Файл: Казанский государственный университет.pdf

Третье свойство системы указывает на объективное существование в ней упорядоченного (по определённым правилам и законам) распределения элементов и связей между ними в пространстве и времени.
Четвёртое свойство указывает на то, что в системе достигается такое качество (свойство), которое присуще системе в целом и не имеется ни у одного из её элементов в отдельности: свойство системы не определяется простой суммой свойств её отдельных элементов и связей между ними.
Пятое свойство означает, что любая система имеет цель функциони- рования. Под целью здесь понимается либо желаемое конечное состояние, либо желаемый конечный результат функционирования (движения, управления) системы, достижимый в пределах некоторого интервала времени.
Шестое свойство означает достижение цели наилучшим образом с точки зрения экономии ресурсов, быстродействия, качества и т.д.
Определение 2.1.2. Динамической системой (ДС) принято называть
систему, изменяющую под действием сил свое состояние,
характеризуемое значениями выходных переменных.
Совокупность всевозможных состояний системы образует пространство состояний (фазовое пространство).
Определение 2.1.2. Сложная динамическая объект (СДО) –
динамическая система, имеющая, как правило, иерархическую
структуру и состоящая из множество взаимосвязанных и
взаимодействующих подсистем, изменяющих под действием сил
свое состояние, способных самостоятельно функционировать и
имеющих собственные (локальные цели), подчиненные единой
общей цели объекта.
При количественном анализе динамических систем требуется выбрать математическую модель, адекватную системе, определяющей с требуемой точностью изменения переменных величин с течением времени. Строго говоря, практически все динамические системы представляют собой нелинейные системы. Точное описание таких систем представляет собой большие трудности, но чаще всего это и не связано с практической необходимостью. Успех анализа динамических систем в значительной мере зависит от того, насколько правильно выбрана степень идеализации при их математическом описании или, другими словами, при выборе их математической модели.
32

2.2. Классификация динамических систем
Динамические системы, также как и другие объекты, модели и т.д., можно классифицировать по различным признакам. В данном случае классификация динамических систем будет осуществляться в зависимости от
идеализации, принятой при их математическом описании. Динамические системы по этому признаку подразделяются на следующие классы.
Линейные и нелинейные системы. Предположим, что при воздействии на вход системы каждого из сигналов отдельно, выходные сигналы системы соответственно равны
. Пусть
,
1 2
( ),
( ), ...,
( )
m
u t u t
u t
1 2
( ),
( ), ...,
( )
m
y t y t
y t
( )
{ ( )}
i
i
y t
F u t
=
1,
i
∈ n
,
{ }
F
– некоторый оператор преобразования.
Определение 2.2.1.
Линейной системой называется система, для
которой выполняется принцип суперпозиции:
ƒ при воздействии на вход суммы сигналов, выходной сигнал является суммой реакций системы на каждый из входных сигналов отдельно;
ƒ изменение амплитуды входного сигнала в несколько раз приводит к такому же изменению амплитуды выходного сигнала.
Аналитически эти условия можно выразить следующим образом:
{
}
1 1
1
m
m
m
i i
i
i
i i
i
i
i
F
c u ( t )
c F u ( t )
c y ( t
=
=
=
⎧
⎫
=
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
∑
∑
) (2.2.1) где – произвольные константы, – некоторый оператор преобразования.
i
c
F
Грубо говоря, динамическая система линейна, если линейны уравнения системы. Более строгое утверждение заключается в следующем.
Определение 2.2.2.Динамическая система называется линейной
динамической системой (или просто линейной системой), если
векторное дифференциальное уравнение для состояний системы
( )
x t
есть линейное дифференциальное уравнение и если выходная
реакция
есть линейная функция от переменных величин
( )
y t
( )
x t
и
, т.е.
( )
u t
x( t ) A( t )x( t ) B( t )u( t )
y( t ) C( t )x( t ) D( t )u( t )
=
+
=
+

(2.2.2) где A(t), B(t), C(t), D(t) – матрицы соответствующих размерностей.
Определение 2.2.3.Динамическая система называется нелинейной
динамической системой (или просто нелинейной системой),
33

