ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 297
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
28 друг с другом в некоторую иерархическую и многосвязную структуру. При этом каждая подсистема и каждый уровень имеют свои локальные критерии сложности и адекватности, отличные от глобальных критериев системы.
С целью меньшей потери адекватности упрощение моделей целесообразнее проводить:
1) на физическом уровне с сохранением основных физических соотношений,
2) на структурном уровне с сохранением основных системных свойств.
Упрощение же моделей на математическом уровне может привести к существенной потере степени адекватности. Например, усечение характерис- тического уравнения высокого порядка до 2 – 3-го порядка может привести к совершенно неверным выводам о динамических свойствах системы.
Заметим, что более простые модели используются при решении задачи синтеза, а более сложные точные модели – при решении задачи анализа.
Конечность моделей.Известно, что мир бесконечен, как любой объект, не только в пространстве и во времени, но и в своей структуре (строении), свойствах, отношениях с другими объектами. Бесконечность проявляется в иерархическом строении систем различной физической природы. Однако при изучении объекта исследователь ограничивается конечным количеством его свойств, связей, используемых ресурсов и т.д. Он как бы «вырезает» из бесконечного мира некоторый конечный фрагмент в виде конкретного объекта, системы, процесса и т.д. и пытается познать бесконечный мир через конечную модель этого фрагмента.
Правомерен ли такой подход к исследованию бесконечного мира?
Практика отвечает положительно на этот вопрос, основываясь на свойствах человеческого разума и законах Природы, хотя сам разум конечен, но зато бесконечны генерируемые им способы познания мира. Процесс познания идет через непрерывное расширение наших знаний. Это можно наблюдать на эволюции разума, на эволюции науки и техники.
Таким образом, конечность моделей систем заключается, во-первых, в том, что они отображают оригинал в конечном числе отношений, т.е. с конечным числом связей с другими объектами, с конечной структурой и конечным количеством свойств на данном уровне изучения, исследования, описания, располагаемых ресурсов. Во-вторых, в том, что ресурсы
(информационные, финансовые, энергетические, временные, технические и т.д.) моделирования и наши знания как интеллектуальные ресурсы конечны, а
29
потому объективно ограничивают возможности моделирования и сам процесс познания мира через модели. Поэтому исследователь (за редким исключением) имеет дело с конечномерными моделями.
Выбор размерности модели (ее степени свободы, переменных состояния) тесно связан с классом решаемых задач. Увеличение размерности модели связано с проблемами сложности и адекватности. При этом необходимо знать, какова функциональная зависимость между степенью сложности и размерностью модели. Если эта зависимость степенная, то проблема может быть решена за счет применения вычислительных систем. Если же эта зависимость экспоненциальная, то «проклятие размерности» (Р. Калман
1
) неизбежно и избавиться от него практически не удается.
Как отмечалось выше, увеличение размерности модели приводит к повышению степени адекватности и одновременно к усложнению модели.
При этом степень сложности ограничена возможностью оперирования с моделью, т.е. теми средствами моделирования, которыми располагает исследователь. Необходимость перехода от грубой простой модели к более точной реализуется за счет увеличения размерности модели путем привлечения новых переменных, качественно отличающихся от основных и которыми пренебрегли при построении грубой модели. Эти переменные мо- гут быть отнесены к одному из следующих трех классов:
1) быстропротекающие переменные, протяженность которых во времени или в пространстве столь мала, что при грубом рассмотрении они принимались во внимание своими интегральными или осредненными характеристиками;
2) медленнопротекающие переменные, протяженность изменения которых столь велика, что в грубых моделях они считались постоянными;
3) малые переменные (малые параметры), значения и влияния которых на основные характеристики системы столь малы, что в грубых моделях они игнорировались.
Отметим, что разделение сложного движения системы по скорости на быстропротекающее и медленнопротекающее движения дает возможность изучать их в грубом приближении независимо друг от друга, что упрощает
1
Р. Калман – известный американский математик, специалист по математической теории управления, автор целого ряда фундаментальных научных результатов в области современной теории управления и теории систем.
30 решение исходной задачи. Что касается малых переменных, то ими пренебрегают обычно при решении задачи синтеза, но стараются учесть их влияние на свойства системы при решении задачи анализа.
При моделировании стремятся по возможности выделить небольшое число основных факторов, влияние которых одного порядка и не слишком сложно описывается математически, а влияние других факторов оказывается возможным учесть с помощью осредненных, интегральных или "замороженных" характеристик.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22
Приближенность моделей. Из изложенного выше следует, что конечность и простота (упрощенность) модели характеризуют качественное различие (на структурном уровне) между оригиналом и моделью. Тогда приближенность модели будет характеризовать количественную сторону этого различия.
