Файл: Казанский государственный университет.pdf

Использование свойств преобразования Лапласа и таблицы соответствий «оригинал
– изображение» позволяет получить решение более легким способом. Для этого представим полученный результат в виде суммы элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов.
Пусть полученное изображение представимо в виде
(
)(
)
(
) (
)
2 3
13 1
2 3
2 3
p
p
A
B
C
p p
p
p
p
p
+
+
=
+
+
+
+
+
+
, где
– неизвестные пока коэффициенты, значения которых необходимо найти
, ,
A B C
Произведем очевидные алгебраические преобразования дроби
(
) (
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2 2
3 3
2 3
13 1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
A p
p
Bp p
Cp p
A
B
C
p
p
p
p
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
p
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Тогда очевидно, что коэффициенты при одинаковых степенях p должны равняться:
3 5
3 2
1 6
1
A B C
A
B
C
A
3
+ + =
+
+
=
=
,
Эта система алгебраических уравнений имеет решением значения
13 1
1
,
,
6 2
A
B
C
1 3
−
=
=
=
Таким образом, полученное ранее изображение может быть представлено в виде
( )
Y p
(
)(
)
(
) (
)
2 1
13 11 3
13 1
6 3
2
( )
2 3
2
p
p
Y p
p p
p
p
p
p
+
+
=
=
+
−
3
+
+
+
+
Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу соответствий, получаем
{
}
(
) (
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1 1
13 11 1
13 11 6
3 6
2 2
( )
( )
2 3
2
y t
L Y p
L
L
L
L
p
p
p
p
p
p
−
−
−
−
−
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
=
+
−
=
+
−
⎨
⎬
⎨
⎬
⎨
⎬
+
+
+
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
3 3
⎧
⎫
⎪
⎪
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
Окончательно искомое решение дифференциального уравнения принимает вид
(
)
2 3
1 13 11
( )
,
0 6
2 2
t
t
y t
e
e
t
−
−
= +
−
>
Решение системы дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений с постоянными коэффициентами производится способом, аналогичным приведенному выше. Каждое из уравнений, входящих в систему, преобразуется по Лапласу, а затем получившаяся система алгебраических уравнений решается относительно изображения решения.
Оригинал определяется указанными выше способами.
3.4.
2
. Передаточные функции и операции с ними
Рассмотрим линейную динамическую систему с постоянными параметрами, т.е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.
117

Пусть динамическая система описывается дифференциальным уравнением
1 1
1 0
1
( n )
( n )
( m )
n
n
m
a y (t ) a y
(t ) ... a y (t ) a y(t ) b u (t ) ... bu (t ) b u(t
0
)
−
−
′
′
+
+ +
+
=
+ +
+
(3.4.1) в предположении, что
– выходная переменная,
( )
y y t
=
( )
u u t
=
– входная переменная, при и что система при
( ) 0
u t
≡
0
t
<
0
t
= находилась в нулевых начальных условиях const,
1,
i
a
i
n
=
=
, const,
1,
j
m
=
=
0
) ( )
b
j
Преобразуем последнее уравнение по Лапласу, учитывая нулевые начальные условия и свойства преобразования Лапласа
1
-1 1
0 1
1 1
( )
( ) ...
( )
( )
( )
( ) ...
( )
( )
n
n
n
n
m
m
m
m
a s Y s
a s Y s
a sY s
a Y s
b s U s
b s U s
b sU s
b U s
−
−
−
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
(3.4.2) или
1 1
-1 1
0 1
1 0
(
) ( ) (
n
n
m
m
n
n
m
m
a s
a s
a s a Y s
b s
b s
b s b U s
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
, где
{ }
( )
( )
Y s
L y t
=
– изображение выходной переменной (сигнала),
{ }
( )
( )
U s
L u t
=
– изображение входной переменной (сигнала).
Передаточная функция системы определяется как отношение изображений по Лапласу выходного и выходного сигналов при
нулевых начальных условиях
( )
W s
( )
U s
( )
Y s
1 1
1 1
1 1
m
m
m
m
n
n
n
n-
Y( s )
b s
b s
... b s b
W ( s )
U( s )
a s
a s
... a s a
−
−
−
0 0
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
, (3.4.3) где
– изображение по Лапласу от функции
,
– изображение по Лапласу от функции
.
{ }
0
( )
( )
( )
st
Y s
L y t
y t e dt
∞
−
=
=
∫
( )
y t
{ }
0
( )
( )
( )
st
U s
L u t
u t e dt
∞
−
=
=
∫
( )
u t
Передаточная функция характеризует динамические свойства системы, это функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит только от параметров системы.
( )
W s
Представим исходное дифференциальное уравнение (3.4.1) в операторной форме
1 1
-1 1
0 1
1 0
(
) ( ) (
) ( )
n
n
m
m
n
n
m
m
a p
a p
a p a y t
b p
b
p
b p b u t
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
, (3.4.4) или
( ) ( )
( ) ( )
A p y t
B p u t
=
,
118