если векторное дифференциальное уравнение для состояний
системы
( )
x t
есть нелинейное дифференциальное уравнение или
если выходная реакция
есть нелинейная функция от
переменных величин
( )
y t
( )
x t
и
, т.е. принцип суперпозиции не
выполняется.
( )
u t
Реальные системы практически всегда нелинейны. Это связано с обилием факторов, которые влияют на них; и среди них всегда найдутся те, при влиянии которых не будет выполняться принцип суперпозиции. В определенных условиях (учет небольшого числа выбранных факторов, рассмотрение процессов в некоторой малой окрестности выбранных точек и ряд других) реальные системы могут рассматриваться как линейные системы.
В этих случаях линейная модель будет описывать все наиболее существенные качественные и количественные характеристики рассматриваемой системы, и модель будет существенно более простой и удобной для исследований.

различаться по характеру информационных сигналов, циркулирующих в системах.
Определение 2.2.6. Аналоговой (непрерывной) системой называется
система, в которой циркулируют непрерывные во времени
информационные сигналы.
Определение 2.2.7. Дискретной системой называется система, в
которой на всех или на некоторых участках системы
используются дискретные во времени информационные
сигналы.
Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени.
Цифровой сигнал может принимать лишь определенное число дискретных значений в дискретные моменты времени.
Примером аналоговой системы является, например, автомобиль, движущийся по дороге, если учитывать только координаты его место- положения. Примером дискретной системы является любой компьютер.
Скалярные и векторные системы. Динамические системы могут различаться по количеству входных и выходных информационных сигналов.
Определение 2.2.8. Скалярной динамической системой называется
линейная стационарная модель конечномерной динамической
системы с одним входом и одним выходом.
В англоязычной научной литературе в этих случаях используется аббревиатура SISO (single-input-single-output) систем.
Определение 2.2.9. Векторной (матричной) динамической системой
называется система, в которой входной и (или) выходной
сигналы - векторные величины, т.е. в векторной системе
возможно несколько входов и (или) несколько выходов.
В англоязычной литературе для них используется аббревиатура MIMO
(multi-input-multi-output) систем.
Примерами скалярных систем являются утюг (одно входное воздействие
– электрическое напряжение, одна выходная величина – температура рабочей поверхности утюга), электронный усилитель (одно входное усиливаемое напряжение, одно выходное усиленное напряжение).
Примерами матричных систем являются, например, автопилот самолета
(несколько входных и выходных сигналов), робот (несколько входных сигналов, три пространственные координаты руки робота).
35

2.3. Математическая модель динамической системы
Математическая модель представляет собой количественное (чаще всего приближенное) описание важных для исследования свойств реальной системы. Модель состоит из математических объектов (чисел, переменных величин, векторов и т.п.), отображающих показатели воздействия на систему, хода процесса и реакций системы; эти математические объекты находятся в определенных отношениях между собой, что и описывается при помощи математических операций, связывающих объекты между собой. Можно дать следующее упрощенное определение.
Определение 2.3.1 Математическая модель– это совокупность
математических уравнений, формул, соотношений, описыва-
ющая процессы, происходящие в исследуемой динамической
системе.
Модель должна отражать все существенные для данного исследования факторы и не содержать несущественных факторов, неоправданно усложняющих исследования и слабо влияющих на конечный результат.
Один и тот же фактор может быть существенным в одной задаче и несущественным в другой. Поэтому для одного и того же реального объекта можно составить и использовать различные математические модели в зависимости от цели и требований исследования.
Математическая модельобъекта — это результат переложения на язык математики объективно действующих законов материального мира в их конкретных проявлениях, описание с использованием языка математики изучаемых процессов, явлений.
Модель характеризуется рядом параметров. Это в первую очередь
входные переменные, иначе называемые управляющими воздействиями или просто управлениями, и выходные переменные, или иначе выходные
координаты объекта, управляемые переменные. Зачастую ограничиваются описанием объекта лишь относительно указанных параметров.
Нельзя не отметить, что в большинстве случаев рассмотрение какого- либо процесса ведется не обособленно, а в непосредственной связи с иными процессами, явлениями, и необходимо учитывать их влияние на исследуемый процесс. Влияние внешних условий, внешней среды характеризуют так называемыми возмущающими воздействиями, или просто возмущениями.
Одной из сложных проблем, возникающих при математическом
36