Можно ввести количественную меру приближенности путем сравнения, например, грубой модели с более точной эталонной (полной, идеальной) мо- делью или с реальной моделью. Приближенность модели к оригиналу
неизбежна, существует объективно, так как модель как другой объект отражает лишь отдельные свойства оригинала. Поэтому степень приближенности (близости, точности) модели к оригиналу определяется постановкой задачи, целью моделирования.
Чрезмерное стремление к повышенной точности модели приводит к ее значительному усложнению, и, следовательно, к снижению ее практической ценности. Поэтому, видимо, справедлив принцип Л. Заде
1
о том, что при моделировании сложных (человеко-машинных, организационных) систем точность и практический смысл несовместимы и исключают друг друга.
Причина противоречивости и несовместимости требований точности и практичности модели кроется в неопределенности и нечеткости знаний о самом оригинале – его поведении, его свойствах и характеристиках, о по- ведении окружающей среды, о механизмах формирования цели, путей и средствах ее достижения и т.д.
Истинность моделей. В каждой модели есть доля истины, т.е. любая модель в чем-то правильно отражает оригинал. Степень истинности модели выявляется только при практическом сравнении её с оригиналом, ибо только
1
Л. А. Заде – известный американский ученый в области теории систем, автор теории нечетких множеств и многих других фундаментальных результатов современной теории управления.
31
практика является критерием истинности.
С одной стороны, в любой модели содержится безусловно истинное, т.е. определенно известное и правильное. С другой стороны, в модели содержится и условно истинное, т.е. верное лишь при определенных условиях. Типовая ошибка при моделировании заключается в том, что исследователи применяют те или иные модели без проверки условий их
истинности, границ их применимости. Такой подход приводит заведомо к получению неверных результатов.
Отметим, что в любой модели также содержится предположительно- истинное (правдоподобное), т.е. нечто, могущее быть в условиях неопределенности либо верным, либо ложным. Только на практике устанавливается фактическое соотношение между истинным и ложным в конкретных условиях. Таким образом, при анализе уровня истинности модели необходимо выяснить:
1) точные, достоверные знания;
2) знания, достоверные при определенных условиях;
3) знания, оцениваемые с некоторой степенью неопределенности;
4) знания, не поддающиеся оценке даже с некоторой степенью неопределенности;
5) незнания, т.е. то, что неизвестно.
Таким образом, оценка истинности модели как формы знаний сводится к выявлению содержания в ней как объективных достоверных знаний, правильно отображающих оригинал, так и знаний, приближенно оценива- ющих оригинал, а также то, что составляет незнание.
1.6. Общие требования и рекомендации по моделированию
При построении математических моделей объектов, систем, процессов целесообразно придерживаться следующих рекомендаций, которые имеют характер постоянного контроля за процессом моделирования:
1. Моделирование следует начинать с построения самых грубых моделей на основе выделения самых существенных факторов. При этом необходимо четко представлять как цель моделирования, так и цель познания с помощью данных моделей.
2. Желательно не привлекать к работе искусственные и труднопроверяемые гипотезы.
32 3. Необходимо контролировать размерность переменных, придерживаясь правила: складываться и приравниваться могут только величины одинаковой размерности. Этим правилом необходимо пользоваться на всех этапах вывода тех или иных соотношений.
4. Необходимо контролировать порядок складываемых друг с другом величин с тем, чтобы выделить основные слагаемые (переменные, факторы) и отбросить малозначительные. При этом должно сохраняться свойство
«грубости» модели: отбрасывание малых величин приводит к малому изменению количественных выводов и к сохранению качественных результатов.
5. Необходимо контролировать характер функциональных зависимостей, придерживаясь правила: проверять сохранность зависимости изменения направления и скорости одних переменных от изменения других. Это правило позволяет глубже понять физический смысл и правильность выведенных соотношений.
6. Необходимо контролировать поведение переменных или некоторых соотношений при приближении параметров модели или их комбинаций к крайне допустимым (особым, экстремальным) точкам. Обычно в экстремальной точке модель упрощается или вырождается, а соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проще проверены, а окончательные выводы могут быть продублированы каким-либо другим методом.
7. Необходимо контролировать поведение модели в известных условиях: удовлетворение модели поставленным граничным условиям; поведение системы как модели при действии на нее типовых входных сигналов.
