Файл: Казанский государственный университет.pdf

Собственно графическое изображение структурной схе- мы (рис.2.4.2) рационально начинать с изображения задаю- щего воздействия и располагать динамические звенья, состав- ляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево.
Рис. 2.4.2. Структурная схема системы
В настоящее время существует достаточно большое число различных модификаций в условных обозначениях и правилах формирования структурных схем. Так, для обозначения векторных величин (сигналов) часто используются спаренные линии (стрелки). Например, для иллюстрации системы матричных уравнений вида
d
X ( t ) AX ( t )
dt
Y CX ( t ) DU( t
=
+
=
+
BU( t ),
),
где
– вектора, а
X ,Y ,U
A, B, C, D
– матрицы соответствующих размеров, используется структурная схема такой модели на рис.2.4.3. Эта схема показывает взаимодействие различных вектор- сигналов друг с другом, показывает преобразование тех или иных сигналов в блоках-матрицах. Здесь, кроме того, подразумевается наличие начальных условий координат
0
x .
Рис. 2.4.3. Структурная схема модели
С учетом, что центральная часть структурной схемы неизменна всегда и требуется в явном виде показать наличие начальных условий
0
x , эта структурная схема может быть еще более упрощена и представлена в виде, как на рис. 2.4.4.
Рис.2.4.4. Структурная схема модели
Две последние структурные схемы полностью идентичны друг другу.
Следует заметить, что структурные схемы можно рассматривать как разновидность направленного графа.
40

2.4.2. Направленные графы
Направленный граф (сигнальный граф, диаграмма прохождения сигнала) представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей
(дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. Если рассматривать структурную схему как граф, то обычно узлами (вершинами) считают все переменные величины (воздействия, сигналы), а ветвями (дугами) – динамические звенья, тогда передаточные функции определяют их пропускную способность.
Определение 2.4.2.
Направленным
графом
принято
называть
совокупность направленных ветвей, соединенных в ряде точек,
называемых вершинами, которая однозначно определяет
систему линейных алгебраических уравнений.
Различают три основных вида направленных графов:
• сигнально-потоковые графы (графы Мезона),
• потоковые графы (графы Коутса),
•
К-деревья.
Первые два из них особенно пригодны для электрических систем – они исходят из рассмотрения определяющих уравнений системы.
Метод К-деревьев лучше всего применим, когда интересуются физической структурой системы.
Сигнально-потоковые графы лучше всего использовать, если система имеет только один вход. Они дают хорошую физическую картину работы системы, так как раскрывают причинно-следственные связи между сигналами на всех стадиях, когда производится процедура сведения к графу.
Потоковые графы, которые являются модификацией сигнально- потоковых графов, можно применять к системе, которая имеет несколько входов, но не может быть расчленена с помощью простой техники сведения к графу.
Главной особенностью использования К-деревьев является то, что при этом не используются многочисленные понятия, как и в первых двух методах, и, таким образом, этот подход упрощает расчеты.
Здесь будут рассмотрены только сигнально-потоковые графы (графы
Мезона), т.к. они чаще всего используются при исследованиях динамических систем.
41

