобразований системы (4.2.3) систему можно привести к так называемой правильной столбцовой форме, у которой общий порядок системы будет равен сумме порядков столбцов матрицы
1
r
n m
... m
≤
+ +
A( p )
Такая форма, как и правильная строчная форма, находит применение при исследовании и моделировании многомерных систем. Целые числа
, характеризующие правильную столбцовую форму, называются структурными показателями управляемости системы.
1
r
m ,...,m

(выходных реакций) системы (объекта),
A, B, C, D
– матрицы размеров
, n s ,
,
n n
×
×
m n
×
m s
×
В более подробной записи соотношения (4.3.1) имеют вид
1 11 12 1
1 11 22 1
2 21 22 2
2 21 22 2
1 2
1 2
n
s
n
s
n
n
n
nn
n
n
n
ns
1 2
s
x
a
a
... a
x
b
b
... b
u
x
a
a
... a
x
b
b
... b
u
d
...
...
...
...
...
...
...
... ... ...
...
dt
x
a
a
... a
x
b
b
... b
u
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
,
1 11 12 1
1 11 22 1
2 21 22 2
2 21 22 2
1 2
1 2
n
r
n
r
m
m
m
mn
n
m
m
ms
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
y
c
c
... c
x
d
d
... d
u
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
1 2
s
Переход от матричной передаточной функции к описанию в простран- стве состояний сопровождается уменьшением сложности элементов матриц математического описания при одновременном увеличении их числа (табл.
4.3.1).
Таблица 4.3.1. Сравнение трех видов математического описания
Полиномиальное описание
Вид описания
Матричная передаточная функция левое правое
Описание в пространстве состояний
Вид элементов
Операторные дроби
Операторные полиномы
Операторные полиномы
Постоянные числа
Число элементов
ms
2
sm m
+
2
sm m
+
2
n
ns nm m
+
+
+ s
Это можно объяснить увеличением количества информации о внутренней структуре объекта, содержащейся в математическом описании.
Так, матричная передаточная функция практически не содержит этой информации, полиномиальное описание, особенно его правильная форма, частично отражает структурные характеристики, а описание в пространстве состояний полностью характеризует внутреннюю структуру модели объекта.
Описание объектов и систем в пространстве состояний в научных изданиях является в настоящее время наиболее распространенным, оно все больше и больше проникает в научные и инженерные разработки, обладает рядом существенных достоинств (возможности оценки фундаментальных свойств объекта, достаточно легкого перехода к численным расчетам и т.д.).
127

Поэтому более подробному изложению этого метода описания специально посвящена следующая глава 5 пособия.
4.4. Модели динамических систем в форме проматриц
Одним из новейших достижений в теории систем является метод вложения систем. Формальной основой вложения систем являются результаты современной общей алгебры по вложению сложных алгебраических структур в относительно более простые алгебраические структуры. В данном случае речь идёт о так называемом вложении некоммутативных колец в тела частных. Являясь по своей природе частным, формальная модель динамической системы (независимо от формы записи: дифференциальные уравнения, передаточные функции, операторы и т.д.) обязательно подчиняется общим законам частных.
Суть метода вложения заключается в следующем:
Решаемая задача теории систем представляется в виде некоторой специально сконструированной матрицы, называемой
проблемной матрицей
или кратко
проматрицей
. Эта проматрица содержит исчерпывающую информацию о свойствах линейной системы. В теории установлены детерминантные соотношения, которым необходимо удовлетворять, чтобы передаточные функции (операторы) исследуемой системы тождественно соответствовали желаемым передаточным функциям (операторам).
Метод вложения систем позволяет решать практически все задачи теории линейных систем, включая и те, которые при использовании традиционных методов не имели удовлетворительного решения.
Описание объектов и систем в форме проматриц пока встречается только в научных изданиях, но является в настоящее время одним из наиболее перспективных форм математических моделей. Эта форма математических моделей в совокупности с технологией вложения систем исключительно перспективна при исследовании, анализе и синтезе матричных (многосвязных, многомерных) динамических систем и систем их управления. Этот подход имеет целый ряд неоспоримых преимуществ перед другими способами анализа и синтеза матричных систем. Поэтому более подробному и строгому изложению этого метода описания динамических систем посвящена глава 6 пособия.
128