8. Необходимо контролировать получение побочных эффектов и результатов, анализ которых может дать новые направления в исследованиях или потребовать перестройки самой модели.
Постоянный контроль за правильностью функционирования моделей в процессе исследования позволяет избежать грубых ошибок в конечном результате. При этом выявленные недостатки модели исправляются в ходе моделирования, а не вычисляются заранее.
2. Динамические системы
2.1. Понятие динамической системы
Понятие динамической системы является многогранным и развивающимся понятием. Изначально к динамическим относили такие объекты, которые описывались дифференциальными уравнениями, аналогичными уравнениям динамики (т. е. движения в пространстве под действием сил) в теоретической механике, откуда и был заимствован термин.
Со временем круг управляемых объектов расширился и стал включать не только процессы с механическим движением, но также электрические, электромагнитные, тепловые, химические и т. д. Но термин сохранился, поскольку сохранилась форма уравнений. При этом расширились понятия сопутствующих терминов – координатами стали называть не только геометрические координаты, но и значения всех физических показателей состояния, движением – не только геометрическое перемещение, но любой процесс изменения этих показателей и т. д.
Физическим признаком систем, описываемых дифференциальными уравнениями, было наличие замедленной реакции на внешние воздействия, обусловленное инерционностями различной физической природы, и эта замедленность реакции зачастую даже считалась основным, определяющим признаком динамической системы.
В природе фактически мгновенных процессов нет, и любой статический объект представляет собой идеализированную модель, которая получается, как частный случай, из дифференциального уравнения при его вырождении, когда приравниваются к нулю либо коэффициенты при производных, либо оператор дифференцирования
d
p
dt
=
Сейчас в качестве основного признака считают другое свойство – наличие в динамической системе двух видов величин, связанных однонаправленной причинно-следственной зависимостью:
• внешних входных воздействий
– причин, не зависящих от выходных переменных,
)
(t
U
• выходных переменных
– следствий, зависящих от входных воздействий.
)
(t
Y
Полагают, что выходные переменные не могут возникать без своих
29
причин, а по времени не могут возникать ранее входных воздействий, а лишь позже их в инерционных системах и одновременно с ними в безынерционных системах.
Для динамических систем справедливы следующие аксиоматические утверждения, качественный смысл которых заключается в следующем:
1. Если известно начальное состояние в момент и если приложить к динамической системе известные входные воздействия в течение
0
t
( )
u t
[ ]
0
,
t t
,
, то получится выходная реакция динамической системы
, определяемая единственным образом. Иначе говоря, для предсказания выходной реакции на интервале
0
t t
>
( )
y t
[ ]
0
,
t t
в случае, когда известно начальное состояние систем
0
( )
x t при
0
t t
= ,
не требуется знание входного воздействия в моменты времени, предшествующие
. При этом достаточно знания лишь воздействия в момент
. Будущие знания входных воздействий также не влияют на
,
, т.е. система не обладает свойством "предвидения".
0
t
( )
u t
0
t t
>
( )
y t
0
t t
>
2. Существует "достаточно" состояний динамической системы, и поэтому можно выбрать для расчёта любую пару вход- выход (входное воздействие
– выходная реакция). Знания начального состояния
0
( )
x t и воздействий
,
достаточно не только для того, чтобы определить выходную реакцию
( )
u t
[
0
,
t
t t
∈
]
( )
y
τ
,
0
t
t
τ
< ≤ , но и состояние динамической системы в момент времени τ,
( )
x
τ
,
0
t
t
τ
< ≤ . Это важное свойство означает, что состояние в любой момент времени суммирует всю прошлую информацию, требующуюся для того, чтобы предсказать будущий выходной сигнал и будущее состояние системы.
3. Малые изменения входных воздействий или состояния динамической системы вызывают соответствующие малые изменения выходных реакций и движения системы.
4. Изменения состояния динамической системы должны удовлетворять условиям:
4.1. Начальные условия должны соответствовать исходной точке движения.
4.2. Если входное воздействие переводит систему из состояния
0
x в
x вдоль некоторой траектории и z – некоторое состояние на этой
30
Для динамических систем справедливы следующие аксиоматические утверждения, качественный смысл которых заключается в следующем:
1. Если известно начальное состояние в момент и если приложить к динамической системе известные входные воздействия в течение
0
t
( )
u t
[ ]
0
,
t t
,
, то получится выходная реакция динамической системы
, определяемая единственным образом. Иначе говоря, для предсказания выходной реакции на интервале
0
t t
>
( )
y t
[ ]
0
,
t t
в случае, когда известно начальное состояние систем
0
( )
x t при
0
t t
= ,
не требуется знание входного воздействия в моменты времени, предшествующие
. При этом достаточно знания лишь воздействия в момент
. Будущие знания входных воздействий также не влияют на
,
, т.е. система не обладает свойством "предвидения".