моделировании реальных систем или процессов, является необходимость удовлетворить противоречивым требованиям полноты описания системы
(процесса) и простоты описания системы (процесса).
Разумная стратегия при построении математической модели сложной системы (процесса), состоит, видимо, в том, чтобы идти путем постепенного усложнения модели. Вначале строится наиболее простая модель, затем более подробная, а значит, и более сложная, затем еще более сложная и т.д., пока не будет обеспечен приемлемый уровень адекватности математической модели описываемой системе (процессу).
Возможная последовательность типовых моделей, расположенных по мере усложнения, может быть представлена следующим образом:
Статическая аналитичес ая к
модель
Линейная стационарная динамическая модель
Линейная нестационарная динамическая модель
Нелинейная динамическая модель
Графическа я
логическая модель
Наиболее часто исследования начинают с построения линейных стационарных динамических моделей. Именно здесь, пожалуй, достигается хороший компромисс между требованиями простоты и адекватности модели.
Действительно, линейные стационарные динамические модели достаточно просты – могут быть описаны обыкновенными линейными дифферен- циальными уравнениями или передаточными функциями, теория которых хорошо разработана. Такие модели допускают аналитическое исследование и сравнительно легко реализуются средствами вычислительной математики на
ЭВМ. С другой стороны, эти модели достаточно содержательны – они отражают и статические, и динамические свойства описываемого объекта, позволяют оценить и сложные процессы в них, например, переходные процессы.
37

2.4. Графические образы динамических систем
Рассматриваемые нами динамические системы, как правило, сами состоят из ряда компонент (подсистем, частей, элементов), которые взаимодействуют друг с другом. И решение многих задач требует графического отображения структур рассматриваемых динамических систем.
Различные методы отображения структур (топологические методы) позволяют получать эти графические изображения динамических систем, сигналов и их внутренних связей.
Чаще всего используются два вида графических моделей – структурные схемы и графы. Использование передаточных функций совместно со структурными схемами или графами позволяет строить удобные графические представления математических моделей линейных систем, которые сами могут рассматриваться как изобразительные модели, эквивалентные аналитическим моделям.
2.4.1. Структурные схемы
Структурные представления имеют существенное значение для нагляд- ного восприятия алгоритмов и обнаружения некоторых закономерностей.
Определение 2.4.1. Структурной схемой называется графическое изображение структуры динамической системы (или сложного элемента) с помощью условных графических обозначений.
При этом под структурой понимается совокупность частей, на которые система разделяется по тем или иным признакам, и связей, изображающей каналы, по которым передается воздействие от одной части к другой.
Условные обозначения, используемые в структурных схемах, представлены на рис. 2.4.1.
38

Рис. 2.4.1. Условные знаки структурных схем
Воздействия на систему и воздействия элементов (звеньев) друг на друга изображаются линиями со стрелками. Около стрелки указывается, какую физическую величину или обобщенную координату системы она изображает.
Изменения этой величины и являются сигналом, передающим информацию.
Динамическое звено изображается прямоугольником, в котором указы- вается его математическая модель, чаще всего в форме передаточной функции этого звена. Предполагается, что в динамическом звене воздействие распространяется только от входа к выходу (свойство однонаправленности).
На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются знаки суммирования и сравнения сигналов. При этом следует учитывать: суммировать и сравнивать можно лишь сигналы одной и той же физической природы.
Структурная схема показывает строение системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. По структурной схеме можно составить математическое описание исследуемой системы, т. е. систему алгебраических уравнений относительно изображений всех переменных (обобщенных координат) или ее передаточные функции.
Составление структурной схемы динамической системы начинается с анализа функциональной схемы (состав элементов, назначения элементов, внешние воздействия, регулируемые величины и т.д.) и выделения физически однородных частей (элементов) и функций, ими выполняемых. Необходимо получить (определить) математические модели, чаще всего это дифференциальные уравнения, элементов. В классическом варианте структурных схем используются передаточные функции элементов, которые могут быть получены из математической модели (дифференциального уравнения) элемента или же найдены экспериментально. Использование передаточных функций имеет известные ограничения. Поэтому в современных структурных схемах чаще используется представление математической модели в форме матричных уравнений.
39