рис
игнально-потоковые графы
. Сигнально-потоковый граф – это графи- ческ связ с
есколько ветвей, то она обоз токового графа следующие
(илл н
й не входит ни одна дуга (узел Е
1
). вход
. Любой путь, вдоль кото- рого р
и ытый путь между источнико aehd
атной связи. Путь, начинающийся и кончающийся в одном и том й из единственной дуги (g, но не ef
эффициент (обобщенный) усиления дуги. Линейная величина, соотно- сяща коэф ог
(
ь н оказаны сигн ерио с
у
С
ое представление набора независимых линейных отношений системы.
Каждый граф состоит из точек соединения, называемых
узлами, которые аны между собой некоторым числом направленных линейных отрезков –
дуг графа. Узлы изображают сигналы или переменные величины системы.
Дуга – это направленный отрезок линии со стрелкой, указывающий направление игнала и показывающий, как связаны между собой вход и выход, т.е.показывающий преобразование сигнала.
Если в некоторую вершину графа входит н начает сумму соответствующих сигналов.
Основные понятия для сигнально-по юстрации – а рис.2.4.5).
Источник. Узел, в которы
Сток. Узел, из которого не выходит ни одна дуга (узел Е
5
).
Промежуточный узел. Узел, имеющий как ящие в него, так и выходящие из него дуги
(узлы Е
2
, Е
3
, Е
4
и Е
6
).
Открытый путь
каждый узел может встретиться только один аз (abcd ли aeh).
Прямой путь. Откр
.2.4.5. Пример графа м и стоком (abcd или
, но не aef).
Контур обр
же узле, вдоль которого ни один узел, за исключением начального, не встречается дважды (контур g и ef, но не egf).
Петля. Контур обратной связи, состоящи
).
Ко
я один узел другому независимо от их размерностей (а, b, с, d, e, f, g, h).
Коэффициент
(обобщенный)
усиления
контура.
Произведение фициентов усиления дуг замкнут о контура e умножит а f).
Простейшие примеры графов приведены на рис.2.4.6, где п альные графы для усилителя с коэффициентом усиления k, для интеграторов, для ап дического звена передаточной ф нкцией
1
p a
+
42

Графы интеграторов на рис.2.4.6 принципиально друг от не отличаются, хотя второй вариант предпочтителен из-за наглядно друга сти и краткости.
Примером использования таких обозначений служит граф схемы делирования электродвигателя постоянного тока, на сумматорах и мо инте
Важным достоинством сигнальных графов, обусловивших их широкое распространение, является возможность находить передаточные функции сист
(передаточную функ ршины а
правилу м
граторах, приведенный на рис.2.4.7.
рис.2.4.7 Граф модели электродвигателя постоянного тока емы непосредственно по графу, минуя этап выписывания уравнений отдельных блоков и исключения промежут чных переменных. Это делается с помощью правила Мезона, которое состоит в следующем.
Пусть дан сигнальный граф линейной динамической системы и требуется найти обобщенный коэффициент передачи о
цию) G от его входной ве
(истока) до выходной вершины (сток ).
Согласно
Мезона иско ая обобщенный коэффициент передачи вычисляется по формуле
1
k k
k
G
G
∆
∆
=
∑
,
k
где G – коэффициент пере о пути от источника к стоку;
1 2
3
m
m
m
i
j
i
j k
дачи
k-го прямог
1 1
i
p
p
p
...
∆
= −
+
−
+ =
−
∑
∑
∑
L
*L L
*L L L
−
+
∑ ∑
∑
– определитель графа;
; всево
1
m
p
∑
– сумма коэффициентов передачи всех контуров обратной связи
2
m
p
∑
– сумма попарных произведений коэффициентов передачи для зможных комбинаций из двух несоприкасающихся контуров;
43

3
m
p
∑
– сумма произведений коэффициентов передачи для всевоз- можных комбинаций из трех несоприкасающихся контуров;
k
∆ – минор k-го прямого пути – значение
∆
для той части сигнального графа, которая не соприкасается с
k-м прямым путем (его можно вычислить, если удалить
k-й прямой путь вместе с дугами, которые с этим путем соприкасаются, и рассмотреть оставшуюся часть графа);
i
L – коэффициенты передачи замкнутых контуров, имеющиеся в графе
(обход каждого контура производится в одном направлении и не проходит дваж нтуров, не имеющих ни одной общей верш рис.2.4.7 (т.е. модели электродвигателя постоянного тока).
В гра ды через одну и ту же вершину);
* – означает, что суммирование проводится только для произведений несоприкасающихся контуров, т.е. ко ины.
Пример.
Определим обобщенный коэффициент передачи (передаточную функцию) для графа на фе имеем три контура с коэффициентами передачи
p
L
R
L
1 1
−
=
,
p
J
b
L
1 2
−
=
,
2 3
1
L
c
J
c
L
−
=
p
Определитель графа ∆
сле получается дующим
2 2
2 2
1 3
1 1
1 1
1 1
1 1
p
JL
bR
c
p
JL
bL
RJ
p
J
p
L
c
c
R
L
L
L
i
+
+
+
+
=
=
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
+
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎛
−
−
−
−
=
+
−
=
∆
∑
1 1
b
R
b
⎞
⎛
⎞
1
p
L
J
p
J
p
L
i
⎝
=
В графе имеем всего один прямой путь с коэффициентом передачи
2 1
1 1
1 1
1
p
JL
c
p
J
c
p
L
G
=
=
и минором
1 1
=
∆
. Тогда искомая передаточная функция графа (а значи д
л о
к с
п т, и модели электро вигате я пост янного то а) по ле ростейших алгебраических ется формулой преобразований выража
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
bR
p
bL
RJ
JLp
c
G
p
G
+
+
+
+
=
∆
∆
=
c
Таким образом, я постоянного тока.
Передаточная функция ния динамических объектов; она будет рассмотрена в разделе 3.4. найдена передаточная функция электродвигател является одной из форм математического описа
44