0
t
( )
u t
0
t t
>
( )
y t
0
t t
>
2. Существует "достаточно" состояний динамической системы, и поэтому можно выбрать для расчёта любую пару вход- выход (входное воздействие
– выходная реакция). Знания начального состояния
0
( )
x t и воздействий
,
достаточно не только для того, чтобы определить выходную реакцию
( )
u t
[
0
,
t
t t
∈
]
( )
y
τ
,
0
t
t
τ
< ≤ , но и состояние динамической системы в момент времени τ,
( )
x
τ
,
0
t
t
τ
< ≤ . Это важное свойство означает, что состояние в любой момент времени суммирует всю прошлую информацию, требующуюся для того, чтобы предсказать будущий выходной сигнал и будущее состояние системы.
3. Малые изменения входных воздействий или состояния динамической системы вызывают соответствующие малые изменения выходных реакций и движения системы.
4. Изменения состояния динамической системы должны удовлетворять условиям:
4.1. Начальные условия должны соответствовать исходной точке движения.
4.2. Если входное воздействие переводит систему из состояния
0
x в
x вдоль некоторой траектории и z – некоторое состояние на этой
30
траектории, то это входное воздействие должно перевести систему из z в x.
4.3. Система не обладает "предвидением", т.е. будущие значения реакции системы не влияют на текущее состояние динамической системы.
Эти аксиоматические утверждения являются обоснованной абстракцией
свойств физических динамических систем.
Для основного понятия дадим следующее определение:
Определение 2.1.1. Система – это целостное упорядоченное множест-
во стабильно взаимосвязанных и устойчиво взаимодействующих
в пространстве и во времени элементов, формирующих её
некоторые интегративные свойства и функционирующих
совместно для достижения наилучшим образом определённой
цели, стоящей перед данной системой.
Таким образом, для понятия системы будем выделять шесть базовых свойств:
1) целостность и членимость,
2) наличие связей,
3) упорядоченность (организация),
4) наличие интегративных качеств,
5) наличие цели функционирования,
6) достижение цели наилучшим образом.
Первое свойство указывает на то, что система должна быть делима на составные части (элементы, подсистемы), которые образуют, взаимодействуя друг с другом, единое целостное множество. При этом данное множество элементов должно быть совместимо, в смысле устойчивого функционирова- ния всех элементов, образующих систему, на заданном интервале времени.
Второе свойство означает наличие достаточно сильных и длительно действующих (устойчивых, стабильных) взаимных связей (отношений) между элементами или их свойствами. Причём сила этих внутренних связей должна быть заведомо больше, чем сила внешних связей этих же элементов с другими элементами, не входящими в данную систему и относящимся к её окружающей среде, что позволяет отличать систему от простой суммы
(набора) элементов.
31
4.3. Система не обладает "предвидением", т.е. будущие значения реакции системы не влияют на текущее состояние динамической системы.
Эти аксиоматические утверждения являются обоснованной абстракцией
свойств физических динамических систем.
Для основного понятия дадим следующее определение:
Определение 2.1.1. Система – это целостное упорядоченное множест-
во стабильно взаимосвязанных и устойчиво взаимодействующих
в пространстве и во времени элементов, формирующих её
некоторые интегративные свойства и функционирующих
совместно для достижения наилучшим образом определённой
цели, стоящей перед данной системой.
Таким образом, для понятия системы будем выделять шесть базовых свойств:
1) целостность и членимость,
2) наличие связей,
3) упорядоченность (организация),
4) наличие интегративных качеств,
5) наличие цели функционирования,
6) достижение цели наилучшим образом.
Первое свойство указывает на то, что система должна быть делима на составные части (элементы, подсистемы), которые образуют, взаимодействуя друг с другом, единое целостное множество. При этом данное множество элементов должно быть совместимо, в смысле устойчивого функционирова- ния всех элементов, образующих систему, на заданном интервале времени.
Второе свойство означает наличие достаточно сильных и длительно действующих (устойчивых, стабильных) взаимных связей (отношений) между элементами или их свойствами. Причём сила этих внутренних связей должна быть заведомо больше, чем сила внешних связей этих же элементов с другими элементами, не входящими в данную систему и относящимся к её окружающей среде, что позволяет отличать систему от простой суммы
(набора) элементов.
31