где
d
p
dt
=
– оператор дифференцирования, а ( )
A p и ( )
B p – полиномы:
1
-1 1
0
( )
n
n
n
n
A p
a p
a p
a p a
−
=
+
+ +
+
,
1 1
1
( )
m
m
m
m
B p
b p
b
p
b p b
−
−
0
=
+
+ +
+
Анализируя уравнения (3.4.1) и (3.4.4), нетрудно установить, что при нулевых начальных условиях комплексная переменная
s
может быть отождествлена с оператором дифференцирования
p . Тогда чисто формально передаточная функция может быть получена как отношение двух полиномов относительно оператора дифференцирования
1 1
1 1
1 1
m
m
m
m
n
n
n
n-
0 0
B( p ) b p
b p
... b p b
W( p )
A( p )
a p
a p
... a p a
−
−
−
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
. (3.4.5)

Таким образом, в данном случае
2 1
( )
5 6
W p
p
p
=
+
+
,
2 2
7
( )
5 6
н
p
V p
p
p
+
=
+
+
Введение передаточных функций позволяет решать многие задачи анализа и синтеза динамических систем операторными методами.
Основным достоинством передаточных функций является возможность достаточно легко и просто описать систему, когда известны передаточные функции подсистем (элементов) и схемы соединения подсистем друг с другом.
Известно, что существует три вида типовых соединений подсистем друг с другом – последовательное (рис.3.4.2а), параллельное (рис.3.4.2b) и соеди- нение с обратной связью (встречно-параллельное) (рис.3.4.2с). Возникают значительные трудности при определении математической модели всего соединения, когда математические модели подсистем заданы в дифференциальной форме.
При использовании моделей в форме передаточных функций эта процедура значительно облегчается и формализуется.
Так, для последовательного соединения видно, что с учетом определения (3.4.1) получается
1 2
p )
Z( p )
,
W ( p )
p )
Y( p )
=
=
Y(
W ( p )
X (
1
Y( p ) W ( p )X ( p )
=
Тогда
,
2
,
Z( p ) W ( p )Y( p )
=
Отсюда
2 1
Z( p ) W ( p )W ( p ) X ( p )
=
,
2 1
1 2
Z( p )
W( p )
W ( p )W ( p ) W ( p )W ( p )
X ( p )
=
=
=
. Таким образом, последовательному соединению подсистем соответствует умно- жение передаточных функций.
Рис. 3.4.2. Типовые соединения
Рассуждая аналогично, можно получить, что параллельному соединению подсистем соответствует сложение передаточных функций, т.е.
, встречно-параллельному соединению соответствует соотношение
1 2
W ( p ) W ( p ) W ( p )
=
+
1 0
1 1
W ( p )
W( p )
W ( p )W ( p )
=
−
для случая
E
X
Z
=
+
, и соотношение
120

1 0
1 1
W ( p )
W( p )
W ( p )W ( p )
=
+
для случая
E
X
Z
=
−
Проведение арифметических операций над дробно-рациональными полиномами (передаточными функциями) значительно проще, чем получение аналогичного по сути результата при использовании дифференциальных уравнений подсистем.
3.4.3. Связь передаточной функции с другими характеристиками
Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению
1 1
1 0
1
( n )
( n
)
( m )
n
n
m
a y ( t ) a y
( t ) ... a y ( t ) a y( t ) b u ( t ) ... b u ( t ) b u( t
0
)
−
−
′
′
+
+ +
+
=
+ +
+
в предположении, что
( )
y y t
=
– выходная переменная,
– входная переменная, при
( )
u u t
=
( ) 0
u t
≡
0
t
< и что система при
0
t
= находилась в нулевых начальных условиях, даёт
1 1
-1 1
0 1
1 0
(
) ( ) (
) ( )
n
n
m
m
n
n
m
m
a p
a p
a p a Y p
b p
b
p
b p b U p
−
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
Отсюда по определению передаточной функции имеем:
1 1
1 1
1 1
m
m
m
m
n
n
n
n-
Y( p )
b p
b p
... b p b
W ( p )
U( p )
a p
a p
... a p a
−
−
−
0 0
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
(3.4.7) и другое соотношение ( )
( ) ( )
Y p
W p U p
=
, где
– изображение выходной переменной (сигнала),
– изображение входной переменной (сигнала).
( )
Y p
( )
U p
В дальнейшем будем предполагать выполнение условия
, которое справедливо для физически реализуемых систем. При этом рациональная дробь
m n
<
( )
( )
( )
B p
W p
A p
=
является правильной и в соответствующей ей весовой функции отсутствуют слагаемые типа дельта-функции.
( )
w t
Полином
( )
A p , стоящий в знаменателе дробно-рациональной передаточной функции (3.4.7), называется характеристическим полиномом системы, а его корни
1 2
,
, ...,
n
λ λ
λ – полюсами передаточной функции
Корни
( )
W p
1 2
, ,...,
m
µ µ
µ
полинома ( )
B p называются нулями передаточной функции.
Допустим
, тогда
( ) 1( )
U t
t
=
1
( )
U p
p
= . В этом случае:
1
( )
( )
Y p
W p
p
=
– изображение реакции системы на единичный ступенчатый сигнал.
121