Линия задержки изображается в виде, представленном на рис. 2.4.9, а.
Рис. 2.4.8. Обозначения: а) сумматора, б) умножителя, в) усилителя.
Определение 2.4.5. Интегратором называется элемент системы,
определяемый вход-выходным уравнением вида
0 0
0
( )
( )
( )
,
t
t
y t
y t
u
d
t t
ρ ρ
=
+
≥
∫
Интегратор изображается в видах, представленных на рис. 2.4.9, б, где символ
1
р
означает операцию интегрирования.
Рис. 2.4.9. Обозначения: а) задержки, б) интегратора.
Пример.
Пусть математическая модель динамической системы представлена в виде системы дифференциальных уравнений и алгебраического уравнения.
1 1
2 3
2 1
2 3
3 1
2 3
1 2
3 4
2 2
2 2
2 2
2
x
x
x
x
U
x
x
x
x
U
x
x
x
x
U
Y
x
x
x
= −
+ +
+
= −
− +
+
= − + − +
=
− +



Графическое изображение заданной математической модели динамической системы, построенное непосредственно по уравнениям, имеет вид, представленный на рисунке справа.
46

2.5. Методика формирования математических моделей
динамических систем
При исследовании динамических объектов и систем, как правило, интересуются так называемой динамикой систем – способностью систем изменять свое состояние под воздействием внешних воздействий. В этом случае математическая модель динамической системы и ее элементов представляется в виде уравнений динамики, которые могут записываться в форме дифференциальных, интегральных и др. уравнений. Уравнения движения описывают динамику системы, переход ее из одного равновесного
(статического, установившегося) состояния в другое под действием входных координат (переменных).
Поведение системы на равновесных режимах описывается уравнениями
статики, которые представляют собой алгебраические (линейные или нелинейные) уравнения. К равновесным (установившимся) режимам относятся состояние покоя, равномерные и равноускоренные движения системы. Уравнения установившихся режимов, при которых управляющие и возмущающие воздействия принимаются постоянными, обычно являются алгебраическими уравнениями. Эти уравнения достаточно просто можно получить, если известны уравнения динамики: уравнения статики
(алгебраические уравнения) можно получить из дифференциального уравнения динамики при его вырождении, когда приравниваются к нулю все производные или операторы дифференцирования.
Наиболее распространенным подходом к составлению уравнений движения динамической системы является подход, когда система условно разбивается на множество физически однородных элементов (звеньев). Далее для каждого элемента составляют дифференциальные (алгебраические, интегральные и др.) уравнения, описывающие исследуемые процессы, явле- ния характеристики, на основе того физического закона, которому подчиня- ется процесс, протекающий в данном элементе. На последующем этапе с помощью, как правило, алгебраических уравнений описывают связи между входными и выходными сигналами (переменными) элементов системы.
Таким образом, уравнения движения системы в целом есть множество уравнений движения элементов, образующих эту систему, в совокупности с уравнениями, описывающими взаимосвязи элементов друг с другом.
Одной из наиболее сложных проблем моделирования является проблема
47