5. Математические модели динамических систем
в пространстве состояний
5.1. Понятие состояния динамического объекта
Очень часто при определении какого-либо понятия нам приходится оперировать другими, более простыми понятиями, которые были уже введены ранее. В этом смысле дать определение понятия «состояние» не представляется возможным, так как нет более простого понятия, при помощи которого можно было бы определить, что такое состояние динамического объекта. Само понятие «состояние» является первичным, и объяснить его смысл можно, только прибегнув к различным примерам.
Рассмотрим поведение электрической цепи на временном интервале
[ ]
0,t
. Известно, что для нахождения выходного сигнала электрической цепи по заданному входному сигналу необходимо знать величины токов, протекающих через индуктивности, и напряжения на емкостях в момент вре- мени . Эти токи и напряжения образуют состояние цепи в момент .
0
t
0
t
Другим примером может служить система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение ее, как известно, зависит от произвольных постоянных, определяемых из начальных условий в момент . Эти начальные условия могут трактоваться как состояние системы в момент .
0
t
0
t
Характеристику понятия "состояние" можно дать исходя из той роли, которую оно играет в определении модели объекта.
Можно поставить вопрос – требуется ли привлечение дополнительных промежуточных параметров (помимо входных и выходных) для описания поведения объекта? Ответ будет утвердительным. Действительно, например, один и тот же входной сигнал электрической цепи обусловит различные выходные сигналы, если не фиксировать величины токов, протекающих через индуктивности, и напряжения на емкостях в момент
. В свою очередь, при различных начальных условиях различны и произвольные постоянные, определяющие общее решение системы линейных дифференциальных уравнений, т. е. различные начальные условия
«порождают» различные решения системы.
0
t
Можно устранить указанную неоднозначность между входными и выходными параметрами объекта, именуя промежуточные параметры
129

состоянием объекта. Понятие состояния можно трактовать как некоторую минимальную совокупность параметров, содержащую всю информацию о предыстории поведения объекта, необходимую для суждения о его поведении в будущем, т.е. для определения реакции на произвольное входное воздействие.
Можно сформулировать следующие свойства, которыми должна обладать модель объекта с введенным понятием «состояние»:
1) выходной сигнал в данный момент времени однозначно определяется входным сигналом
U
и состоянием в данный момент времени X ;
2) состояние в последующий момент времени однозначно определяется входным сигналом
U
и состоянием в данный момент времени X .
Приведенные два условия можно записать в виде двух уравнений, называемых уравнениями состояния:
0 0
( )
( ( ), ( )),
( )
( ( ), ( )),
X t
F X t U t
Y t
Q X t U t
=
=
где
F( ),U( )
⋅
⋅
– являются однозначными функциями.
Приведенное выше изложение, непосредственно относящееся к непрерывным объектам, может быть перенесено и на дискретные объекты.
5.2. Основные понятия и определения
Рассмотрим динамическую систему, имеющую m входов и k выходов.
На вход системы подается векторный входной сигнал
[
]
1 2
( )
( ), ( ),...,
( )
T
m
U t
u t u t
u t
=
При этом выходной сигнал представляет собой вектор
[
]
1 2
( )
( ), ( ),..., ( )
T
r
Y t
y t y t
y t
=
В задачах анализа необходимо по заданному входному сигналу и известным начальным условиям и характеристикам системы найти выходной сигнал
Y(
U( t )
t )
Характеристики системы по форме представления могут быть различными. Эти характеристики определяются структурой и параметрами исследуемой системы и для одной и той же системы являются взаимосвязанными.
В любой системе можно выделить совокупность переменных, которые характеризуют динамическую систему. Эти переменные зависят от времени и могут меняться при изменении внешних воздействий на систему. В
130

общем случае можно выделить некоторую совокупность переменных, которая в полной мере характеризует состояние системы в некоторый момент времени.
Определение 5.2.1.
Совокупность
переменных,
полностью
характеризующих
динамическую
систему,
называется
переменными состояния системы.
Совокупность переменных состояния называется вектором переменных состояния системы.
Указанная совокупность переменных должна быть достаточной для описания различных состояний и режимов системы, но в то же время она должна быть минимальной и не содержать избыточности.
Обозначим переменные состояния
i
x ( t ),
1 2
i
, ,...,n
=
. Следовательно, динамическая система будет характеризоваться вектором переменных состояния
[
]
1 2
( )
( ), ( ),..., ( )
T
n
X t
x t x t
x t
=
Определение 5.2.2. Область или пространство возможных
значений переменных состояния называется пространством
состояний динамической системы.
Здесь используется аналогия с представлением вектора в ортогональной системе независимых переменных, где любой вектор, например, в трехмерном пространстве, может быть охарактеризован своими проекциями на три независимых ортогональных оси. В n-мерном пространстве вектор характеризуется проекциями на n ортогональных осей (n независимых переменных
i
x ( t )).
Состояние динамической системы формально можно представить в виде вектора, а переменные состояния – как проекции этого вектора на ортогональные оси. Другими словами, каждому конкретному состоянию динамической системы соответствует точка в n-мерном пространстве, определяемая концом этого вектора. Координаты
i
x ( t ) точки – суть проекции вектора
. Таким образом, состояние системы можно характеризовать положением вектора в пространстве состояний.
Количество независимых переменных
X ( t )
X ( t )
i
x ( t ), определяющих состояние системы, задает размерность пространства состояний. Переменные состояния
i
x ( t ) должны быть выбраны таким образом, чтобы при заданном начальном состоянии системы
0 0
X
X ( t )
=
и входном сигнале
(при
U( t )
131