-1 1
( )
( )
( )
y t
h t
L
W p
p
⎧
⎫
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
,
{
1 1
1
( )
( )
( )
h t
L
p W p
L W p
p
−
−
⎧
⎫
′ =
=
⎨
⎬
⎩
⎭
}
. Таким образом,
{
}
0
pt
dh
W( p ) L h ( t )
e dt
dt
∞
−
′
=
=
∫
. Попутно получается, что
( )
( )
dh t
w t
dt
=
,
– весовая (импульсная) характеристика.
( )
w t
Допустим ( )
( )
u t
t
δ
=
, тогда ( ) 1
U p
= , ( ) 1
( )
Y p
W p
= ⋅
{
}
{
}
1 1
( )
( )
( )
( )
y t
L Y p
L W p
w t
−
−
=
=
=
, т.е.
Передаточная функция является изображением весовой функции
, и наоборот, весовая функция является функцией-оригиналом передаточной функции.
{
}
0
pt
W( p ) L w( t )
w( t )e dt
∞
−
=
=
∫
( )
W p
( )
w t
( )
w t
Имея передаточную функцию системы, достаточно легко получить амплитудно-фазовую частотную функцию
(
W j )
ω
этой системы. Из сравнения формул-определений этих характеристик видно, что для этого формально достаточно в выражении передаточной функции заменить
p на
j
ω
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
1 1
m
m
m
m
n
n
p j
n
n
b
j
b
j
... b j
b
W( j ) W( p )
a j
a
j
... a j
a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
=
−
0 0
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
Передаточная функция системы полностью характеризует динамические свойства линейной динамической системы и поэтому является важнейшей ее характеристикой.
122

4. Основные формы математических моделей
матричных динамических систем
Современный этап развития теории систем характеризуется тем, что центральное место в теоретических и прикладных исследованиях занимают системы со многими входами и выходами. В литературе для таких систем используются термины "матричные системы", "многомерные системы",
"многосвязные системы", а в англоязычной литературе – MIMO-системы
(Multi-Input Multi-Output).
Введенные в предыдущем разделе понятия и характеристики скалярных систем могут быть обобщены на случай с несколькими входам и выходами (рис.4.0.1).
Вместе с тем, следует отметить, что матричные системы отличаются от скалярных не только внешними
(количественными) признаками. Гораздо более важным является то, что для матричных систем характерны принципиально новые свойства и черты. В число таких качественно новых свойств можно отнести, например, свойства управляемости, наблюдаемости и многое другое.
…
U
m
(t)
U
2
(t)
U
1
(t)
…
Y
k
(t)
Y
2
(t)
Y
1
(t)
S
Рис. 4.0.1 Матричная система
4.1. Матричные передаточная и весовая функции
Рассмотрим матричную динамическую систему S с m входами и k выходами
(рис.4.0.1). Для обозначения входных и выходных сигналов можно также использовать векторные обозначения
, и их изображения по Лапласу
U(
,
Y(
1 2
m
u ,u ,...,u
1 2
k
y , y ,..., y
u( t )
y( t )
p )
p )
Если система S линейна и стационарна, то связь между изображениями ее входных и выходных сигналов при нулевых начальных условиях может быть описана о помощью матричной передаточной функции (МПФ )
W(
:
p )
Y( p ) W( p )U( p )
=
. (4.1.1)
Элементами матрицы
W(
является скалярные передаточные функции
, характеризующие комплексные коэффициенты передачи от j-го входа системы до ее i-го выхода:
p )
ij
W ( p )
123